Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10: tại đây
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
- Giải Toán Lớp 10
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 10
- Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10
- Sách giáo khoa đại số 10
- Sách giáo khoa hình học 10
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10
- Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao
- Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
- Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10
- Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
Sách giải toán 10 Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn [Nâng Cao] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 45 [trang 100 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các hệ phương trình :
Lời giải:
a] Từ phương trình đầu ta có: x = 2 + y thế vào phương trình x2 + y2 = 164 ta dược phương trình y2 + 2y – 80 = 0, phương trình này có hai nghiệm:
y = 8 hoặc y = -10. Từ đó hệ có hai nghiệm là: [10; 8], [-8; -10]
b] Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: y = 1 – 2x, thế vào phương trình đầu ta được phương trình: 15x2 – 9x – 6 = 0,
phương trình này có hai nghiệm x= 1 hoăc x = -2/5. Từ đó ta có hệ có hai nghiệm: [1; -1] và [-2/5; 9/5]
Bài 46 [trang 100 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các hệ phương trình:
Lời giải:
a] Đặt x + y = S, x.y = P ta đưa hệ về dạng:
Giải hệ này ta có S = -6 và P = 11 hoặc S= 3 và P = 2.
• Với S = -6 và P = 11, ta thu được hệ 2 ẩn x, y vô nghiệm.
• Với S = 3 và P = 2, ta thu được hệ hai ẩn x, y có hai nghiệm [1; 2] và [2; 1].
Vậy hệ ban đầu có hai nghiệm [1; 2] và [2; 1].
b] Đặt z = -x ta đưa hệ về hệ đối xứng với ẩn z, y. từ đó dùng cách đặt ẩn phụ S = z + y, P = z.y ta đưa về hệ hai ẩn S, P. Tìm S, P từ hệ này sau đó tìm x, y với S, P tìm được. Hệ có hai nghiệm: [0; 1] và [-1; 0]
c] Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ ta có phương trình:
[x – y][x + y – 1] = 0
Như vậy hệ ban đầu tương đương với hai hệ sau :
Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm : [0; 0]; [5; 5]; [-1; 2]; [2; -1]
Bài 47 [trang 100 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm :
Lời giải:
Ta có :
⇒ Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình x2 – Sx + P = 0 có nghiệm, điều này tương đương với S2 ≥ 4P
Bài 48 [trang 100 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các hệ phương trình :
Lời giải:
Bài 49 [trang 100 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Tìm hàm số bậc hai y = f[x] thỏa mãn các điều kiện sau :
a] Parabol y = f[x] cắt trục tung tại điểm [0; -4]
b] f[2] = 6
c] Phương trình f[x] = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Lời giải:
Gọi hàm số bậc hai có dạng : y = ax2 + bx + c [a ≠ 0]. Do thỏa mãn điều kiện [a] nên ta có ngay c = -4. Mặt khác f[2] = 6 nên ta có : 6 = 4a + 2b + c hay 2a + b = 5[1]
f[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ b2 + 16a > 0
Gọi các nghiệm là x1, x2 ta có :
|x1 – x2| = 5 ⇔ [x1 + x2]2 – 4x1x2 = 25 [2]
Ta có : x1 + x2 = -b/a; x1.x2 = c/a = -4/a nên [2] trở thành :
b2/a2 +16/a=25 ⇔ b2 + 16a = 25a2 [2]
Giải hệ [1] và [2] ta có : a = 1 và b = 3 hoặc a = -25/21 và b = 155/21 . Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện b2 + 16a > 0. Có hai hàm số bậc hai cần tìm là :
y = x2 + 3x – 4; y = -[25/21]x2 + [155/21].x – 4
14:40:3920/07/2021
Có rất nhiều dạng toán giải hệ phương trình, như hayhochoi đã giới thiệu với các bạn về các bước giải hệ phương trình đối xứng loại I, hay hệ phương trình đối xứng loại II.
Tiếp tục nội dung về hệ phương trình, bài này chúng ta sẽ tìm hiểu hệ phương trình đẳng cấp là gì? cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 như thế nào?
1. Khái niệm phương trình đẳng cấp
- Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau:
* Ví dụ: Có hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 như sau:
2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng:
• Để giải hệ phương trình đẳng cấp, chúng ta phải thực hiện cơ bản qua 3 bước sau:
+ Bước 1: Nhân phương trình [1] với a2 và phương trình [2] với a1 rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do;
+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình;
- Trường hợp 2: Nếu x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y;
+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn x/y hoặc y/x rồi sau đó giải tìm nghiệm của hệ phương trình.
* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 sau:
> Lời giải:
- Nhân pt[2] ở dưới của hệ với 2, ta được:
- Trừ pt[2] cho pt[1] của hệ mới này, ta được: 7y2 - 5xy = 0
⇔ y[7y - 5x] = 0
⇔ y = 0 hoặc 7y = 5x
+ TH1: Với y = 0 ta thay vào pt[1] được 2x2 = 8 ⇔ x = ± 2.
Hệ có nghiệm [x;y] = {[2;0];[-2;0]}
+ TH2: Với 5x = 7y ⇒ x= [7y]/5 thay vào pt[1] được:
Kết luận: hệ có 4 cặp nghiệm.
* Ví dụ 2: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 sau:
> Lời giải:
- Nhân pt[2] ở dưới với 3 ta được hệ tương đương mới:
- Trừ vế với vế hai phương trình của hệ trên được:
2x2 + 4y2 - 6xy = 0 [3]
Xét trường hợp: x = 0 ta thế vào pt[3] được: y = 0; thay vào pt[1] hệ ban đầu thấy 0 = 3 [vô lý] ⇒ x = 0 không phải là nghiệm của hệ.
Chia hai vế pt[3] cho x2 ta được:
Đặt t = y/x ta được [4] tương đương: 4t2 - 6t + 2 = 0
⇔ 2t2 - 3t + 1 = 0⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.
Với t = 1 ⇒ x = y thế vào hệ pt ta được:
Với t = 1/2 ⇒ x = 2y thế vào hệ ta được:
Kết luận: Vậy hệ pt đã cho có 2 cặp nghiệp là: [x;y] = {[2;1]; [-2;-1]}
* Ví dụ 3: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 sau:
> Lời giải:
- Ta có:
Trừ vế với vế của pt[2] cho pt[1] ta được:
x3 - 6xy2 + 4y3 = 0 [3]
- Nếu y = 0 thay vào pt[3] ta được x = 0 thay vào pt[1] ta thấy 0 = 18 [vô lý]. Nên y = 0 không phải là nghiệm của hệ.
- Vậy y ≠ 0, chia 2 vế của pt[3] cho y3 được:
Đặt t = x/y thì pt[4] tương đương: t3 - 6t + 4 = 0
⇔ [t - 2][t2 + 2t - 2] = 0
⇔ t = 2 hoặc t = -1 + √3 ≈ 0,732 hoặc t = -1 - √3 ≈ -2,732
+ Với t = 2 suy ra x = 2y thay vào pt[1] ta được:
8y3 + y 3 = 9 ⇔ 9y3 = 9 ⇔ y = 1 ⇒ x =2. ta được cặp nghiệm [x;y] = [2;1]
+ Với t = -1 + √3 suy ra x ≈ 0,732y thay vào pt[1] và giải ta được: y ≈ 1,86285 ⇒ x ≈ 1,363606
+ Với t = -1 - √3 suy ra x = -2,732y thay vào pt[1] và giải ta được: y ≈ -0,77425 ⇒ x ≈ 2,115243
Kết luận: Hệ có 3 cặp nghiệm.
* Bài tập 1: Giải hệ phương trình:
* Bài tập 2: Giải hệ phương trình:
* Bài tập 3: Giải hệ phương trình:
* Bài tập 4: Giải hệ phương trình:
Tóm lại, với bài viết về Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2, 3 và Bài tập vận dụng. HayHocHoi hy vọng các em có thể hiểu rõ và vận dụng tốt trong việc giải các bài toán tương tự khi gặp.