Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m

Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic.

Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0

Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:

  • Trường hợp 1. Nếu $ a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất $$ x=-\frac{b}{a}.$$
  • Trường hợp 2. Nếu $ a = 0$ thì phương trình đã cho trở thành $ 0x+b=0$, lúc này:
    • Nếu $ b=0$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R};$
    • Nếu $ b\ne 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$

Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m

Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:

  • Biến đổi để đưa phương trình đã cho về đúng dạng $ax+b=0$ trước khi xét các trường hợp.
  • Nếu phương trình đã cho có điều kiện thì cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không rồi mới kết luận.

2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:

  • Trường hợp 1. Nếu $ m=0$, phương trình đã cho trở thành $$ 0x+2=0 $$ Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
  • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m}.$

Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ (m-2)x+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:

  • Trường hợp 1. $ m-2=0$ hay $ m=2$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+0=0 $$ Rõ ràng phương trình này có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho cũng có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
  • Trường hợp 2. $ m\ne 2$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m-2}=-1.$

Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$.

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+(2-3m)x+5=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ (2-2m)x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:

  • Trường hợp 1. $ 2-2m=0$ hay $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+5=0 $$ Phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
  • Trường hợp 2. $ m\ne 1$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{-5}{2-2m}.$

Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$

  • Điều kiện xác định: $ x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$ 5x-m=0 $$
  • Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{m}{5}$. Tuy nhiên đây chưa phải nghiệm của phương trình đã cho vì cần có điều kiện $ x\ne 1$. Do đó chúng ta xét hai trường hợp:
    • Trường hợp 1. Nếu $ \frac{m}{5}=1$ hay $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$

Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{(m+1)x+2m}{x^2-4}=0 $$

Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ (x-1)(x-3m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}(x+5-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.

Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ vô nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{(3-m)x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm.

3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:

  1. $mx = 3$
  2. $( m -2) x = m -2$
  3. $(2 m -1) x = 5m +3$
  4. $( m ^2-1) x =2 m +2$
  5. $m ( x -2)=x +1$
  6. $( m -1) x =2 x + m -3$
  7. $( m +1)( x -2)=3 m -1$
  8. $( m -1)( x +1)= m ^{2}-1$
  9. $( m -3) x = m ( m -1)-6$
  10. $(2 m -3) x = m (2 m -5)+3$

Với Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

ax + b = 0  (1)
Hệ số Kết luận
a ≠ 0(1) có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0b ≠ 0(1) vô nghiệm
b = 0(1) nghiệm đúng với mọi x

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1: Cho phương trình (m2 - 7m + 6)x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có (m2 - 7m + 6)x + m2 - 1 = 0 ⇔ (m-1)(m-6)x + (m-1)(m+1) = 0

Nếu (m-1)(m-6) ≠ 0

Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -(m+1)/(m-6)

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 (Vô lí). Khi đó phương trình vô nghiệm.

Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 5m + 6)x = m2 - 2m vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 1)x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ R hay phương trình có vô số nghiệm khi

Bài 5: Cho phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình viết lại (m2 - 4)x = 3m - 6.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ -2

Bài 6: Cho hai hàm số y = (m + 1)2x - 2 và y = (3m + 7)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.

Hướng dẫn:

Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

(m + 1)2x - 2 = (3m + 7)x + m có nghiệm duy nhất

⇔ (m2 - m - 6)x = 2 + m có nghiệm duy nhất

Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình (m2 - 9)x = 3m(m - 3) có nghiệm duy nhất ?

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2-9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3

Vì m ∈ Z, m ∈ [-10; 10] nên

m ∈ {-10; -9; -8;...; -4; -2; -1; 0; 1; 2; 4;...; 10}

Vậy 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.