Tính đơn điệu [đồng biến – nghịch biến hay tăng – giảm] là một tính chất quan trong của hàm số. Tính chất này được áp dụng để giải rất nhiều bài toán như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình…Trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán cơ bản cần nắm vững.
Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f[x] xác định trên một miền D.
f[x] được gọi là đồng biến [hay tăng] trên D nếu thì
f[x] được gọi là nghịch biến [hay giảm] trên D nếu thì
Ta có thể hiểu đơn giản: hàm số đồng biến là hàm số mà x và f[x] cùng tăng, cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f[x] giảm và ngược lại.
Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến
Nếu hàm số f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] thì đồ thị của f[x] trên khoảng đó là một đường thẳng đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] thì đồ thị của f[x] trên khoảng đó là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.
Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Ở đây ta có một định lý quan trong được sử dụng để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số và áp dụng vào một số dạng bài tập.
Cho hàm số f[x] có đạo hàm trên D, khi đó:
f[x] đồng biến trên D
f[x] nghịch biến trên D
Ở đây ta có điều kiện f[x] chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên D. Nếu thì f[x] = C là hằng số nên f[x] là hàm không đổi [không tăng, không giảm].
Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Nghĩa là tìm các khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến. Để làm được dạng toán này, ta thực hiện theo các bước sau:
– Tìm tập xác định của hàm số [TXĐ]
– Tìm đạo hàm f'[x] và giải phương trình f'[x] = 0.
– Lập bảng xét dấu f'[x] rồi dựa vào định lý bên trên để kết luận [ta thường gọi là lập bảng biến thiên vì có thêm chiều biến thiên của y]
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Giải
TXĐ: D = R
Bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lưu ý: Trong bảng biến thiên, nếu y’ mang dấu + nghĩa là hàm số đồng biến thì ở dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi lên, nếu y’ mang dấu – nghĩa là hàm số nghịch biến thì ở dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi xuống.
Ví dụ 2: xét tính đơn điệu của hàm số
Giải
TXĐ:
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta có thể kết luận hàm số đồng biến trên các khoảng của tập xác định vì [do cả tử và mẫu đều dương] mà không cần dùng tới bảng biến thiên. Tuy nhiên, ta nên lập bảng biến thiên để có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác sau này.
Lưu ý: Quy tắc để tính nhanh đạo hàm của hàm số là
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
Với dạng toán này, ta chỉ cần sử dụng định lý bên trên, đồng thời áp dụng một kiến thức mà ta đã biết về tam thức bậc hai:
Cho , ta có:
Ví dụ: Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Giải
TXĐ: D = R
Để hàm số đồng biến trên R thì
Vậy với thì hàm số đồng biến trên R.
Lưu ý: trong dạng toán trên, nếu hệ số a của hàm số có chứa tham số m thì ta phải xét hai trường hợp a = 0 và .
Trên đây là hai dạng toán cơ bản về tính đơn điệu của hàm số mà học sinh phải nắm vững. Ngoài ra một số dạng toán nâng cao về tính đơn điệu như: tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng, vận dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đăng thức, giải phương trình, hệ phương trình… sẽ được đề cập trong bài viết khác.