PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC Xét chất điểm Mk của cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý tưởng , các tác dụng lên chất điểm gồm:
Lực thực:
Phản lực liên kết:
Lực quán tính của chất điểm: Theo nguyên lý D’Alembert:
Phương trình tổng quát của động lực học:
δrk là di chuyển khả dĩ tùy ý.
Hay:
1 [ ] k },{
N kkkk rrWmF
∑ ∀=− δδ
Fk
Rk
kk
qt k WmF
−= 0
FRF kkk qt =++
∑ 1 [[ ] [ ] [ ] ]=−+−+− 0
N ɺɺɺɺ ɺɺ δδδ zzmFyymFxxmF kkkkzkkkkykkkkx
Phương pháp tĩnh giải tích – động lực[*].
[*]ĐỗSanh, Cơhọc, Tập 2:Động lực học, tái bản lần thứ16, NXBGD Việt Nam, 2013.
VÍ DỤ Áp dụng:
Biểu diễn các đại lượng gia tốc cần thiết trên hình vẽ của mô hình.
Đặt các lực quán tính lên cơ hệ, nếu là vật rắn thì đặt lực quán tính thu gọn.
Cho cơ hệ 1 di chuyển khả dĩ để thiết lập phương trình tổng quát động lực học của cơ hệ.
Hệ 1 bậc tự do: mọi di chuyển khả dĩ biểu diễn qua 1 tham số duy nhất Lập được 1 phương trình.
Hệ r bậc tự do: Cho hệ thực hiện r DCKD độc lập tuyến tính Thiết lập được r phương trình.
VũDuy Cường, Cơlý thuyết, NXBĐHQG Tp, 2011.
Xem VD 14 ~14 – Cơ lý thuyết – Vũ Duy Cường
VÍ DỤ
PA
PB
WB RBqt
RAqt
εB M
MBqt
C
B
VD Hệ 1 bậc tự do: R = 2r
Cho cơ hệ thực hiện 1
DCKD: Tải A đi xuống δh thẳng đứng Độ dời tương của B: Sang trái: δh Xoay: δφ = δh/r, ngược chiều KĐH Tổng công của các lực hoạt động và các lực quán tính:
0][][][
][0][][
221 2
21
=
−−−+
−+=+
∑∑
r
h r
mhWmhWm W
r
MgmhgmAA h
AA A
ka kqt
ρδδ δ
δδδ δ
][
0][ 2
2 221
2211 22 1 mmmr r
WhW Mgrm r mmm r gm M δ AA ρ ρ ++
\= ⇒ = −
⇒ ++−−
VÍ DỤ
VD Hệ 2 bậc tự do:
Cho cơ hệ chịu lực như hình vẽ, dây mềm, bỏ qua khối lượng
dây và ròng rọc. Hệ số ma sát giữa A và sàn là f. Xác định gia
tốc của tải A, B,C.
Hệ gồm: A , B , C dây mềm, ròng
rọc động
Hệ có liên kết giữ, dừng, hình
học và lý tưởng Áp dụng được PTTQ ĐLH Lực hoạt động: PA, PB,PC, FA. Lực quán tính:
FA C
PB
PC
PA
RBqt
RCqt
RAqt
RAqt = m WA A ; RBqt = m W RB B ; Cqt = m WC C
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II
Xét cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý tưởng. Biểu
diễn phương trình tổng quát động lực học của cơ hệ :
Thông qua các tọa độ suy rộng đủ { qi } [ i =1~ r , có r bậc tự do], ta
được:
trong đó:
Do các δ qi là độc lập tuyến tính, do đó:
Phương trình trên được gọi là phương trình Lagrange loại II.
N [ ] kkkk N kkkk 111 N kk rrFrWmrrWmF k }{}{
∑∑∑ ∀=⇔∀=− δδδδδ
=∑∑ 11 ,
∂
− ∂ ∂
∂ r ii
r i ii
qQq q
T q
T dt
d δδ ɺ
i ii
Q q
T q
T dt
d = ∂
∂ − ∂
∂ ɺ
\=∑
N 1 VmT kk
2 2
1
[1] V[2]ĐỗũSanh, CDuy Cườơng, Chọc, NXBGD, 2014.ơhọc lý thuyêt, NXBĐHQG Tp. HCM, 20
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II
Nếu các lực hoạt động là lực có thế, khi đó:
trong đó:
Phương trình Lagrange được viết lại dưới dạng:
Hay:
Trong đó: L = T – П được gọi là hàm Lagrange.
\=0][][ ∂
∂Π − ∂
∂ − ∂
∂Π − ∂
∂ qq iiii
T qq
T dt
d ɺɺ
, i
Qi ∂ q
∂Π −= Π=Π 21 qqq r ],...,,[
\=0][ ∂
∂ − ∂
∂ qii
L q
L dt
d ɺ
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II – VÍ DỤ VD1: Cho cơ hệ như hình vẽ. Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ.
BTD: 1 Chọn TĐSR đủ q = x , gốc tại vị trí lò xo không bị biến dạng, hướng như hình vẽ. Lực hoạt động: o Có thế: kx , mg
Động năng: [ CĐ tịnh tiến ]
Thế năng: [Gốc tại VT lò xo không bịbiến dạng]
m
kb O
F[t] x
kx
mg
F[t]
xb ɺ
i ii
Q q
T q
T dt
d = ∂
− ∂ ∂
∂ ɺ
N i i
Qi ∂ q + Q −= ∂Π
2 2
1 = xmT ɺ
2 −=Π mgxkx 2
1
Công khả dĩ của lực không thế: δ =− ɺδ + δ → NN =− ɺ+ tFxbQxtFxxbA ][][
PTVPCĐ:
o Không thế: ɺ tFxb ][,
ɺɺ+ ɺ+ = + tFmgkxxbxm ][
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II – VÍ DỤ VD2: Cho cơ hệ như hình vẽ. Thanh mảnh đồng chất OA có chiều dai 2 a , khối m 1 , con trượt B có khối lượng m 2 , kích thước nhỏ có thể xem như chất điểm. Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Bỏ qua ma sát.
k
O
φ
x
F[t] A
B
-BTD=2 Chọn TĐSR đủ
- Lực hoạt động: *Có thế: P 1 , P 2 , Fdh=k[x-x 0 ] * không thế: F[t] Với x 0 là vị trí lò xo không bịbiến dạng
1 2
q q x
####### =φ
=
-Tính lực suy rộng Q φφφφ δq 1 = δφ ≠ 0 và δq 2 = δx = 0 1 2 1 2
sin sin cos sin sin cos
Ak Pa P x Fx Q φ Pa P x Fx
φδφ φδφ φδφ φ φ φ
\= − − +
⇒ = − − +
∑
-Tính lực suy rộng Qx δq 1 = δφ = 0 và δq 2 = δx ≠ 0 2 0 2 0
cos [ ] sin cos [ ] sin
φδ δ φδ φ φ
\= − − + ⇒ = − − +
∑ k
x
A P x k x x x F x Q P k x x F
P A 2
P 1
Fdh
Phương trình Lagrange loại II
k
O
φ
x
F[t] A
B
i i i x
d T T Q d T T Q dt dt q q d T T Q dt x x
φ φ φ
∂ −∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ⇔ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂
ɺ ɺ ɺ Ta có: 1 2 2 2
2 2 2
4 ; 0 3
;
T P a P x T g g T P x T P x x g x g
φ φ φ φ
φ
∂ = + ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ = ∂ ∂
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ 1 2 2 2 2 1 2
2 2 2 2 0
420 sin sin cos 3
cos [ ] sin
P a P xx P x Pa P x Fx g g g P x P x P k x x F g g
φ φ φ φ φ φ
φ φ φ
+ + − = − − +
⇒ − = − − +
ɺɺ ɺ ɺɺɺ
ɺɺ ɺ
[**]
[**]
VD2:
1222 [ 222 ]
2 1 3 2
P P T a x x g g
\= φɺ + ɺ + φɺ
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II – VÍ DỤ VD3: Cho cơ hệ như hình vẽ gồm con chay A khối lượng m 1 chuyển động tịnh tiến thẳng ngang và Thanh mảnh đồng chất AB khối lượng m 2 có chiều dài 2 a. Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ.
k
O
A
φ
B
x
m 2 , 2a
m 1
-BTD=2 Chọn TĐSR đủ
- Lực hoạt động:
*Có thế: P 1 , P 2 , Fdh=kx => thếnăng:
Gốc tọa độ tại vịtrí lò xo không bị biến dạng và gốc thếnăng tại A
1 2
q x
q φ
= =
-Tính lực suy rộng Qx δq 1 = δx ≠ 0 và δq 2 = δφ = 0 k dh x
A F x kx x Q kx
\= − δ = − δ ⇒ = −
∑-Tính lực suy rộng Q φφφφ δq 1 = δx = 0 và δq 2 = δφ ≠ 0 2 2
asin asin
Ak P Q φ P
φδφ φ
\= − ⇒ = −
∑P 2
P 1
Fdh
2 2
1 cos 2
Π = kx − P a φ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 [ ] [ ] 2 cos[ ] 1 1 2 2 3 14 [ ] 2 cos[ ] 2 3
TB m VC J C
m a x a x m a
m a x a x
ω
φ φ φ φ
φ φ φ
\= + ∆
\= + + +
\= + +
ɺ ɺ ɺɺ ɺ
ɺ ɺ ɺɺ
Thanh AB chuyển động song phẳng: k O A
φ
B
x
m 2 , 2a
m 1
P 2
P 1
Fdh
2 2 2 2 1 2
1 1 4 [ ] 2 cos[ ] 2 2 3
T = m x + m a φ + x + a x φ φ
Động năng của cơ hệ: ɺ ɺ ɺ ɺɺ
2 2 2 2
1 2 2
4 cos[ ] ; sin[ ] 3 cos[ ] ; 0
T m a m ax T m a x
T m x m x m a T x x
φ φ φ φ φ φ φ φ
∂ = + ∂ = − ∂ ∂ ∂ = + + ∂ = ∂ ∂
ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
4 cos[ ] sin[ ] sin[ ] asin 3 [ ] m a cos[ ] m a sin[ ] 0
m a m ax m ax m a x P PTVPCD m m x kx
φ φ φ φ φ φ φ
φ φ φ φ
+ − + = − ⇒ + + − − = −
ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ
ɺɺ ɺɺ ɺ
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II – VÍ DỤ
i ii
Q q
T q
T dt
d = ∂
∂ − ∂
∂ ɺ
TỔNG HỢP – VD 1[*]
Cơ hệ chịu lực và liên kết như hình vẽ. Con lăn tâm B là trụ đặc đồng chất lăn không trượt, lăn trụ C được giữ đứng yên nhờ chốt H. Tại tiếp điểm I chỉ tồn tại ma sát trượt, mọi tiếp xúc khác đều bỏ qua ma sát. Tính: