Mỗi phép thử như vậy được gọi là phép thử Bernoulli. Gọi x là biến ngẫu nhiên rời rạc có giá trị là số lần thành công trong n lần thử. Sau đó, hàm phân phối xác suất của x được gọi là phân phối nhị thức, B[n, p], có hàm tần số [còn gọi là hàm mật độ xác suất] là
f[x] = C[n, x]px[1–p]n–x
trong đó C[n, x] = và n. = n[n–1][n–2]⋯3∙2∙1 như được mô tả trong Hàm Tổ hợp.
C[n, x] có thể được tính bằng hàm Excel COMBIN[n,x]. Xem Hình 2 về Các Hàm Tích hợp trong Excel để biết thêm chi tiết về hàm này
Hình 1 cho thấy đồ thị của hàm mật độ xác suất đối với B[20,. 25]
Hình 1 Phân phối nhị thức
Việc biểu đồ trông rất giống phân phối chuẩn không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên [xem Mối quan hệ giữa phân phối nhị thức và chuẩn]
Ý nghĩa và phương sai
tài sản 1
Có nghĩa là = np
Biến = np[1–p]
Nhấp vào đây để xem bằng chứng về Tài sản 1
Hàm bảng tính Excel
Excel cung cấp các chức năng sau liên quan đến phân phối nhị thức
BINOM. DIST[x, n, p, cum] = giá trị hàm mật độ xác suất f[x] cho phân phối nhị thức [i. e. xác suất có x thành công trong n phép thử trong đó xác suất thành công của bất kỳ phép thử nào là B[n, p] khi cum = FALSE và giá trị phân bố xác suất tích lũy tương ứng F[x] [i. e. xác suất có tối đa x thành công trong n thử nghiệm trong đó xác suất thành công của bất kỳ thử nghiệm nào là p] khi kiêm = TRUE
BINOM. INV[n, p, 1 – α] = giá trị tới hạn; . e. giá trị nhỏ nhất của x sao cho F[x] ≥ 1 – α, trong đó F là hàm phân phối nhị thức tích lũy của B[n, p]
Các hàm này không được hỗ trợ cho các phiên bản Excel trước Excel 2010; . BINOMDIST, tương đương với BINOM. DIST và CRITBINOM, tương đương với BINOM. INV
Excel 2013 giới thiệu hàm mới sau [trong đó x ≤ y ≤ n]
BINOM. QUẬN. RANGE[n, p, x, y] = xác suất có giữa x và y thành công [bao gồm] trong n thử nghiệm trong đó xác suất thành công trên bất kỳ thử nghiệm nào là p
Vì vậy, BINOM. QUẬN. PHẠM VI[n, p, x, y] = BINOM. DIST[y, n, p, TRUE] – BINOM. DIST[x–1, n, p, TRUE] nếu x > 0 và BINOM. QUẬN. PHẠM VI[n, p, 0, y] = BINOM. DIST[y, n, p, TRUE]. Tham số y có thể được bỏ qua, trong trường hợp đó BINOM. QUẬN. PHẠM VI[n, p, x] = BINOM. DIST[x, n, p, FALSE]
ví dụ
ví dụ 1. Xác suất mà khi bạn ném một con súc sắc 10 lần, nó sẽ xuất hiện sáu lần là bao nhiêu?
Chúng ta có thể lập mô hình bài toán này bằng cách sử dụng phân phối nhị thức B[10, 1/6] như sau
Ngoài ra, vấn đề có thể được giải quyết bằng công thức Excel
BINOM. DIST[4, 10, 1/6, SAI] = 0. 054266
ví dụ 2. Xác suất để mặt ngửa xuất hiện nhiều hơn mặt sấp trong 20 lần tung đồng xu công bằng là bao nhiêu?
Gọi E1 = biến cố mặt ngửa nhiều hơn mặt ngửa, E2 = biến cố mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa và E3 = biến cố mặt ngửa bằng số lần mặt sấp. Đầu tiên lưu ý rằng P[E1] = P[E2] và P[E1] + P[E2] + P[E3] = 1, và do đó P[E1] = [1–P[E3]]/2. Bây giờ
Các giá trị quan trọng của một phân phối rời rạc
Bởi vì phân phối nhị thức là rời rạc, các giá trị được tính toán bởi BINOM. INV [hoặc CRITBINOM] có thể không phải lúc nào cũng đại diện cho các giá trị quan trọng. e. g. giả sử bạn đang tiến hành thử nghiệm hai đầu với n = 100, p =. 4 và α =. 05, sau đó là BINOM. INV[100,. 4,. 025] = 31. Nhưng lưu ý rằng
BINOM. QUẬN[31,100,0. 4,ĐÚNG] =. 03985
BINOM. QUẬN[30,100,0. 4,ĐÚNG] =. 02478
Từ. 02478 ≤. 025 = α/2, giá trị tới hạn thấp hơn là 30 chứ không phải 31. Trên thực tế, giá trị tới hạn thấp hơn luôn nhỏ hơn 1 so với giá trị được tính toán bởi BINOM. INV, trừ trường hợp giá trị được tính bằng =BINOM. DIST[x, n, p, TRUE] chính xác là α/2, trong trường hợp đó, x = BINOM. INV[n, p, α/2];
Hóa ra giá trị tới hạn trên thực sự là giá trị được tính toán bởi BINOM. INV. Trong ví dụ trên, BINOM. INV[100,. 4,. 975] = 50 và
BINOM. QUẬN[50,100,0. 4,ĐÚNG] =. 9832
BINOM. QUẬN[49,100,0. 4,ĐÚNG] =. 9729
Từ. 9832 ≥. 975 = 1 – α/2, nhưng. 9729