2
1
Cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và AC tại E. Trên tia đối của tia CA lấy F sao cho CF = BD. Gọi M là giao điểm của DF và BC.
a] Chứng minh
b] Cho BC = 8cm, BD = 5cm và DE = 3cm. Chứng minh rằng ∆ABC cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] DE // BC [gt]
Xét ΔDEF có MC // DE.
Theo định lí Talét :
b] Theo hệ quả của định lí Talét :
=> AD = 3.1 = 3[cm]
Do đó ΔADE cân tại D, lại có : DE // BC => ∠AED = ∠ACB [đồng vị]
=> ∠A = ∠ACB [= ∠ AED]. Vậy ΔABC cân tại B.
1
0
Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì trên BC. Vẽ đường thẳng MN song song với AC [N thuộc AB], đường thẳng MP song song với AB [P thuộc AC]. Chứng minh:
Đáp án và Hướng dẫn giải
3
1
Cho tam giác ABC, vẽ tia Cx song song với cạnh AB. Từ trung điểm E của cạnh AB vẽ đường thẳng song song với cạnh BC cắt AC tại D và cắt tia Cx tại F. Đường thẳng BF cắt cạnh AC tại I.
a] Chứng minh IC2 = IA.AD
b] Tính tỉ số ID/IC .
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Cx // AB [gt] :
Mặt khác EF // BC theo định lí Talét :
b] Ta có:
mà Cx // AB theo hệ quả của định lí Talét:
0
0
Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Vẽ đường thẳng a qua A và song song với BC, đường thẳng a cắt các đường thẳng BE và CD lần lượt tại G và K. Chứng minh A là trung điểm của KG.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: a // BC [gt] theo hệ quả của định lí Talét:
Mặt khác DE // BC theo định lí Talét:
[hệ quả của định lí Talét]
Từ [1], [2], [3] suy ra:
Chứng tỏ A là trung điểm của KG.
0
0
Cho tam giác ABC, một điểm I nằm trong tam giác. IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt BN tại E và CP tại F.
Chứng minh rằng:
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có EF // BC. Theo hệ quả định lí Talét:
0
0
Cho hình thang ABCD [AB // CD], M là trung điểm của CD. I là giao điểm của AM với BD. K là giao điểm của BM với AC.
a] Chứng minh rằng: IK // AB.
b] Gọi E, F lần lượt là giao điểm của IK với AD và BC. Chứng minh rằng EI = KF.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Theo giả thiết AB // CD nên theo hệ quả của định lí Talét trong các tam giác IDM, KCM ta có:
0
0
Cho hình thang ABCD [AB < CD và AB // CD]. Vẽ qua A đường thẳng AK song song với BC [K DC] và AK cắt BD tại E, vẽ qua B đường thẳng BI song song với AD [I ∈ CD] cắt AC tại F.
a] Chứng minh rằng: EF // AB
b] Chứng minh: AB2 = CD.EF
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có AB // CD [gt]. Theo định lí Talét:
Chứng minh tương tự ta có :
[Vì CI = CK + KI và DK = DI + KI mà DI = CK [= AB]]
Theo định lí Talét đảo, ta có : EF // CD // AB.
b] Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có :
Mặt khác EF // AB theo hệ quả định lí Talét :
1
0
Cho hình bình hành ABCD, một điểm M trên đường chéo AC, đường thẳng BM cắt DC tại E và cắt đường thẳng AD tại F. Chứng minh rằng:
a] MB2 = ME.MF
Đáp án và Hướng dẫn giải
0
1
Cho tam giác ABC, lấy D thuộc cạnh BC, kẻ tia Bx song song với AD và Bx cắt đường thẳng CA tại E, kẻ tia Cy song song với AD và Cy cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh:
Đáp án và Hướng dẫn giải
1
0
Cho hình thang ABCD [AB // CD]. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Vẽ qua I đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh:
a] IE = IF
Đáp án và Hướng dẫn giải
0
0
Cho ∆ABC, đường cao AH. Lấy I, K thuộc đường cao AH sao cho AI = IK = KH. Qua I và K vẽ các đường thẳng DE, MN song song với BC [D, M ∈ AB; E, N ∈ AC]. Chứng minh rằng:
Đáp án và Hướng dẫn giải
DE // BC [gt] trong ∆AHB theo hệ quả của đinh lí Talét ta có :
Tương tự trong ∆AHC ta có :
0
0
Cho tam giác ABC. Lấy M, N bất kì lần lượt thuộc hai cạnh AB và AC. Nối B với N và C với M. Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AC tại I, qua N kẻ đường thẳng song song với CM cắt AB tại K. Chứng minh rằng IK // BC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
2
0
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, các đường phân giác của góc BMA và góc CMA cắt AB, AC tương ứng tại D và E.
a] Chứng minh rằng DE // BC
b] Gọi O là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: OD = OE.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] DM là đường phân giác của ∆ABM nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:
Tương tự EM là đường phân giác ∆ACM nên:
Mà MB = MC nên từ [1] và [2] suy ra
0
0
Cho tam giác ABC. Điểm D nằm trên cạnh BC thỏa mãn
Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ Cx // AD và Cx cắt đường thẳng BA tại E.
Theo định lí Talét:
Lại có:
Do đó: ∠ACE = ∠ AEC [1]
Mặt khác: AD // CE => ∠ACE = ∠A2 [so le trong] [2]
∠AEC = ∠A1 [đồng vị] [3]
Từ [1], [2], [3] => ∠A1 = ∠A2 hay AD là phân giác của góc BAC
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 21cm, AC = 28cm, phân giác AD [D ∈ BC]. Đường thẳng qua D và song song với BA cắt CA tại E. Tính độ dài DB, DC, ED.
Đáp án và Hướng dẫn giải
∆ABC vuông tại A theo định lí Pitago ta có:
AD là phân giác của góc A:
0
0
Cho hình bình hành ABCD, kẻ các tia phân giác của các góc A và D. Các tia phân giác này cắt đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng MN // BC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có AM là phân giác của ∆ABD :
Tương tự DN là phân giác :
Do đó theo định lí Talét đảo: MN // AD // BC.
0
0
Cho tam giác ABC cân tại A có ∠BAC = 135o . Dựng qua A tia Ax vuông góc với AC và tia Ay vuông góc với AB, các tia Ax, Ay lần lượt cắt cạnh BC tại D và E [D,E ∈ BC]. Chứng minh BD2 = BC.DE.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: Ax ⊥ AC [gt]
=> ∠DAC = 90o
=> ∠BAD = 135o - 90o = 45o
Tương tự ta có :
∠CAE = ∠BAD = 45o
Do đó AE và AB là phân giác trong và ngoài của góc ∠DAC
Ta có :
Mặt khác ∆BAD = ∆CAE [g.c.g] => BD = EC
Thay vào [1] ta có : BD2 = BC.DE [đpcm].
0
0
Cho tam giác ABC, có ba đường phân giác AD, BE và CF.
Chứng minh rằng :
Đáp án và Hướng dẫn giải
Theo tính chất đường phân giác ta có :
0
1
a] Chứng tỏ rằng tỉ số các chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
b] Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đồng dạng theo tỉ số k = 2/7 . Biết rằng tổng chu vi của hai tam giác bằng 180m. Tính chu vi của mỗi tam giác.
Đáp án và Hướng dẫn giải
0
0
Cho góc nhọn ∠xOy . Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B sao cho OA = 3cm, OB = 10cm. Trên tia Oy lấy 2 điểm C và D sao cho OC = 5cm, OD = 6cm. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
a] Nêu các cặp tam giác đồng dạng trong hình
b] Chứng minh IA.ID = IB.IC
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Xét ΔAOD và ΔCOB có ∠O chung và [1]
=> ΔAOD ∼ ΔCOB [c.g.c]
Do đó ∠OAD = ∠OCB [góc tương ứng]
Lại có: ∠AIB = ∠DIC [đối đỉnh]
=> ΔAIB ∼ ΔCID [g.g]
b] ΔAIB ∼ ΔCID [cmt]
0
0
Cho hình bình hành ABCD. Từ A vẽ AH, AK lần lượt vuông góc với CD và BC. Chứng minh rằng ∆ABC và ∆KAH đồng dạng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết góc A tù.
Ta có: SABCD = DC.AH = BC.AK
AH ⊥ DC mà DC // AB [gt]
=> AH ⊥ AB hay ∠HAB = 90o
Do đó ∠B = ∠HAK [2] [cùng phụ với góc ∠A1 ]
Từ [1] và [2] => ΔABC ∼ ΔKAH [c.g.c]
0
0
Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của cạnh BC, lấy D và E lần lượt thuộc cạnh AB và AC sao cho ∠MDB = ∠CME
a] Chứng minh: BM2 = BD.CE
b] Chứng minh tam giác MDE và tam giác BDM đồng dạng
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Xét ΔBDM và ΔCME có ∠B = ∠C [gt]; ∠BDM = ∠CME [gt]
=> ΔBDM ∼ ΔCME [g.g]
Do đó:
b] Ta có: ∠CME + ∠EMD + ∠DMB = 1802 [kề bù]
Mà: ∠BDM + ∠B + ∠DMB = 180o [tổng các góc trong một tam giác]
Mà ∠CME = ∠BDM [gt] => ∠EMD = ∠B [1]
Lại có:
Từ [1] và [2] => ΔMDE ∼ ΔBDM [c.g.c]
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của HC và AC, nối AM và MN. Lấy điểm G trên AM sao cho GM = GA/2. Chứng minh:
a] ΔGAH và ΔGMN đồng dạng
b] Ba điểm H, G, N thẳng hàng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có MN là đường trung bình của ΔAHC nên
MN = AH/2 và MN // AH
=> ∠HAG = ∠NMG [so le trong], lại có:
Do đó ΔGAH ∼ ΔGMN [c.g.c]
b] ΔGAH ∼ ΔGMN [cmt] => ∠AGH = ∠NGM
Do đó ba điểm H, G, N thẳng hàng
0
0
Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm tương ứng D và E. Đường thẳng song song với AC qua D cắt BE tại I, đường thẳng song song với AB qua E cắt CD tại K. Chứng minh rằng IK // BC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi F là giao điểm của BE và CD.
Ta có DI // AC [gt] => ∠D1 = ∠C1 [so le trong]
và ∠F1 = ∠F2 [đối đỉnh]
Do đó: ΔDFI ∼ ΔCFE [g.g]
Tương tự ta có: ΔDFB ∼ ΔKFE
Từ [1], [2] => FC.FI = FB.FK
Do đó theo định lí Talét đảo ta có KI // BC.
0
0
Cho hình thang ABCD [AB // CD], biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm và ∠DAB = ∠DBC .
a] Chứng minh: ΔADB và ΔBCD đồng dạng.
b] Tính BC, CD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có AB // CD [gt] => ∠B1 = ∠D1 [so le trong]
Xét ΔADB và ΔBCD có :
∠B1 = ∠D1 [cmt]
∠DAB = ∠DBC [gt]
Do đó ΔADB ∼ ΔBCD [g.g]
b] ΔADB ∼ ΔBCD [cmt]
0
0
Cho tam giác ABC cân tại A và ∠A > 90o. Lấy điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là AB, vẽ tia Bx sao cho ∠ABx = ∠AMB . Tia Bx cắt AM ở D.
a] Chứng minh ΔAMB và ΔABD đồng dạng
b] Chứng minh MB.MC = MA.MD
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Xét ΔAMB và ΔABD có:
∠ABD = ∠AMB [gt]
∠BAD chung
Do đó ΔAMB ∼ ΔABD [g.g]
=> ∠B1 = ∠D1 mà ∠B1 = ∠C1[gt]
=> ∠D1 = ∠C1
b] Xét ΔBMD và ΔAMC có: ∠M1 = ∠M2 [đối đỉnh]
∠D1 = ∠C1 [cmt]
Do đó ΔBMD ∼ ΔAMC [g.g]
Lưu ý thêm: bạn có thể chứng minh được ΔMBA ∼ ΔMDC [c.g.c] nhờ kết luận của câu b.
0
0
Cho hình thang ABCD [AB // CD] và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a] Chứng minh OA.OD = OB.OC
b] Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt AB và CD lần lượt tại H và K. Chứng minh OH.CD = OK.AB
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có AB // CD => ∠A1 = ∠C1 và ∠B1 = ∠D1
Do đó ΔAOB ∼ ΔCOD [g.g]
b] Dễ thấy ΔAOH ∼ ΔCKO [g.g]
Tương tự ΔBHO ∼ ΔDKO
0
0
Qua điểm I nằm bên trong tam giác ABC, dựng ba đường thẳng song song với các cạnh của tam giác: DE // BC; MN // CA; PQ // AB [D, M, thuộc AB; N, P thuộc BC; E, Q thuộc AC]
Chứng minh rằng:
Đáp án và Hướng dẫn giải
DE // BC [gt], theo định lí Talét:
Lại có ΔQIE ∼ ΔABC [vì ∠Q = ∠A, ∠E = ∠C ]
Mặt khác, dễ thấy tứ giác CNIE là hình bình hành nên IE = CN
Do đó:
0
0
Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B đến PC. Chứng minh rằng DH ⊥ QH.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: ∠B1 = ∠C1 [cùng phụ với ∠P1 ]
Do đó ΔBHP ∼ ΔCHB [g.g]
[vì BQ = BP và CB = CD]
Xét ΔBHQ và ΔCHD có :
∠B2 = ∠C2 [cùng phụ với ∠B1 = ∠C1 ] và [1]
Do đó ΔBHQ ∼ ΔCHD [c.g.c] => ∠BHQ = ∠CHD
Mà ∠BHQ + ∠H1 = 90o [gt]
=> ∠CHD + ∠H1 = 90o hay ∠DHQ = 90o
Chứng tỏ DH ⊥ QH.
0
0
Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60o . Một đường thẳng bất kì qua C cắt tia đối của tia BA, DA lần lượt tại M và N.
a] Chứng minh: BM.DN = BC.DC
b] Gọi I là giao điểm của BN và DM. Tính ∠BID
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có: AB // CD => ∠BMC = ∠C1 [đồng vị]
Tương tự: ∠D1 = ∠A = ∠B1
Do đó ΔMBC ∼ ΔCDN [g.g]
b] Hình thoi ABCD có ∠A = 60o nên ΔBCD đều => BC = DC = BD.
Từ [1] => BM.DN = BD2 [2]
Xét ΔMBD và ΔBDN có ∠MBD = ∠BDN = 120o và [2]
Do đó ΔMBD ∼ ΔBDN [c.g.c] => ∠M1 = ∠B2
Dễ thấy ΔMBD ∼ ΔBID [g.g] => ∠BID = ∠MBD = 120o
1
0
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường phân giác ngoài của góc A lấy hai điểm M và N về hai phía của A [M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B, N thuộc nửa mặt phẳng còn lại] sao cho AM.AN = AB2.
Chứng minh rằng: ΔANB ∼ ΔACM
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ đường cao AH của tam giác cân ABC ta có AH đồng thời là phân giác của ∠BAC => AH ⊥ AM
Mà AH ⊥ BC => MN // BC
Vì ∠A2 = ∠A3 [cmt] => ∠A1 = ∠A4
Do đó ∠MAC = ∠ NAB [1]
Mặt khác theo giả thiết ta có:
Từ [1] và [2], ta có: ΔANB ∼ ΔACM [c.g.c]
0
0
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo lớn AC. Từ C kẻ CE và CF lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB và AD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B và D đến AC.
Chứng minh rằng : AB.AE + AD.AF = AC2
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét tam giác vuông AHB và AEC có ∠A1 chung
=> ΔAHB ∼ ΔAEC [g.g]
Tương tự ΔADC ∼ ΔAQM
Từ [1] và [2] => AB.AE + AD.AF = [AH + AK].AC
= [AK + KC].AC [vì AH = KC]
= AC2
0
0
Cho tứ giác ABCD có ∠B = ∠D = 90o . Lấy một điểm M bất kì trên đường chéo AC; kẻ MP, MQ lần lượt vuông góc với BC và AD.
Chứng minh rằng:
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét hai tam giác vuông ABC và MPC có ∠C chung
Tương tự:
Cộng [1] và [2]:
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm D bất kì thuộc BC, một đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt tại E và F.
a] Chứng minh : DB.DC = DE.DF
b] Gọi AH là đường cao của ∆ABC, biết HB = 3cm, HC = 12cm. Tính đường cao AH.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có ∠F = ∠C [cùng phụ với ∠B ].
Do đó hai tam giác vuông ΔBDF ∼ ΔEDC [g.g]
b] Ta có ∠A1 = ∠C [cùng phụ với ∠B ]
Do đó ΔAHB ∼ ΔCHA [g.g]
=> AH2 = CH.BH = 12.3 => AH = 6 [cm]
0
0
Kẻ đường cao BD và CE của tam giác ABC và các đường cao DF và EG của tam giác ADE.
a] Chứng minh AD.AE = AB.AG = AC.AF
b] Chứng minh: FG // BC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Xét ΔADB và ΔAGE có ∠ chung và ∠ADB = ∠AGE = 90o [gt]
nên ΔADB ∼ ΔAGE [g.g]
Tương tự:
b] Từ [1] và [2] => AB.AG = AC.AF. Theo định lí Talét đảo => FG // BC.
0
0
Cho tam giác nhọn ABC với H là trực tâm. Trên các đoạn thẳng HB và HC lấy các điểm B1 và C1 sao cho ∠AB1C = ∠AC1B = 90o .
Chứng minh rằng: AB1 = AC1.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ các đường cao BD và CE ta có:
ΔAB1C ∼ ΔADB1 [g.g] [có ∠B1AC chung]
Chứng minh tương tự ta có :
ΔAC1B ∼ ΔAEC1 => AC12 = AB.AE [2]
Lại có ΔABD ∼ ΔACE [ ∠A chung]
Từ [1], [2], [3] ta có : AB1 = AC1
0
0
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G dựng một đường thẳng d bất kì cắt hai cạnh AB và AC. Từ A, B, C hạ các đường vuông góc AA1, BB11, CC1 xuống đường thẳng d. Chứng minh rằng : AA1 = BB1 + CC1.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi AD là đường trung tuyến của ∆ABC. Từ D dựng DD1 vuông góc với d. Dễ thấy DD1 là đường trung bình của hình thang BB1C1C nên :
=> 2DD1 = BB1 + CC1 [1]
Ta lại có hai tam giác vuông AGA1 và DGD1 đồng dạng [vì ∠AGA1 = ∠DGD1]
Từ [1] và [2] ta có : AA1 = BB1 + CC1
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc ABC cắt AH ở D và cắt AC ở E.
a] Chứng minh : AB.HD = AE.HB
b] Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABE và BHD biết AB = 6cm và AC = 8cm.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có BE là phân giác của ∠ABC [gt]
=> ∠B1 = ∠B2
Do đó hai tam giác vuông:
b] Ta có:
Xét hai tam giác vuông AHB và CAB có góc B chung nên :
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A có ∠B = 2∠C và đường cao AD.
a] Chứng tỏ ΔDBA và ΔABC đồng dạng.
b] Kẻ phân giác của góc ABC cắt AD tại F và AC tại E.
Chứng tỏ: AB2 = AE.AC
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] ΔDBA và ΔABC có: ∠ADB = ∠A = 90o chung;
nên ΔDBA ∼ ΔABC [g.g]
b] ∠B = 2∠C [gt] và BE là phân giác nên :
∠B1 = ∠B2 = ∠C
Do đó ΔBAE ∼ ΔCAB [g.g]
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC] đường cao AH, biết BC = 5cm, BH = 1,8cm. Gọi M là trung điểm của BC, đường trung trực của BC cắt AC tại D.
a] Tính AB, AH
b] Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DMC và ABC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Xét hai tam giác vuông AHB và CHA có:
∠A1 = ∠C [cùng phụ với ∠B ] nên:
ΔAHB ∼ ΔCHA [g.g]
=> AH2 = BH.CH = 1,8.3,2 [vì CH = BC – BH]
=> AH = √[1,8.3,2] = 2,4[cm]
Do đó:
b] Hai tam giác vuông DMC và BAC có góc C chung. Do đó:
0
0
Cho tam giác ABC. Từ điểm I bất kì nằm giữa A và B, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại J.
a] Chứng minh: ΔAIJ và ΔABC đồng dạng
b] Xác định vị trí của I trên cạnh AB sao cho SAIJ = SABC/9
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Ta có: IJ // BC [gt] => ΔAIJ ∼ ΔABC [g.g]
0
0
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: ΔAEF và ΔABC đồng dạng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét hai tam giác vuông AEB và AFC có A chung.
Vậy ΔAEB ∼ ΔAFC [g.g]
Xét ΔAEF và ΔABC có góc A chung và [1].
Do đó: ΔAEF ∼ ΔABC [c.g.c]
0
0
Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, và ∠ABD = ∠ACD . Gọi E là giao điểm của đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a] OA.OC = OB.OD
b] ΔAOD và ΔBOC đồng dạng và EA.ED = EB.EC
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Xét ΔAOB và ΔDOC có:
∠AOB = ∠COD [đối đỉnh]
∠ABD = ∠ACD [gt]
Vậy ΔAOB ∼ ΔDOC [g.g]
b] Xét ΔAOD và ΔBOC có: ∠AOD = ∠BOC [đối đỉnh] và [1] nên
ΔAOD ∼ ΔBOC [c.g.c] => ∠ADB = ∠BCA [2]
Xét ΔEDB và ΔECA có góc E chung và [2]
=> ΔEDB ∼ ΔECA [g.g]
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 10cm, đường cao AH = 4cm. Kẻ HI, HK lần lượt vuông góc với AB và AC. Tính diện tích tứ giác AIHK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: ∠A1 = ∠C [cùng phụ với ∠B ]. Do đó ΔAIH ∼ ΔCAB [g.g]
Dễ thấy tứ giác AIHK là hình chữ nhật [3 góc vuông]
=> SAIHK = 2SAIH = 6,4 cm2.
0
0
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 1cm và 3cm. Hỏi đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh đó theo tỉ số nào ?
Đáp án và Hướng dẫn giải
AD là phân giác của ΔABC ta có:
Lại có ΔAHB ∼ ΔCHA [g.g]
Vậy đường cao kẻ xuống cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn theo tỉ số 1/9 .
0
0
Cho tam giác ABC nhọn và hai đường cao AH, BK.
a] Chứng minh : ΔCKH ∼ ΔCBA
b] Tính diện tích tam giác CKH biết HA = 18cm, BC = 44cm và CK = 20cm.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Dễ thấy ΔCHA ∼ ΔCKB [g.g] [ ∠CHA = ∠CKB = 90o và góc C chung]
Do đó ΔCKH ∼ ΔCBA [c.g.c]
b] Ta có: SABC = [1/2].AH.BC = [1/2].18.44 = 396 [cm2]
Mặt khác ΔCKH ∼ ΔCBA [cmt]
0
0
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, biết BE = 5cm, EC = 4cm, EA = 2cm. Tính HC và HA.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét hai tam giác vuông AEB và HEC có ∠B1 = ∠C1 [cùng phụ với ∠A ]
0
0
Cho tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 4cm. Qua B dựng đường thẳng cắt cạnh AC tại D sao cho ∠ABD = ∠ACB .
a] Chứng tỏ ΔABD và ΔACB đồng dạng, tính AD
b] Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của ΔABC và ΔABD.
Chứng tỏ: SABH = 4SADK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a] Xét ΔABD và ΔACB có: góc A chung và ∠ABD = ∠ACB [gt]
b] ΔABD ∼ ΔACB [cmt]
=> ∠ADB = ∠ABC
Do đó ΔAHB ∼ ΔAKD [g.g]
0
0
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng qua A cắt BD, BC và DC theo thứ tự tại E, K, G.
a] Chứng minh:
b] Cho AB = 3cm; AD = 5cm. Tính tích BK.DG
Bài 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, biết AB = 4cm; AC = 8cm. Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại F sao cho góc ABF bằng góc ACB.
a] Chứng tỏ tam giác ABF và tam giác ACB đồng dạng. Tính độ dài đoạn CF
b] Chứng tỏ diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác ADC
c] Gọi O là giao điểm của BF và AD, CO cắt AB tại E. Từ A và C lần lượt dựng các đường thẳng song song với BF cắt CO tại J và cắt AD tại I.
+ Chứng tỏ
+ Chứng tỏ
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a] Ta có:
=> AK.EG = AG.AE
=> AK[AG – AE] = AG.AE
=> AK.AG – AK.AE = AG.AE
=> AK.AG = AE[AG + AK]
Chia cả hai vế cho AK.AG.AE
b] Ta có:
=> BK.DG = AB.AD = 5.3 = 15.
Bài 2:
a] Xét ΔABF và ΔABC có :
∠A chung
∠ABF = ∠ACB [gt]
=> ΔABF ∼ ΔACB [g.g]
b] Ta có DB = DC [AD là trung tuyến của ∆ABC]
=> SADB = SADC [chung đường cao kẻ từ A và đáy DB = DC]
=> SADB = SADC = SABC/2 => SABC = 2SADC
c] Ta có Cx // BF [gt]. Theo định lí Talét :
0
0
Bài 1: Cho tam giác ABC [AB < AC], đường phân giác AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho ∠ACI = ∠BDA . Chứng minh rằng:
a] ΔADB và ΔACI đồng dạng, ΔADB và ΔCDI đồng dạng
b] AD2 = AB.AC – DB.DC
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 6cm. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 4cm. Đường thẳng AM cắt đường chéo BD tại I, cắt đường thẳng DC tại N.
a] Tính tỉ số IB/ID
b] Chứng minh ΔMAB và ΔAND đồng dạng
c] Tính độ dài DN và CN
d] Chứng minh IA2 = IM.IN
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a] Xét ΔABD và ΔACI có:
∠A1 = ∠A2 [gt]
∠ACI = ∠BDA [gt]
Vậy ΔADB ∼ ΔACI [g.g]
=> ∠B = ∠AIC [1]
Xét ΔADB và ΔCDI có: [1] và ∠D1 = ∠D2 [đối đỉnh]
=> ΔADB ∼ ΔCDI [g.g]
b] ΔADB ∼ ΔACI [cmt]
Và ΔADB ∼ ΔCDI
Từ [1] và [2] => AB.AC – DB.DC = AD[AI – DI] = AD2 [đpcm]
Bài 2:
a] AD // BC [gt]
b] AB // CD [gt] => ∠BAM = ∠ AND [so le trong]
Lại có ∠B = ∠D [góc đối của hình bình hành]
=> ΔAMB ∼ ΔNAD [g.g]
c] ΔAMB ∼ ΔNAD [cmt]
Do đó: CN = DN – DC = 12 – 8 = 4 [cm]
d] Ta có:
0
0
Bài 1: Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5cm, BC = 6cm, phân giác của góc B cắt AC tại M, phân giác của góc C cắt AB tại N.
a] Tính AM, CM và MN
b] Tính tỉ số diện tích của ΔAMN và ΔABC
Bài 2: Cho tam giác ABC có ∠A = 120o , phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa A. Dựng tia Bx tạo với BC một góc ∠CBx = 60o và cắt AD ở E. Chứng minh rằng:
a] ΔADC và ΔBDE đồng dạng và AE.BD = AB.BE
b] ΔABD và ΔCED đồng dạng và ΔEBC đều
c] BC.AE = AB.EC + AC.BE
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a] BM là phân giác của góc B [gt]
Do đó: MC = AC – MA ≈ 5 – 2,3 ≈ 2,7 [cm]
Tương tự CN là phân giác của góc C:
Bài 2:
a] Ta có: ∠BAD = ∠CAD = 60o[gt]
Lại có: ∠DBE = 60o [gt] => ΔADC ∼ ΔBDE [g.g]
Xét ΔEBD và ΔEAB có: ∠BEA chung; ∠EBD = ∠BAE = 60o
=> ΔEBD ∼ ΔEAB [g.g]
b] Ta có ΔADC ∼ ΔBDE [cmt]
Lại có ∠ADB = ∠EDC [đối đỉnh]
Do đó ΔADB ∼ ΔCDE [c.g.c] => ∠BCE = ∠BAD = 60o
Vậy ΔEBC đều [∠EBC = ∠BCE = 60o ]
c] Vì AD là phân giác của ∠BAC [gt] ta có:
Từ [1] ta có AE.BD = BE.AB = EC.AB [vì EB = EC]
Hay EC.AB = AE.BD [3]
Công [2] và [3]: AB.EC + AC.BE = AE[CD + BD] = AE.BC [đpcm]
d] Ta có: AE.BC = AB.EC + AC.BE
= AB.BC + AC.BC [vì BC = EC = BE]
= BC[AB + AC] => AE = AB + AC [*]
Mặt khác: Xét ΔADC và ΔABE có: ∠CAD = ∠BAE = 60o ; ∠ACD = ∠AEB [cmt]
=> ΔADC ∼ ΔABE [g.g]
Theo [*] ta có:
0
0
Bài 1: Cho tam giác ABC [AB < AC], tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với AK cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh BD = CE
Bài 2: Cho ΔABC ∼ ΔMNP theo tỉ số k = 1/2 . Tính SMNP biết SABC = 6cm2.
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với đường chéo BD
a] Chứng minh ΔAHD và ΔDCB đồng dạng và BC2 = DH.DB
b] Gọi S là trung điểm của BH, R là trung điểm của AH.
Chứng minh SH.BD = SR.DC
c] Gọi T là trung điểm của DC. Chứng minh tứ giác DRST là hình bình hành
d] Tính góc AST
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Ta có :
Mặt khác : ∠D1 = ∠A1 [đồng vị]
∠E1 = ∠A2 [so le trong]
∠A1 = ∠A2 [gt]
=> ∠D1 = ∠E1
Do đó ΔADE cân tại A => AD = AE [2]
Từ [1] và [2] => BD = CE
Bài 2:
Bài 3:
a] Hai tam giác vuông AHD và BDC có ∠ADH = ∠CBD [SLT]
=> ΔAHD ∼ ΔDCB [g.g]
b] Ta có S, R là trung điểm của HB và AH nên SR là đường trung bình của ∆ABH => SR // AB
=> ∠HSR = ∠HBA [đồng vị]
Mà ∠HBA = ∠D1
=> HSR = ∠D1
Do đó ∆SHR ∼ ∆DCB [g.g]
c] Ta có SR // AB và SR = AB/2 [cmt], TD = CD/2
mà AB = CD và AB // CD [gt] => SR // DT và SR = DT
Do đó DRST là hình bình hành
d] Ta có SR // AB mà AB ⊥ AD [gt] => SR ⊥ AD, lại có AH ⊥ SD [gt]
=> R là trực tâm của ∆SAD => DR là đường cao thứ ba nên DR ⊥ SA
Mà DR // ST [DRST là hình bình hành] => ST ⊥ SA
Vậy ∠AST = 90o
0
0
Bài 1: Cho tam giác ABC, phân giác BD. Đường trung trực của BD cắt đường thẳng AC tại E.
a] Chứng minh ΔBED cân
b] Chứng minh ΔEAB và ΔEBC đồng dạng
c] Tính độ dài ED biết AD = 4cm, DC = 5cm
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có ∠B = 2∠C, đường cao AD.
a] Chứng tỏ ΔADB và ΔCAB đồng dạng
b] Kẻ tia phân giác của góc ABC cắt AD tại F và AC tại E
Chứng tỏ AB2 = AE.AC
c] Chứng tỏ
d] Biết AB = 2BD. Chứng tỏ diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác BFC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a] ΔBED có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên cân tại E.
b]Ta có: ∠EBD = ∠EDB [ΔBED cân]
mà ∠B1 = ∠B2 [gt]
và ∠EBC = ∠EBD + ∠B2
∠EAB = ∠EDB + ∠B1 [góc ngoài ΔABD]
Do đó: ∠EAB = ∠EBC [1]
Xét ΔEAB và ΔEBC có ∠E chung và [1]
=> ΔEAB ∼ ΔEBC [g.g]
c]Ta có ΔEAB ∼ ΔEBC [cmt]
=> 5EB = 4EC => 5EB = 4[EB + DC] vì EB = ED
=> 5EB = 4[EB + 5] => EB = 20 [cm]
Bài 2:
a] ΔADB và ΔABC vuông có ∠B chung => ΔADB ∼ ΔCAB [g.g]
b] Vì ∠B = 2∠C [gt] => ∠B1 = ∠B2 = ∠C
Do đó hai tam giác vuông ABE và ACB đồng dạng
c] Ta có ΔADB ∼ ΔCAB [cmt]
Theo tính chất đường phân giác ta có :
d] Ta có AB = 2BD [gt]
0
0
Bài 1:
Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh là 30cm và tam giác DEF đều. Biết tỉ số diện tích của hai tam giác này là
Tính chu vi của tam giác DEF.
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A [∠A ≠ 90o ], hai đường cao BD và CE [D ∈ AC, E ∈ AB]. Vẽ tia Bx vuông góc với AB tại B, Bx cắt tia AC tại I. Chứng minh rằng:
a] ED // BC
b] AC2 = AE.AI
c] BC là phân giác của góc DAI
d] DC.AB = CI.AE
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Ta có ΔABC ∼ ΔDEF [vì là các tam giác đều]
Gọi P là chu vi ΔDEF ta có : PDEF = 90.3 = 270 cm.
Bài 2:
a] Xét ΔADB và ΔAEC có :
∠ADB = ∠AEC = 90o [gt], ∠A chung
=> ΔADB = ΔAEC [cạnh huyền – góc nhọn]
=> AD = AE và AB = AC [gt]
=> ED // BC [định lí Talét đảo]
b] Ta có CE // BI [cùng vuông góc với AB [gt]]
=> AC.AB = AE.AI mà AC = AB [gt] => AC2 = AE.AI
c] Dễ thấy ∆BEC = ∆CDB [cạnh huyền – góc nhọn]
=>∠B1 = ∠C1 mà CE // BI [cmt] => ∠C1 = ∠B2 [so le trong]
=> ∠B1 = ∠B2 hay BC là phân giác của góc DAI
d] BC là phân giác [cmt] ta có :
0
0
Bài 1: Cho tam giác ABC. Từ điểm I bất kì nằm giữa A, B, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại J.
a] Chứng minh ΔAIJ ∼ ΔABC
b] Xác định vị trí của I trên cạnh AB sao cho SAIJ = SABC/9
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 4cm.
a] Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b] Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC
c] Từ H lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB, AC. Các đường thẳng này cắt AB tại E và AC tại F. Chứng minh ∆BEH ∼ ∆HFC. Từ đó suy ra BE.HC=HB.HF.
d] Chứng minh
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a] Ta có IJ // BC => ∠I1 = ∠B [đồng vị] và ∠A chung.
Do đó ΔAIJ ∼ ΔABC [g.g]
Bài 2:
a] Ta có AB2 + AC2 = BC2 [32 + 42 = 52]
Theo định lí Pitago đảo ΔABC vuông tại A.
b] Xét ΔABC và ΔAHB có ∠BAC = ∠AHB = 90o; ∠B chung
Do đó ΔABC ∼ ΔAHB [g.g]
c] Ta có HE // AC => ∠H1 = ∠C [đồng vị]
EH // AC [gt] mà AC ⊥ AB => EH ⊥ AB
Tương tự FH ⊥ AC => ∠HEB = ∠HFC = 90o
Do đó ΔBEH ⊥ ΔHFC [g.g]
d] Xét ΔAHB và ΔABC có ∠AHB = ∠BAC = 90o; ∠B chung
Do đó ΔAHB ∼ ΔABC [g.g]
Chứng minh tương tự với hai tam giác CHA và CAB, ta có:
AC2 = BC.HC [2]
Chia [1] cho [2] ta có:
0
0
Câu 1: Cho tỉ số AB/CD = 5/8 và AB = 15cm. Độ dài của CD là:
A. 25/4 cm B. 1/40 cm C. 24 cm D. 16 cm
Câu 2: Chọn đúng [Đ], sai [S] điền vào chỗ chấm.
a] Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.....
b] Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.....
Câu 3: Biết tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng k = 4/5 . Khi đó tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng là:
Câu 4: Cho tam giác ABC. Lấy D, E trên các cạnh AB, AC sao cho DE // BC và AD = 8cm, DB = 6cm, AE = 10cm. Độ dài cạnh AC là:
A. 8cm B. 10cm C. 15cm D. 17,5cm
Câu 5: Hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 3/4 . Tỉ số diện tích tương ứng của hai tam giác đó là:
Câu 6: Cho ΔABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 9cm và 16cm. Diện tích tam giác vuông đó là:
A. 72cm2 B. 144cm2 C. 150cm2 D. 210cm2
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm] Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6cm; AC = 8cm. Tia phân giác của góc ∠A cắt cạnh BC tại D. Từ D kẻ DK vuông góc với AC [K ∈ AC] .
a] Tính độ dài các đoạn thẳng BD; CD; DK
b] Tính diện tích các tam giác ABD và ACD
Bài 2: [3 điểm] Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm P, trên cạnh AC lấy điểm Q sao cho AP/AB = AQ/AC . Đường trung tuyến AM của ΔABC cắt PQ tại K. Chứng minh KP = KQ.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: C | Câu 2: a] Đúng b] Sai | Câu 3: A |
| Câu 4: D | Câu 5: B | Câu 6: C |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm]
a] Ta có:
BC2 = AB2 + AC2 [Py-ta-go]
= 62 + 82 = 100 => BC = 10 [cm]
Vì AD là phân giác của ∠BAC nên:
Vì DK // AB [cùng vuông góc với AC] nên:
b] Kẻ AH ⊥ BC [H ∈ BC]. Ta có: AH.BC = AB.AC
Bài 2: [3 điểm]
Ta có:
Vì K ∈ PQ nên PK // BM; KQ // MC
Trong ΔABM có PK // BM nên
Trong ΔAMC có KQ // MC nên
mà BM = MC [gt] nên PK = KQ.
0
0
Câu 1: Cho tam giác MNP có MI là tia phân giác [I ∈ NP] . Ta có:
Câu 2: Cho đoạn thẳng AB có chiểu dài gấp 4 lần đoạn thẳng CD, độ dài đoạn thẳng CD gấp 10 lần độ dài đoạn thẳng EF. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và EF là:
Câu 3: Cho ΔABC có độ dài các cạnh AB = 6cm; AC = 7cm và AD là đường phân giác. Khi đó:
Câu 4: Chọn câu khẳng định sai.
Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF thì:
Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 4cm, AC = 5cm và BC = 6cm và tam giác MNP có độ dài các cạnh MN = 3cm, MP = 2cm, NP = 2,5cm thì:
Câu 6: Cho hình vẽ bên. Số tam giác vuông đồng dạng với nhau là:
A. 3 C. 5
B. 4 D. 6
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm] Cho hình thang ABCD [AB // CD] có cạnh AB = 12 cm; CD = 27cm và ∠DAB = ∠DBC . Tính độ dài đường chéo BD.
Bài 2: [3 điểm] Cho ΔABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC [E ∈ AC] .
a] Chứng tỏ ΔADE vuông tại E.
b] Tính độ dài các đoạn thẳng BC; BD; DC và DE
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: D | Câu 2: B | Câu 3: B |
| Câu 4: D | Câu 5: A | Câu 6: D |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm]
Ta có ∠ABD = ∠BDC [so le trong]
∠BAD = ∠DBC [gt]
Suy ra ΔABD ∼ ΔBDC [g.g]
Bài 2: [3 điểm]
a] Ta có:
DE ⊥ AC [gt]
BA ⊥ AC [gt]
=> DE // BA
=> ∠ADE = ∠DAB [so le trong]
Mà ∠DAB = ∠DAE [gt]
=> ∠DAE = ∠ADE => ΔADE vuông cân tại E
b] BC2 = AB2 + AC2 [Py-ta-go]
= 92 + 122 = 225 => BC = 15cm
0
0
Câu 1: Cho MN/PQ = 3/4 và PQ = 12cm. Độ dài của MN là:
A. 6cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm
Câu 2: Cho hình vẽ dưới, biết MN // BC và AM = 4; AN = 5, AC = 8,5.
Độ dài x của đoạn thẳng MB là:
A. x = 2,8 B. x = 2,5 C. x = 2,7 D. x = 6,8
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm; BC = 18cm. Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng AM cắt CD tại N. Độ dài MN là:
A. 10cm B. 15cm C. 17cm D. 18cm
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; BC = 9cm. Kẻ BD là phân giác trong của ∠ABC . Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại E. Khi đó:
Câu 5: Cho ΔDEF ∼ ΔABC biết DE = 5cm, AB = 6cm, AC = 12cm. Độ dài DF là:
A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 15cm
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ một đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt BD, BC lần lượt tại K và M, cắt đường DC tại N. Khi đó
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm] Cho góc ∠xAy . Trên tia Ax lấy hai điểm E và C sao cho AE = 3cm; AC = 8cm. Trên tia Ay đặt các đoạn thẳng AD = 4cm và AF = 6cm.
a] Chứng minh: ΔAEF ∼ ΔADC
b] Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số diện tích của ai tam giác IDF và IEC.
Bài 2: [3 điểm] Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường tẳng song song với cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại M và N; đường thẳng qua N và song song với AB cắt BC tại D. Biết AM = 6cm; AN = 8cm; BM = 4cm.
a] Tính độ dài các đoạn thẳng MN, NC và BC
b] Tính diện tích hình bình hành BMND.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: C | Câu 2: A | Câu 3: B |
| Câu 4: D | Câu 5: C | Câu 6: D |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm]
a] Xét ΔAEF và ΔADC có:
Vậy ΔAEF ∼ ΔADC [c.g.c]
b] Vì ΔAEF ∼ ΔADC [chứng minh trên] => ∠DFI = ∠ECI
Lại có ∠DIF = ∠ EIC [gt] => ΔDIF ∼ ΔEIC [g.g]
Bài 2: [3 điểm]
a] Ta có: MN2 = AM2 + AN2 [Py-ta-go]
= 62 + 82 = 100 => MN = 10 [cm]
b] SBMND = BM.AN = 4.8 = 32 [cm2]
0
0
Câu 1: Gọi M là điểm nằm trên đoạn tẳng AB sao cho
Câu 2: Cho biết AB/CD = 5/4 và CD = 20cm. Độ dài đoạn AB là:
A. 15cm B. 20cm C. 25cm D. 30cm
Câu 3: Chọn đúng [Đ], sai [S] điền vào chỗ chấm.
a] Nếu hai tam giác cân có các góc ở đỉnh bằng nhau thì đồng dạng với nhau. ...
b] Nếu ΔABC ∼ ΔDEF với tỉ số đồng dạng là 1/2 và ΔDEF ∼ ΔMNP với tỉ số đồng dạng là 4/3 thì ΔMNP ∼ ΔABC với tỉ số đồng dạng là 2/3 ....
c] Trên cạnh AB, AC của ΔABC lấy 2 điểm I và K sao cho AI/AB = AK/BC thì IK // BC....
d] Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau....
Câu 4: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 4cm; AC = 5cm và AD là đường phân giác. Tỉ số diện tích của ΔABD và diện tích của ΔACD bằng:
Câu 5: Cho hình vẽ bên, biết AB // DE. Độ dài của đoạn thẳng BC là:
A. 1,5 C. 1,85
B. 1,75 D. 2,15
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [3 điểm] Cho tứ giác ABCD có AB = 3cm; BC = 10cm; CD = 12cm và AD = 5cm. Đường chéo BD = 6cm. Chứng minh:
a] Chứng minh ΔABD ∼ ΔBDC
b] Tứ giác ABCD là hình thang.
Bài 2: [4 điểm] Cho hình bình hành ABCD. Qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB, BC theo thứ tự tại M, N, P. Chứng minh:
a] DM2 = MN.MK
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: B | Câu 2: C | Câu 3: a] Đ b]S c] Đ d] S |
| Câu 4: A | Câu 5: B |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm]
a] Xét ΔABD và ΔBDC có:v
Vậy: ΔABD ∼ ΔBDC [c.c.c]
b] Vì ΔABD ∼ ΔBDC [chứng minh trên]
=> ∠ABD = ∠BDC [ở vị trí so le trong] => AB // CD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
Bài 2: [3 điểm]
a] Ta có:
Từ [1] và [2], nhân vế theo vế ta được:
b] Từ [1], ta có:
0
0
Câu 1: Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng PQ sao cho
Câu 2: Cho ΔABC, một đường thẳng a song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Khi đó:
Câu 3: Cho ΔABC và ΔMNP đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 3/2 . Chu vi tam giác ABC bằng 36cm. Chu vi tam giác MNP là:
A. 24cm B. 54cm C. 18cm D. 12cm
Câu 4: Cho hình thang ABCD [AB // CD]. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O và song song với hai đáy cắt AD tại E. Biết AB = 4cm, CD = 6cm. Tỉ số đồng dạng của hai tam giác AOE và ACD là:
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài 4cm và 9cm. Diện tích tam giác vuông đó là:
A. 39cm2 B. 36cm22 C. 18cm2 D. 27cm2
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, biết AB = 10cm; BC = 6cm. Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Độ dài BF là:
A. 1cm B. 1,5cm C. 1,25cm D. 1,75cm
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [3 điểm]
a] Cho ΔABC , kẻ các đường cao BK và CE. Chứng minh:
AE.AB = AK.AC
b] Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC theo thứ tự tại E, F, M. Chứng minh:
Bài 2: [4 điểm] Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 8cm, BC = 6cm. Kẻ AH ⊥ BD [H ∈ BD]
a] Chứng minh: ΔAHB ∼ ΔBCD
b] Chứng minh: AD2 = DB.DH
c] Tính độ dài các đoạn thẳng DH; AH?
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: C | Câu 2: B | Câu 3: A |
| Câu 4: C | Câu 5: A | Câu 6: B |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [3 điểm]
a] Xét ΔAEC và ΔAKB có:
• ∠A chung
• ∠AEC = ∠AKB = 90o
=>ΔAEC v∼ ΔAKB [g.g]
b] Từ B và D kẻ các đường thẳng song song với a cắt AC tại P và Q.
Theo định lí Ta-lét ta có:
Cộng theo vế [1] và [2] ta được:
à AP = PC [do ΔADQ = ΔCBP [g.c.g]]
Bài 2: [4 điểm]
a] Xét ΔAHB và ΔBCD có:
+] ∠AHD = ∠BCD = 90o
+] ∠HAB = ∠CBD [cùng phụ ∠ABH ]
Suy ra: ΔAHB ∼ ΔBCD [g.g]
b] Xét ΔDAB và ΔDHA có:
+] ∠DAB = ∠DHA = 90o
+] ∠D chung
Suy ra: ΔDAB ∼ ΔDHA [g.g]
c] Ta có: BD2 = AD2 + AB2 = 62 + 82 = 100
=> BD = 10 [cm]
Theo câu b] ta có: DA2 = DB.DH
Theo câu a] ta có ΔAHB ∼ ΔBCD
0
0
Câu 1: Cho đoạn thẳng AB và đoạn thẳng CD có độ dài lần lượt 48cm và 16dm. Tỉ số hai đoạn thẳng AB và CD là:
Câu 2: Cho biết đoạn thẳng AB có độ dài gấp 3 lần đoạn thẳng CD và độ dài đoạn thẳng MN gấp 5 lần độ dài của CD. Tỉ số của đoạn thẳng AB và MN là:
Câu 3: Cho hình vẽ bên, biết MN // EF; AM = 5cm; ME = 20cm; MN = 4cm. Độ dài x của đoạn thẳng EF là:
A. 20cm C. 12cm
B. 16cm D. 18cm
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tia phân giác của ∠BAC cắt cạnh BC tại D. Độ dài đoạn thẳng BD là:
Câu 5: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k. Gọi AM và A’M’lần lượt là hai trung tuyến của hai tam giác ABC và A’B’C’. Tỉ số hai đường trung tuyến AM và A’M’ bằng:
A. k B. k/2 C. 2k D. k2
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại B’ thỏa mãn
A. ΔABC ∼ ΔA'B'C'
B. ΔABC ∼ ΔB'A'C' v
C. ΔABC ∼ ΔA'C'B'
D. ΔABC ∼ ΔB'C'A'
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm] Cho ΔABC và đường trung tuyến BM. Trên đoạn BM lấy điểm H sao cho BH/HM = 1/2 . Tia AH cắt BC tại K và cắt tia Bx tại E [Bx // AC].
a] Tìm tỉ số BE/AC
b] Chứng minh
c] Tìm tỉ số diện tích của hai hình tam giác ABK và ABC
Bài 2: [3 điểm]Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F thứ tự là trung điểm của AB và CD. Hai đoạn thẳng DE và BF thứ tự cắt đường chéo AC tại M và N. Chứng minh AM = MN = NC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: B | Câu 2: C | Câu 3: A |
| Câu 4: B | Câu 5: A | Câu 6: B |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [4 điểm]
c] Hai tam giác ABK và ABC có chung đường cao kẻ từ A đến BC nên:
Bài 2: [3 điểm]
Ta có: AE = EB = AB/2; CF = FD = CD.2 [gt]
Mà AB // CD => EB // DF
=> Tứ giác BEDF là hình bình hành có DE // BF
• Trong ΔANB có ME // NB nên:
• Trong ΔCMD có NF // DM nên:
Vậy AM = MN = NC
0
0
Câu 1: Cho hình vẽ bên, biết MP // NQ; OM = 4cm; ON = 6cm; OP 2cm. Độ dài OQ là:
A. 3cm C. 5cm
B. 4cm D. 6cm
Câu 2: Cho AB = 5m và CD = 4dm.
Câu 3: Cho ΔABC biết AB = 10cm; AC = 14cm và BC = 12cm. AD là phân giác của góc ∠BAC . Độ dài DC là:
A. 4cm B. 7cm C. 6cm D. 3cm
Câu 4: Cho ΔABC đồng dạng với ΔDEF theo tỉ lệ là 1/3 . Khi đó ΔDEF ∼ ΔABC theo tỉ số đồng dạng là:
Câu 5: Chọn câu có khẳng định sai.
Cho tam giác DEF, trên hai cạnh DE và DF lấy hai điểm M và N sao cho MN // EF. Khi đó:
Câu 6: Cho ΔABC và ΔMNP đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 2/3 . Biết chu vi ΔMNP là 36cm. Chu vi ΔABC là:
A. 12cm B. 24cm C. 20cm D. 48cm
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [3 điểm] Cho ΔABC vuông tại B có AC = 20cm; BC = 12cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho AD = 5AB/3 .
a] Chứng minh: ΔABC ∼ ΔDBA
b] Tính số đo ∠CAD
Bài 2: [4 điểm] Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH và phân giác BD cắt nhau tại E, biết AB = 10cm; BC = 12cm
a] Tính các tỉ số
b] Từ D kẻ DK ⊥ BC [K ∈ BC] . Chứng minh
c] Tính diện tích tam giác ABE
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần trắc nghiệm [3 điểm]
| Câu 1: A | Câu 2: C | Câu 3: B |
| Câu 4: D | Câu 5: A | Câu 6: B |
Phần tự luận [7 điểm]
Bài 1: [3 điểm]
a] Ta có:
Xét hai tam giác ΔABC và ΔDBA có:
∠ABC = ∠DBA = 90o
=> ΔABC ∼ ΔDBA [cạnh huyền – cạnh góc vuông]
b] Ta có: ΔABC ∼ ΔDBA [chứng minh trên]
=> ∠DAB = ∠ACB lại có ∠ACB + ∠BAC = 90o [do ΔABC vuông tại B]
=> ∠DAB + ∠BAC = 90o hay ∠CAD = 90o
Bài 2: [4 điểm]
a] Vì BD là phân giác ∠ABC nên:
ΔABC cân tại A nên đường cao AH cũng chính là đường trung tuyến.
Trong ΔABH có BE là đường phân giác nên
b] Ta có DK // AH [cùng vuông góc với BC].
Mặt khác AH2 = AB2 + BH2 [Py-ta-go]
= 102 - 62 = 64 => AH = 8[cm]
Thay AH = 8cm vào [*] ta được EA = 5cm.
0
0
Cho tam giác DEF vuông tại D có DE=5cm,DF=13cm.Kẻ đường cao DKa] CMR: tam giác KED đồng dạng tam giác DEFb] Tính DF,DK
c] CMR:DK=EK.FK
Trả lời nhanh trong 10 phút và nhận thưởng
Xem chính sách
Bạn muốn biết điều gì?
GỬI CÂU HỎI