85
822183
822184
822185
844
822187
822188
822189
822190
844
849
822193
85
822195
822184
855
82315
85
82312____123301
822188
823303
82332
82333
823306
822184
822184
844
823310
82337
82218
823313
823314
823315
823301
822188
855
823319
82312
823321
822184
822115
82315
82332
822195____122190
822184
844____12315
8231
85____123333
85
823335
85
823337____122184
844
82315
85
82218
82219
826888
826942
826888
826944
826870
82315
826888
826899
Một giải pháp Naïve sẽ là lặp lại tất cả các số từ 1 đến sqrt[n], kiểm tra xem số đó có chia hết cho n hay không và số lượng ước tăng dần. Cách tiếp cận này mất thời gian O[sqrt[n]].
C++
8276
8277
8233
8268
8269
8281
8282
________ 150 ________ 151 ________ 150 ________ 153
854
855
850
857
855
859
850
850
852
853
854
855
856
857
858
859
858
82761
858
856
82764
82765
82766
________ 158 ________ 12768 ________ 12769
82765
82771
855
82773
855
82773
855
82777
82778
82773
82330
850
82332
854
________ 155 ________ 12335 ________ 12336 ________ 12337
855
82777
82680
82773
Java
82682
82683
________ 12684 ________ 12685
________ 12684 ________ 12687
82688
82689
855
8282
855
82693
850
851
850
853
855
854
855
850
82812
82813
82814
855
859
850
850
82819
82820
82821
855
854
858
856
82826
82813
82828
82765
859
82765
82761
82765
856
82764
8506
82766
82765
82768
82769
8506
8512
8513
82814
858____12773
855
82773
855
82777
82778
855
82773
855
82330
855
8527
82693
8529
8530
855
854
________ 155 ________ 1534 ________ 1535
8536
8537____1538
8539
8540
8541
8542
855
82773
82773
8546
Python3
8547
8548
82684
8550
8551
________ 1552 ________ 1553
855
8555
8556
82813
855
859
8560
8561
8562
850______12820
8565
850
8567
8537
82820
8570
855
856
8573
8574
8560
8556
8556
82813
8570
858
858
8582
858
8584
858
856
8573
8588
8560
8556
8556
8592
82765
8555
8556
8555
8537
82820
858
82768
8501
8502
82765
8555
8556
8555
8537
8513
82765
855
82777
8555
855
8514
8515
850____1517
8518
8519
851
8541
8522
8523
C#
8524
82683
8268
8527
82688
82689
855
8282
855
82693
850
851
850
853
855
854
855
850
857
855
859
850
850
8547
8548
8549
855
854
858
856
857
82765
82765
859
82765
82761
82765
856
82764
8506
82766
82765
82769
82765
82768
8506
82771
858____12773
855
82773
855
855
82777
82778
855
82773
855
8582
855
8527
82693
8529
8587
855
854
________ 155 ________ 1591 ________ 1592
8593
8537
8595
8506
8597
855
82773
82773
827601
PHP
827602
827603
827604
8282
827606
851____127608
827609
854
855
827612
827613
855
859
850_______127617
827618
827617
827620
827608
827622
827617
827624
855
854
855
856
850
827608
8574
827617
827633
855
854
858
859
858
82761
858
856
850
827608
8588
827617
827646
827617
827609
858
827612
827651
_______158____12769
858____12768
82765
827612
8556
827612
827660
855
82773
855
82773
855
82777
827612
82814
82773
827670
827671
8517____1518
855
827675
827676
827677
Javascript
827678
827679
855
8282
855
827606
827684
855
854
855____127688
855
859
827691
855
854
858
856
857
82765
859
82765
82761
82765
856
82764
8506
82766
82765
82768
82769
8506
82771
858____12773
855
82773
855
82777
82778
855
82773
827670
855
855
827723
8535
8536
8537____1538
8539
8597
858
827731
827732
đầu ra.
85
Thời gian phức tạp. [O[n^1/2]]
Độ phức tạp không gian. Ô[1]
Cách tiếp cận 2.
Giải pháp được tối ưu hóa [O[n^1/3]]
Đối với một số N, chúng tôi cố gắng tìm một số X ≤ ∛N i. e. X^3 ≤ N sao cho nó chia hết số này và một số khác Y sao cho N = X * Y. X gồm tất cả các thừa số nguyên tố của N nhỏ hơn ∛N và Y chứa tất cả các thừa số nguyên tố lớn hơn. Vì vậy, chúng không có nhân tử chung và HCF của chúng là 1
Chúng tôi lặp qua các số từ 1 đến ∛N và đối với tất cả các số nguyên tố, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho N không.
Nếu số nguyên tố chia hết, ta chia nó bao nhiêu lần có thể từ số N, do đó không còn thừa số nguyên tố cụ thể. Chúng tôi tiếp tục làm điều này cho tất cả các thừa số nguyên tố nhỏ hơn ∛N. Do đó, số còn lại sau vòng lặp sẽ không có thừa số nguyên tố nào nhỏ hơn ∛N
Với N = p1e1 *p2e2*p3e3… trong đó p1, p2, p3. là các thừa số nguyên tố, số ước được cho bởi [e1+1]*[e2+1]*[e3+1]…
Vòng lặp for cho chúng ta tích của [e+1] với mỗi thừa số nguyên tố nhỏ hơn ∛N
Số còn lại chỉ có tối đa 2 ước nguyên tố. Ta sẽ chứng minh điều này bằng mâu thuẫn
Giả sử Y = p1 * p2 * p3 trong đó p1,p2,p3 là số nguyên tố và p1,p2,p3 > ∛N [Đã giải thích ở trên]
Vì p1 >∛N và p2 > ∛N và p3 > ∛N
p1*p2*p3 > ∛N*∛N*∛N
=> p1*p2*p3 > N. Nhưng Y là một thừa số của N và không thể lớn hơn N
Do đó, tồn tại mâu thuẫn, hàm ý rằng một trong ba p1, p2, p3 phải nhỏ hơn ∛N
Nhưng vì tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn ∛N đã bị hấp thụ bởi X nên điều này là không thể
Sony không thể có nhiều hơn 2 thừa số nguyên tố
Do đó Y có thể có
1 thừa số nguyên tố nếu nó là số nguyên tố [Y] với số mũ 1
1 thừa số nguyên tố nếu nó là bình phương của một số nguyên tố [sqrt[Y]], với số mũ 2
2 thừa số nguyên tố của hợp số [p1, p2] với số mũ 1 và 1
Vì vậy, chúng tôi nhân
Nếu Y là số nguyên tố => [số mũ của y. i. e. 1 +1] = 2
Nếu Y là bình phương của số nguyên tố => [số mũ của sqrt[y]. i. e. 2+1] = 3
Nếu Y là hợp số => [số mũ của p1 +1]*[số mũ của p2+1] = 2 * 2 = 4
C++
827733
827734
8233
8268
8269
8281
________ 1529 ________ 127740
850 ________ 127742
827743 ________ 127744
827745
827743
827747
850
827749
854
855
855
827753
855
855
827756
855
827758
________ 155 ________ 127760
855____127762
855
859
850
850
827767
855
827769
827770
82814
________ 155 ________ 127773
________ 155 ________ 127775
855
827777
855
827779
855
859
850
850
827784
855
827786
827787
82814
855
827790
855
827792
827787
82814
855
859
850
850
827799
855____123301
855____123303
855
856
823306
827770
82828
858____123310
858
859
850
850
823315
82765
827769____127787
82814
855
82773
855
82773
855
850
823326
855
859
850
850
823331
855
856
823334
858____123336
858____123338
858____123340
858____123342
858
823344
827770
82814
858____123348
855
82773
855
82773
82773
823354
________ 150 ________ 151 ________ 150 ________ 153
854
855
823361
855
823363
855
856
823366
855
82777
823369
855
827743
823372
________ 155 ________ 150 ________ 123375 ________ 123376
855
823378
855____123380
855
823382
855
823384
855
823386
855
8277
855
850
823391
855
823393
855
859
850
850
823398
855
826800
855
856
826803
________ 158 ________ 126805 ________ 12814
855____126808
855
850
826811
826812
855
826814
826815
826816
855
854
858____126820
________ 158 ________ 126822 ________ 126823
855
82773
855____126827
855____126829
855
826831
855____126833
855
82773
855____126837
855
826839
855
856
826842
________ 155 ________ 126844
855
826846
________ 155 ________ 12768 ________ 156 ________ 126850
855
826852
855____126854
________ 155 ________ 12768 ________ 156 ________ 126858
________ 155 ________ 126860
855
82777 ________ 126863 ________ 126864
82773
826866
850
82332
854
855
82335______1517
826873
826874
855
82777
82680
82773
Java
826879
826880
________ 12684 ________ 12685
82688
82689
855
82693
8529 ________ 127740
850 ________ 127742
826891 ________ 127744
826893
826891
827747
850
827749
855
854
855
827756
855
827758
________ 155 ________ 127760
855____127762
855
859
850
850
82819
8513
826914
858
827769
827770
82814
855
826920
826873
826922
826873
826924
826873
826926
826873
826928
855
859
850
850
82819
82813
826935
82820
826937
858
827786
827787
82814
855
827790
855
826945
82820
826947
827787
82814
855
859
850
850
826954
8513
826956
858____126958
858____126960
858
856
823306
827770
82828
82765
826967
82765
859
850
850
826972
8513
826974
8506
827769
827787
82814
858____12773
855
82773
855
850
826985
82813
82814
855
859
850
850
826954
8513
826994
858
856
823334
82765
823336
82765
823338
82765
828103
82765
828105
82765
823342
82765
823344
827770
82814
82765
823348
858____12773
855
82773
855
82773
855
823354
855
82693
850
851
850
853
855
854
855
828131
855____128133
855
828135
855
856
828138
82820
827609
858
82777
82820
82814
855
826891
828147
828148
826891____128150
82820
828152
855
826891
828155
828148
826891____128158
82820
828152
855
823376
855
850
828165
828148
850
828168
855
828170
855____128172
855____128174
855
823384
855
828178
855
828180
855
850
828183
82820
82814
855
823393
855
859
850
850
82819
82813
828194
858
826800
858
856
826803
________ 12765 ________ 126805 ________ 12814
858____126808
858____126812
858
850
82812
82820
82814
858____126816
858
826814
828216
82813
82828
82765
826820
82765
826823
82765
8512
82820
82814
858____12773
858____126827
858____128232
858
828234
858____126833
855
82773
855
828240
855____128242
855
826839
855
856
826842
858
828249
8513
82814
855
826846
________ 155 ________ 12768 ________ 156 ________ 126850
858
828249
828260
82814
855____126854
855
82768
856
828267
82820
827609
858
828249
828272
82814
855
82777 ________ 126863 ________ 126864
855
82773
855
826866
855
8527
82693
8529
8530
855
854
855
8534
828291
828292
8537
828294
8540
8541
8542
855
82773
82773
85001
Python3
85002
85003
8552
85005
855
85007
855
85009
855
85011
855
85013
855
859
8560
8561
8562
850______1513
85021
8537
82820
85024
855
85026______1556
85028
855
85030
855
85032
855
85034
855
85036
855
859
8560
8561
8562
85042
85043
85044
8537
82820
827609
8537
82820
85024
855
85052
8556
85054
________ 155 ________ 15056
855
826945
82820
85060
8556
85054
855
85064
8556
8513
855
826814
85069
85043
85071____1556
85073
855
85075
855
85077
855
856
85080
8556
8556
85028
85024
858____15086
858
8560
8556
85064
85043
8513
________ 158 ________ 126814
85095 ________ 1556
85073
82765
85026
8556
85054
82765
8560
8537
8556
85064
855
85064
8537
8556
82820
855
________ 155 ________ 15114 ________ 1556 ________ 12813
855
859
85064
8561
8562
850
8513
85021
8537
82820
85024
855
856
85080
8556
8556
85028
85024
858
85136
858
85138
8556
85064
858
85142
858
85144
858
85146
85043
85148
8556
85028
858
85114
8537
8556
82820
85156
8552
85158
855
85160
855
85162
855____15164
855
856
8573____1556
8556
82820
85024
855
82777
82820
855
85176
8556
85178
85054
85060
85043
8573
8537
8513
827609
855
85187
8556
85178
85054
85060
85043
8573
85043
85044
8537
8513
827609
855
________ 155 ________ 15201
855
85203____1556
85178
82813
85060
85043
85044
855____15211
________ 155 ________ 15213
855____15215
________ 155 ________ 15217
________ 155 ________ 15219
________ 155 ________ 15221
855
85223____1556
82820
________ 155 ________ 15227
855
8560____1556
82813
855
826814
850
82820
85024
________ 155 ________ 15238
855
856____15241______15043
85243
85043
85245
858
826805
855
85249
855
8555
8556
82820
85254
82765
85256
855
826814
8573
8574
85243
8556
8556
82813
85024
85266
858
85044
8556
85044
8588
85243
858
8555
8556
8555
8537
82820
85279
855
85281
855
85283
855____15285
855
85223____1556
85223
85043
8555
855
8560____1537
8556
82820
855____15298
855
85300
855
855
85044
8556
850
85306
855____15308
855
856
85311____1556
8556
85028
85024
855
85223____1556
85223
85043
8513
855____15323
855
82768
856
85327
8556
8556
85028
85024
855
85223____1556
85223
85043
828260
855
85339
855
82768
856
85343
8556
82820
85024
855
85223____1556
85223
85043
828272
855
82777
85223
85356
85357
856
85359
8556
8556
85362
8501
855
8515
850
85367
85368
8541
8522
85371
85372
C#
85373
826880
8268
8527
82688
82689
855
82693
8529
827740
850
827742
827743
85386
826893
827743
85389
850
85391
855
854
855
827756
855
827758
________ 155 ________ 127760
855____127762
855
859
850
850
827767
858
827769
827770
82814
855
826920
855____126922
855
826924
855____126926
855____126928
855
859
850
850
85425
858
827786
827787
82814
855
827790
855
827792
827787
82814
855
859
850
850
827799
858____126958
858____126960
858
856
823306
827770
82828
82765
826967
82765
859
850
850
85456
8506
827769
827787
82814
858____12773
855
82773
855
850
823326
855
859
850
850
823331
858
856
823334
82765
823336
82765
823338
82765
828103
82765
828105
82765
823342
82765
823344
827770
82814
82765
823348
858____12773
855
82773
855
82773
855
823354
855
82693
850
851
850
853
855
854
855
828131
855____128133
855
828135
855
856
823366
858
82777
823369
855
827743
85522
828148
827743____15525
855
827743
85528
828148
827743
85531
855
823376
855
850
85536
828148
850
828168
855
828170
855____128172
855____128174
855
823384
855
828178
855
828180
855
850
823391
855
823393
855
859
850
850
823398
858
826800
858
856
826803
________ 12765 ________ 126805 ________ 12814
858____126808
858____126812
________ 158 ________ 150 ________ 126811
858____126816
________ 158 ________ 126814 ________ 15581
82765
826820
82765
826823
82765
826822
858____12773
858____126827
858____128232
858
828234
858____126833
855
82773
855
828240
855____128242
855
826839
855
856
826842
858____126844
855
826846
________ 155 ________ 12768 ________ 156 ________ 126850
858____126852
855____126854
________ 155 ________ 12768 ________ 156 ________ 126858
858____126860
855
82777 ________ 126863 ________ 126864
855
82773
855
826866
855
8527
82693
8529
8587
855
854
855
85643
828291
85645
8537____128294
8597
855
82773
82773
85652
PHP
827602
85654
826880
827606
827740
827608
85659
85660
8518
85662
85663____15664
85659
85666
827609
854
855
85670
855____15672
855
85674
855
85676
855
859
850_______127617
85681____127617
85683
827608
82814
827617
827624
855
85660____15178
827617
85692
________ 155 ________ 127773
855
85696
855
85698
855
85700
855
859
850_______127617
827613
827617
85707
827608
85043
827608
85711
827617
827624
855
85664
85178
827617
85718
855
827790
855
85660____15723
855
859
850_______15727
85681
85727
85043
85727
85683
827608
82814
85727
827624
855
854
855____126958
855
826960
855
856
850____15660
85178
85727
85749
855
854
858____126967
858
859 ________ 150
827617 ________ 1556
85727 ________ 15760
85761
827617
85683
827608
82814
827617
85767
85727
827609
82765
85660
85178
827617
85718
855
82773
855
82773
855
85780
827613
855
859
850_______15727
85681
85727
85683
827608
82814
85727
827624
855
854
855
856
850____15660
85178
85727
85801
855
854
858____123336
858
85666
85178
85780
826947
85727
82814
858____123340
858____123342
858
85664
85178
85727
85043____15727
85692
858
85780
827651
855
82773
855
82773
82773
823354
827606
851____127608
827609
854
855
828131
855____128133
855
828135
855
856
850____127608
85848
855
82777
823369
855
85660
8556
85855
85856
827608
85858
855
85664
8556
85855
85856
85864
827608
85043
827608
85858
855
855
823376
855
85666
8556
85855
85876
827608
85878
85879
855
828170
855____128172
855____128174
855
827740
827608
8518
85660
8518
85892
85664
8518
85666
827622
855____15898
855____15900
855
85902
827618
855
823393
855
859
850____127617
85910
827617
827624
855
854
855
826800
855
856
850_______15666
85178
827617
85923
85666
85178
827617
85923
85666
85178
827617
85931
827608
827609
________ 158 ________ 126805 ________ 12814
855____126808
855
827612
827618
85942
8536
85944
855
826814
850
827608
8574
85666
85178
827617
85953
85954
85955
85956
855
854
858
827608
8556
827608
8588
85666
85178
827617
828152