Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : x+2y 5 = 0 tại A(3 1) và qua điểm B 6 4
|
a, R=IM=52=>(C): (x+2)2+(y-3)2=52 b, R=d(I,∆)=255=>(C): (x+1)2+(y-2)2=45 c, R=AB2=13Tâm I là trung điểm AB=>I=(4;3)=>(C): (x-4)2+(y-3)2=13.. ...Xem thêm Loading Preview Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
Cho đường tròn (C) tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính R Nếu biết tiếp điểm là $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ $\overrightarrow{IM}\left( {{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $\left( {{x}_{0}}-a \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( {{y}_{0}}-b \right)\left( y-{{y}_{0}} \right)=0$ Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi $d\left( I;\Delta \right)=R$ để xác định tiếp tuyến. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ và điểm hai điểm $A\left( 1;-1 \right);\,\,B\left( 1;3 \right)$ a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B. Lời giải Đường tròn (C) có tâm $I\left( 3;-1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+1-6}=2$. a) Ta có: $IA=2=R;\,IB=2\sqrt{5}>R$ suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2;0 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2\left( x-1 \right)+0\left( y+1 \right)=0$ hay $x=1$ b) Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua B có dạng: $a\left( x-1 \right)+b\left( y-3 \right)=0$ (với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$) hay $ax+by-a-3b=0$ Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn $\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)=R$ $\Leftrightarrow \frac{\left| 3a-b-a-3b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2\Leftrightarrow {{\left( a-2b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}-4ab=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} b=0 \\ 3b=4a \\ \end{matrix} \right.$
Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là $x=1$ và $3x+4y-15=0$ Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y-1=0$ trong trường a) Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $\Delta ‘:2x+3y+4=0$ b) Đường thẳng $\Delta $ hợp với trục hoành một góc ${{45}^{0}}$ Lời giải a) Đường tròn (C) có tâm $I\left( 2;-2 \right)$, bán kính $R=3$ Vì $\Delta \bot \Delta ‘$ nên $\Delta $ nhận $\overrightarrow{u}\left( -3;2 \right)$ làm VTPT do đó phương trình có dạng $-3x+2y+c=0$ Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi $d\left( I;\Delta \right)=3\Leftrightarrow \frac{\left| -10+c \right|}{\sqrt{13}}=3\Leftrightarrow c=10\pm 3\sqrt{13}$ Vậy có hai tiếp tuyến là $\Delta :-3x+2y+10\pm 3\sqrt{13}=0$ b) Giả sử phương trình đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$ Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi $d\left( I;\Delta \right)=3\Leftrightarrow \frac{\left| 2a-2b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=3\Leftrightarrow {{\left( 2a-2b+c \right)}^{2}}=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)(*)$ Đường thẳng $\Delta $ hợp với trục hoành một góc ${{45}^{0}}$ suy ra $\cos \left( \Delta ;Ox \right)=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Rightarrow \cos {{45}^{0}}=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Leftrightarrow a=b$ hoặc $a=-b$ TH1: Nếu $a=b$ thay vào (*) ta có $18{{a}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \pm c=3\sqrt{2}a$, chọn $a=b=1\Rightarrow \,\,c=\pm 3\sqrt{2}$ suy ra $\Delta :x+y\pm 3\sqrt{2}=0$ TH2: Nếu $a=-b$ thay vào (*) ta có $18{{a}^{2}}={{\left( 4a+c \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} c=\left( 3\sqrt{2}-4 \right)a \\ c=-\left( 3\sqrt{2}+4 \right)a \\ \end{matrix} \right.$ Với $c=\left( 3\sqrt{2}-4 \right)a$, chọn $a=1,\,\,b=-1,\,\,c=\left( 3\sqrt{2}-4 \right)\Rightarrow \Delta :x-y+3\sqrt{2}-4=0$ Với $c=-\left( 3\sqrt{2}+4 \right)a$, chọn $a=1,\,\,b=-1,\,\,c=-\left( 3\sqrt{2}+4 \right)\Rightarrow \Delta :x-y-3\sqrt{2}-4=0$ Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là ${{\Delta }_{1,2}}:x+y\pm 3\sqrt{2}=0,\,\,{{\Delta }_{3}}:x-y+3\sqrt{2}-4=0$ và ${{\Delta }_{4}}:x-y-3\sqrt{2}-4=0$ Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y-5=0$ và $\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+8y+16=0$ Lời giải Đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 0;2 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3$ Đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 3;-4 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=3$ Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình $\Delta :ax+by+c=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$ $\Delta $ là tiếp tuyến chung của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d({{I}_{1}},\Delta )=3 \\ & d({{I}_{2}},\Delta )=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| 2b+c \right|=3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( * \right) \\ & \left| 3a-4b+c \right|=3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ \end{align} \right.$ Suy ra $\left| 2b+c \right|=\left| 3a-4b+c \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=2b \\ & c=\frac{-3a+2b}{2} \\ \end{align} \right.$ TH1: Nếu $a=2b$chọn $a=2,\,\,b=1$ thay vào (*) ta được $c=-2\pm 3\sqrt{5}$ nên ta có 2 tiếp tuyến là $2x+y-2\pm 3\sqrt{5}=0$ TH2: Nếu $c=\frac{-3a+2b}{2}$ thay vào (*) ta được $\left| 2b-a \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow $$a=0$ hoặc $3a+4b=0$
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là : $2x+y-2\pm 3\sqrt{5}=0,\,y+1=0,\,\,4x-3y-9=0$ 3. Bài tập luyện tậpBài 3.106: Cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y-17=0$. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau: a) Điểm tiếp xúc là $M\left( 2;1 \right)$ b) d đi qua A(3;6) c) d song song với đường thẳng $\Delta :3x-4y-2008=0$ d) d vuông góc với đường thẳng $\Delta ‘:2x-3y-4=0$ Bài 3.107: Cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ và điểm $A\left( 2;5 \right)$.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN. Bài 3.108: Cho $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho $\Delta ABC$ có diện tích bằng 4. Bài 3.109: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn: $\left( {{C}_{1}} \right){{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-2y+7=0$, $\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-7y+12=0$ và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ấy. Bài 3.110 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x-y+1=0$ và đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y=0$. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho $\widehat{AMB}={{60}^{0}}$. Bài 3.111 Cho $\left( {{C}_{m}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2mx-2\left( m-1 \right)y+1=0$ a) Tìm m để $\left( {{C}_{m}} \right)$ là đường tròn b) Tìm m để $\left( {{C}_{m}} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :x+y+1+2\sqrt{2}=0$ c) Tìm m để từ điểm $A\left( 7;0 \right)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với $\left( {{C}_{m}} \right)$ vuông góc với nhau. d) Tìm m để từ điểm $A\left( 7;0 \right)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với $\left( {{C}_{m}} \right)$ và tạo với nhau góc 600. Bài 3.112 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn: $({{C}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x=0,\,\,({{C}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-20=0$ a) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của $({{C}_{1}}),\,\,({{C}_{2}})$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d:x+6y-6=0$. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn $({{C}_{1}}),\,\,({{C}_{2}})$ . Bài 3.113 Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn (C) và đường thẳng d lần lượt có phương trình: (C): ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+6y+21=0$, $d:x+y-1=0$. Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm trên d. Bài 3.114 Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y+6=0$ và điểm $M\left( -3;1 \right)$. Gọi ${{T}_{1}},\,\,{{T}_{2}}$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng ${{T}_{1}}\,\,{{T}_{2}}$. Bài 3.115 Cho đường tròn (C) có phương trình: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$. Tìm trên $Oy$ điểm M mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến đó tạo thành góc ${{60}^{0}}$ Lời giải Bài 3.106: a) $4x+3y-11=0$ b) $x=2$ và $39x-80y+402=0$ c) $3x-4y+23=0$ và $3x-4y-27=0$. d) $3x+2y+10\pm 5\sqrt{13}=0$ Bài 3.107: Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: $x=2$ và $y=5$. Từ đó ta tìm được $M\left( 2;2 \right),\,\,N\left( -1;5 \right)$ suy ra $MN=\sqrt{{{\left( -1-2 \right)}^{2}}+{{(5-2)}^{2}}}=3\sqrt{2}$ Bài 3.108: (C) có tâm $I\left( 1;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$ Giả sử $A\left( a;0 \right),\,\,B\left( 0;b \right),\,\,a>0,\,\,b>0$ Phương trình đường thẳng AB có dạng $AB:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ hay $bx+ay-ab=0$. Ta có ${{S}_{AOB}}=4\Leftrightarrow ab=8$, AB tiếp xúc với (C) $\Rightarrow d\left( I;AB \right)=\sqrt{5}\Leftrightarrow b-a=-2$ Suy ra $a=4,\,\,b=2$ Vậy phương trình $AB:x+2y-4=0$ Bài 3.109: Toạ độ giao điểm của hai đường tròn là $A\left( 1;2 \right),\,\,B\left( 3;4 \right)$ Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $3x-y+3=0,\,\,x+3y-17=0$ Bài 3.110: Đường tròn có tâm $I\left( -1;2 \right)$ và có bán kính $R=\sqrt{5}$. $\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMI}={{30}^{0}}\Rightarrow MI=2AI=2\sqrt{5}$ Từ đó có hai điểm M thoả mãn ${{M}_{1}}\left( -3;-2 \right),\,\,{{M}_{2}}\left( 3;4 \right)$ Bài 3.111: a) $\left( {{C}_{m}} \right)$ là đường tròn $\left[ \begin{align} & m>1 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.$(*), có tâm $I\left( -m;m-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{2{{m}^{2}}-2m}$ b) $\left( {{C}_{m}} \right)$ tiếp xúc với $\Delta \Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)=R\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=-1 \\ \end{align} \right.$(thỏa mãn (*)) c) Gọi hai tiếp điểm là $H,\,K$ từ giả thiết suy ra $AHIK$ là hình vuông $\Rightarrow AI=\sqrt{2}R\Rightarrow m=4\pm \sqrt{41}$ d) TH1: Nếu $\widehat{HAK}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{IAK}={{30}^{0}}\Rightarrow IA=2R\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=5 \\ & m=\frac{-5}{3} \\ \end{align} \right.$ TH2: $\widehat{HAK}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{IAK}={{60}^{0}}\Rightarrow IA=\frac{2R}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=25 \\ & m=-3 \\ \end{align} \right.$ Bài 3.112: ĐS: a) ${{(x-12)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=125$ b) $x+7y-5\pm 25\sqrt{2}=0$ Bài 3.113: ĐS: $A\left( 2;-1 \right),\,\,B\left( 2;-5 \right),\,\,C\left( 6;-5 \right),\,\,D\left( 6;-1 \right)$ hoặc $A\left( 6;-5 \right),\,\,B\left( 6;-1 \right),\,\,C\left( 2;-1 \right),\,\,D\left( 2;-5 \right)$ Bài 3.114: C1: (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = 2. Giả sử ${{T}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\,,\,\,{{T}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\,$là các tiếp điểm của các tiếp tuyến $M{{T}_{1}}$ và $M{{T}_{2}}$. $M{{T}_{1}}:\left( x-1 \right)\left( {{x}_{1}}-1 \right)+\left( y-3 \right)\left( {{y}_{1}}-3 \right)=4$, $M{{T}_{2}}:\left( x-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)+\left( y-3 \right)\left( {{y}_{2}}-3 \right)=4$ Do hai tiếp tuyến đều đi qua điểm $M\left( -3;1 \right)\Rightarrow $$\left\{ \begin{align} & 4(1-{{x}_{1}})+2(3-{{y}_{1}})=4 \\ & 4(1-{{x}_{2}})+2(3-{{y}_{2}})=4 \\ \end{align} \right.$ Suy ra ${{T}_{1}}\,\,{{T}_{2}}:2x+y-3=0$ C2: Dựa vào điểm $M\left( -3;1 \right)$ và đường tròn có tâm I( 1; 3) và bán kính R = 2 nên thấy ngay đường thẳng y = 1 là một tiếp tuyến của đường tròn qua M suy ra tiếp điểm ${{T}_{2}}\left( 1;1 \right)$. Tiếp điểm T1 đối xứng với T2 qua đường MI nên nằm trên đường thẳng đi qua T2 và vuông góc với MI do đó ${{T}_{1}}\,\,{{T}_{2}}:2x+y-3=0$ Bài 3.115: (C) có tâm $I\left( 3;0 \right)$, bán kính $R=2$. Gọi hai tiếp điểm là $A,\,B$ +) TH 1. $\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{IMN}={{30}^{0}}\Rightarrow IM=4$ +) TH 2. $\widehat{AMB}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{IMN}={{60}^{0}}\Rightarrow IM=\frac{4}{\sqrt{3}}$ |
