- LG a
- LG b
- LG c
Tính giá trị gần đúng [chính xác đến hàng phần trăm] nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
LG a
\[\sin \left[ {2x + {\pi \over 6}} \right] = {2 \over 5}\]trong khoảng\[\left[ { - {\pi \over 3};{\pi \over 6}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[y = 2x + {\pi \over 6}\] thì:
\[ - {\pi \over 3} < x < {\pi \over 6} \]\[\Leftrightarrow - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\]
Ta có phương trình [với ẩn y] \[\sin y = {2 \over 5}\] [1]
Với \[ - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2},\] phương trình [1] có một nghiệm suy nhất là \[y = \arcsin {2 \over 5}.\]
Vậy với \[ - {\pi \over 3} < x < {\pi \over 6},\] phương trình đã cho tương đương với phương trình \[2x + {\pi \over 6} = \arcsin {2 \over 5}\]
Do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là \[x = {1 \over 2}\left[ {\arcsin {2 \over 5} - {\pi \over 6}} \right]\]
Lấy giá trị gần đúng \[\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412\] và \[{\pi \over 6} \approx 0,524,\] ta được \[x \approx - 0,06.\]
[Chú ý: Muốn tính gần đúng kết quả cuối cùng chính xác đến hàng phần trăm thì trong kết quả trung gian phải tính chính xác đến hàng phần nghìn].
LG b
\[\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}\]trong khoảng\[\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[y = {x \over 2}\] thì:
\[2\pi < x < 4\pi \Leftrightarrow \pi < y < 2\pi \]
Ta có phương trình \[\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\]
Do \[0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\] nên phương trình \[\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\] có duy nhất một nghiệm \[y = \alpha \] thuộc khoảng \[\left[ {\pi ;2\pi } \right]\] [có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác].
Vậy trong khoảng \[\left[ {2\pi ;4\pi } \right],\] phương trình đã cho tương đương với phương trình \[{x \over 2} = \alpha ,\]
Do đó có một nghiệm duy nhất \[x = 2\alpha .\]
Để tính giá trị gần đúng của \[\alpha ,\] ta làm như sau:
Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \[\beta \] thỏa mãn \[0 < \beta < \pi \] và \[\cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3}\].
[Cụ thể \[\beta = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\]].
Khi đó, dễ thấy \[2\pi - \beta \] thỏa mãn \[\pi < 2\pi - \beta < 2\pi \] và \[\cos \left[ {\pi - \beta } \right] = \cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3},\] nghĩa là \[\alpha = 2\pi - \beta .\]
Vì \[\beta \approx 1,080\] nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \[x = 2\alpha \approx 10,41.\]
LG c
\[\tan {{3x - \pi } \over 5} = - 3\]với\[ - {\pi \over 2} < x < {{7\pi } \over 6}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[y = {{3x - \pi } \over 5}.\]
Khi đó \[ - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\] và phương trình đã cho có dạng \[\tan y = - 3.\]
Với điều kiện \[ - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\], phương trình này có một nghiệm duy nhất \[y = \arctan \left[ { - 3} \right].\]
Vì vậy \[{{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left[ { - 3} \right]\] \[ \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left[ {5\arctan \left[ { - 3} \right] + \pi } \right]\]
Nên \[x = {1 \over 3}\left[ {5\arctan \left[ { - 3} \right] + \pi } \right]\] cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện \[ - {\pi \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}\]
Lấy giá trị gần đúng \[\arctan \left[ { - 3} \right] \approx - 1,249\] , ta được \[x \approx - 1,03\]