- LG a
- LG b
Cho dãy số\[\left[ {{u_n}} \right]\]xác định bởi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = a \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\]
Trong đó\[ - 1 < a < 0.\]
LG a
Chứng minh rằng\[ - 1 < {u_n} < 0.\]với mọi n và\[\left[ {{u_n}} \right]\]là một dãy số giảm
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với \[n = 1.\] Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là
\[ - 1 < {u_n} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\]
Ta chứng minh nó đúng với \[n + 1.\] Thật vậy, từ [2] suy ra
\[0 < {u_{n + 1}} + 1 < 1\,;\,\]
Do đó
\[0 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} < 1\]
Và
\[ - 1 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 < 0,\]
Tức là
\[ - 1 < {u_{n + 1}} < 0.\,\]
Vì \[ - 1 < {u_n} < 0\] nên \[{u_{n }} +1> 0\] và \[u_n^2 > 0\] với mọi n . Do đó từ [1] suy ra \[{u_{n + 1}} < \left[ {{u_n} + 1} \right] - 1 = {u_n}\] với mọi n.
Vậy \[\left[ {{u_n}} \right]\] là một dãy số giảm.
LG b
Chứng minh rằng
\[ - 1 < {u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left[ {{u_n} + 1} \right]\]với mọi n.
Tìm\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n}.\]
Lời giải chi tiết:
Từ đẳng thức [1] suy ra
\[{u_{n + 1}} + 1 = {1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }}\left[ {{u_n} + 1} \right]\] với mọi n.
Từ đó suy ra
\[\left| {{u_n}} \right| \ge \left| a \right| \Leftrightarrow u_n^2 \ge {a^2};\]
Do đó
\[{1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\] với mọi n
Và từ [3], ta có
\[{u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left[ {{u_n} + 1} \right]\] với mọi n.
Đặt \[{v_n} = {u_n} + 1\] và \[q = {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }},\] ta có \[0 < q < 1,{v_n} > 0\] và
\[{v_{n + 1}} \le q{v_n}\] với mọi n.
Từ đó ta có
\[\eqalign{
& {v_2} \le {v_1}q = \left[ {a + 1} \right]q, \cr
& {v_3} \le {v_2}q = \left[ {a + 1} \right]{q^2},..., \cr
& 0 \le {v_n} \le \left[ {a + 1} \right]{q^{n - 1}} \cr} \]
Với mọi n . Vì \[\lim \left[ {a + 1} \right].{q^{n - 1}} = \left[ {a + 1} \right]\lim {q^{n - 1}} = 0\] nên từ đó suy ra
\[\lim {v_n} = 0\] và \[\lim {u_n} = - 1.\]