- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
- LG câu e
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
LG câu a
a] \[\int\limits_1^2 {x{{[1 - x]}^5}dx} \] [đặt \[t = 1 - x\]]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.
Giải chi tiết:
\[\int\limits_1^2 {x{{[1 - x]}^5}dx} \]
Đặt \[t = 1 - x\]\[ \Rightarrow dt = - dx\]
Đổi cận: \[x = 1 \Rightarrow t = 0\], \[x = 2 \Rightarrow t = - 1\]
Khi đó \[\int\limits_1^2 {x{{[1 - x]}^5}dx} \]\[ = \int\limits_0^{ - 1} {\left[ {1 - t} \right].{t^5}\left[ { - dt} \right]} \] \[ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left[ {{t^5} - {t^6}} \right]dt} \] \[ = \left. {\left[ {\dfrac{{{t^6}}}{6} - \dfrac{{{t^7}}}{7}} \right]} \right|_{ - 1}^0\] \[ = 0 - \dfrac{1}{6} + \dfrac{{ - 1}}{7} = - \dfrac{{13}}{{42}}\]
LG câu b
b] \[\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \] [đặt \[t = \sqrt {{e^x} - 1} \]]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.
Giải chi tiết:
\[\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \]
Đặt \[t = \sqrt {{e^x} - 1} \]\[ \Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\] \[ \Rightarrow dx = \dfrac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \dfrac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}\]
Đổi cận: \[x = 0 \Rightarrow t = 0\], \[x = \ln 2 \Rightarrow t = 1\].
Khi đó \[\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \]\[ = \int\limits_0^1 {t.\dfrac{{2t}}{{{t^2} + 1}}dt} \] \[ = \int\limits_0^1 {\left[ {2 - \dfrac{2}{{{t^2} + 1}}} \right]dt} \] \[ = 2 - 2\int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \]
Xét \[I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \]. Đặt \[t = \tan u \Rightarrow dt = \left[ {1 + {{\tan }^2}u} \right]du\].
Đổi cận \[t = 0 \Rightarrow u = 0\], \[t = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\].
Khi đó \[I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \]\[ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{1 + {{\tan }^2}u}}{{{{\tan }^2}u + 1}}du} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {du} = \dfrac{\pi }{4}\]
Suy ra \[\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \]\[ = 2 - 2.\dfrac{\pi }{4} = 2 - \dfrac{\pi }{2}\].
LG câu c
c] \[\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \] [đặt \[t = \sqrt[3]{{1 - x}}\]]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.
Giải chi tiết:
\[\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \]
Đặt \[t = \sqrt[3]{{1 - x}}\] \[ \Rightarrow {t^3} = 1 - x \Rightarrow 3{t^2}dt = - dx\]
Đổi cận \[x = 1 \Rightarrow t = 0\], \[x = 9 \Rightarrow t = - 2\]
Khi đó \[\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \]\[ = \int\limits_0^{ - 2} {\left[ {1 - {t^3}} \right].t\left[ { - 3{t^2}dt} \right]} \] \[ = 3\int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {{t^3} - {t^6}} \right]dt} \] \[ = 3\left. {\left[ {\dfrac{{{t^4}}}{4} - \dfrac{{{t^7}}}{7}} \right]} \right|_{ - 2}^0\] \[ = - 3\left[ {\dfrac{{16}}{4} + \dfrac{{{2^7}}}{7}} \right] = - \dfrac{{468}}{7}\].
LG câu d
d] \[\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \] [đặt \[x = \pi - t\]]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.
Giải chi tiết:
\[\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \]
Đặt \[x = \pi - t\], ta suy ra:
\[\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \]\[ = \int\limits_\pi ^0 {\dfrac{{\left[ {\pi - t} \right]\sin \left[ {\pi - t} \right]}}{{1 + {{\cos }^2}\left[ {\pi - t} \right]}}\left[ { - dt} \right]} \]\[ = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\left[ {\pi - t} \right]\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}dt} \] \[ = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\left[ {\pi - x} \right]\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \]
\[ = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \]
\[ \Rightarrow 2\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \] \[ \Leftrightarrow \int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \]
Xét \[I = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \], đặt \[u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\].
Đổi cận \[x = 0 \Rightarrow u = 1,\] \[x = \pi \Rightarrow u = - 1\]. Khi đó
\[I = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \]\[ = \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{ - du}}{{1 + {u^2}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}} \]
Đặt \[u = \tan t\] \[ \Rightarrow du = \left[ {1 + {{\tan }^2}t} \right]dt\]. Đổi cận \[u = - 1 \Rightarrow t = - \dfrac{\pi }{4},\] \[u = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\].
Khi đó \[I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {dt} = \dfrac{\pi }{2}\]
Vậy \[\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = \dfrac{\pi }{2}.I = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\].
LG câu e
e] \[\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{[1 - {x^3}]}^4}dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.
Giải chi tiết:
\[\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{[1 - {x^3}]}^4}dx} \]
Đặt \[t = 1 - {x^3} \Rightarrow dt = - 3{x^2}dx\] \[ \Rightarrow {x^2}dx = - \dfrac{{dt}}{3}\].
Đổi cận \[x = - 1 \Rightarrow t = 2\], \[x = 1 \Rightarrow t = 0\]. Khi đó
\[\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{[1 - {x^3}]}^4}dx} \]\[ = \int\limits_2^0 {{t^4}.\left[ { - \dfrac{{dt}}{3}} \right]} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {{t^4}dt} \] \[ = \dfrac{1}{3}\left. {\left[ {\dfrac{{{t^5}}}{5}} \right]} \right|_0^2 = \dfrac{{32}}{{15}}\].