Loại đối xứng nào có thể nhìn thấy trong tam giác Pascals?
|
Tam giác Pascal đối xứng qua cột trung tâm của nó
Theo quy tắc Pascal, ta thấy tam giác Pascal đối xứng qua cột chính giữa (cột chứa các hệ số nhị thức trung tâm Show
Vì tam giác Pascal thực chất là một bảng để tra cứu các hệ số nhị thức Từ quy tắc của Pascal, suy ra T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k) Rõ ràng là T(0,k)=1 vì chỉ có một cách duy nhất để không chọn mục nào từ bộ sưu tập Từ trên, hàng 1 của tam giác Pascal là 1, 1, hàng 2 là 1, 2, 1 và hàng 3 là 1, 3, 3, 1. Từ quy tắc của Pascal, suy ra rằng các hàng được đánh số chẵn (với số Một trong những khía cạnh kỳ diệu nhất của toán học là khả năng xuất hiện các cấu trúc phức tạp và phức tạp từ các quy tắc đơn giản nhất. Rất ít đối tượng toán học được tạo ra đơn giản hơn – và rất ít đối tượng dệt nên nhiều mẫu phức tạp như vậy – như tam giác kỳ diệu của Pascal Để tạo tam giác Pascal của riêng bạn, tất cả những gì bạn cần là bút và giấy và một quy tắc rất đơn giản – mỗi số trong tam giác là tổng của hai số ngay phía trên nó. Sắp xếp các số giống như những viên gạch trong một bức tường, đặt số 1 xuống bên ngoài mỗi hàng và thêm - như vậy Blaise Pascal là một nhà toán học người Pháp thế kỷ 17. Ông chủ yếu quan tâm đến việc sử dụng tam giác để thúc đẩy nghiên cứu của mình về lý thuyết xác suất - một lĩnh vực mà ông ít nhiều đã phát minh ra khi trao đổi thư từ với Pierre de Fermat, sau khi một người bạn cờ bạc hỏi Pascal lời khuyên về cách hai người chơi súc sắc nên chia tiền nếu Mặc dù đơn giản để tạo ra, hình tam giác ẩn chứa rất nhiều mẫu đáng ngạc nhiên. Vì vậy, với lời xin lỗi đến những bài hát mừng dân gian nói chung và Frederic Austin nói riêng… Vào ngày đầu tiên của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Đếm số (có đối xứng)Hai mô hình ngay lập tức thoát ra khỏi hình tam giác là tính đối xứng hai bên của nó – nửa bên trái và bên phải của cái cây phản chiếu lẫn nhau một cách hoàn hảo – và hình ảnh những con số đếm quen thuộc di chuyển xuống các đường chéo bên trong ở mỗi bên Vào ngày thứ hai của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Quyền hạn của haiCộng tất cả các số trên mỗi hàng sẽ cho biết tất cả lũy thừa của hai (và cho thấy rằng 2 lũy thừa của 0 thực sự muốn bằng 1) Vào ngày thứ ba của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… số tam giácChúng ta đã thấy các số đếm dọc theo đường chéo bên trong đầu tiên - bây giờ hãy chuyển sự chú ý của chúng ta sang đường chéo thứ hai. Giả sử năm nay bạn đang nướng quà Giáng sinh cho bạn bè và gia đình và bạn có hình tam giác trong đầu. Bạn sẽ cần nướng bao nhiêu món ăn để sau này có thể sắp xếp chúng theo hình tam giác? Về mặt kỹ thuật, một điều trị sẽ làm được, nhưng đó là thứ mà các nhà toán học gọi là tam giác tầm thường (bạn bè của bạn có thể sử dụng thuật ngữ sặc sỡ hơn). Ba sẽ đẹp hơn Bạn có thể phát triển tam giác quà tặng của mình bằng cách thêm ba cái khác (tổng cộng là sáu) bên dưới tam giác nhỏ ban đầu của bạn – hoặc xa hơn nữa bằng cách thêm bốn cái khác (tổng cộng là mười) Các số chạm vào điểm ngọt ngào để tạo ra các hình tam giác được đặt tên thích hợp là các số hình tam giác và chúng xuất hiện dọc theo các đường chéo bên trong thứ hai ở mỗi bên Vào ngày thứ tư của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… FibonacciDãy số Fibonacci bắt đầu bằng 1 và 1, sau đó mỗi số tiếp theo là tổng của hai số liền trước nó. Chúng được mô tả lần đầu tiên vào năm 1202 bởi Fibonacci (hay Leonardo of Pisa), trong bối cảnh những con thỏ có thể thực hiện phép nhân một cách nhanh chóng Chúng rất khó phát hiện trong tam giác Pascal, nhưng chúng có thể bị dụ ra khỏi nơi ẩn náu. Bạn có thể tìm thấy chúng nằm rải rác trên “các đường chéo ngắn” của tam giác – cộng các số trong các đường chéo ngắn này sẽ cho phép bạn ghép các số của Fibonacci lại với nhau Vào ngày thứ năm của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Thủ … số thứNếu bạn cộng tất cả các số trong n hàng đầu tiên, bạn sẽ nhận được số Mersenne thứ n (là số thiếu 1 so với 2 lũy thừa của n). Số Mersenne được sử dụng ở mũi nhọn của nghiên cứu toán học để tìm các số nguyên tố thực sự lớn, bởi vì chúng có một tính năng rất thú vị. nếu n là số nguyên tố thì thỉnh thoảng số Mersenne thứ n cũng sẽ là số nguyên tố Ví dụ: cộng tất cả các số trong 5 hàng đầu tiên của tam giác Pascal sẽ cho chúng ta số Mersenne thứ 5, 31 (1 nhỏ hơn 2 theo lũy thừa của 5). Vì 5 là số nguyên tố, nên có khả năng 31 cũng có thể là số nguyên tố…. Cho đến nay, số nguyên tố Mersenne lớn nhất được biết là (2 mũ 20996011) trừ 1 – một số có 6320430 chữ số Một mẫu số nguyên tố khác của Pascal là như sau – nếu bạn nhìn vào một hàng mà số đang đếm trên đường chéo bên trong đầu tiên là số nguyên tố (chẳng hạn như 7), thì mọi số khác trong hàng đó của tam giác sẽ là bội số của số nguyên tố đó . Ngoại trừ số 1 ở bên ngoài, nghĩa là Vào ngày thứ sáu của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… cánh hoa đan vào nhauChọn bất kỳ số nào bên trong tam giác Pascal và nhìn vào sáu số xung quanh nó (tạo thành các cánh hoa xen kẽ trong những bông hoa được vẽ ở trên). Nếu bạn nhân các số trong mỗi cánh hoa thứ hai, bạn sẽ có cùng một câu trả lời cho dù bạn bắt đầu từ cánh hoa nào Vào ngày thứ bảy của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Bổ sung gậy khúc côn cầuBắt đầu từ bất kỳ số 1 nào ở cạnh ngoài cùng, cộng bao nhiêu số tùy thích xuống một trong các đường chéo. Bất cứ nơi nào bạn dừng lại, bạn sẽ thấy tổng của mình đang chờ thêm một bước chéo nữa - theo hướng ngược lại với nơi bạn đang hướng tới (do đó có mô hình “gậy khúc côn cầu”) Vào ngày thứ tám của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Bình phương thông qua phép cộngChọn bất kỳ số đếm nào dọc theo đường chéo đầu tiên và bình phương nó. Sau đó, hãy nhìn vào hai hàng xóm của nó nằm sâu hơn bên trong tam giác – chúng sẽ luôn cộng lại với cùng một số bình phương Vào ngày thứ chín của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… hệ số nhị thứcTam giác Pascal thậm chí có thể làm cho một số môn đại số đáng sợ ở trường trung học trở nên dễ dàng hơn rất nhiều Nếu bạn thấy mình ở một vị trí không may khi phải khai triển (x+y) thành lũy thừa của n, bạn có thể bỏ qua tất cả những công việc khủng khiếp để tìm ra câu trả lời Bắt đầu bằng cách đặt tất cả n x nhân với nhau và khi bạn di chuyển từ trái sang phải, hãy loại bỏ một x và thay thế bằng một y cho đến khi không còn x nào Khi bạn cộng tất cả các điều khoản này, tất cả những gì còn lại phải làm là điền vào các hệ số phù hợp. Đây sẽ là phần khó nhất của bài tập… nếu không phải vì bạn có thể đọc chúng ngay từ tam giác Pascal. Chỉ cần đi đến dòng có n trên đường chéo bên trong đầu tiên và họ sẽ đợi bạn Bí mật của con đường tắt kỳ diệu này là định lý nhị thức để mở rộng dấu ngoặc - cùng với thực tế là các chữ số trong tam giác Pascal thực sự là sự kết hợp được ngụy trang… Vào ngày thứ mười của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Tất cả các kết hợpHãy quay lại ngắn gọn để trở về cội nguồn lịch sử của tam giác Pascal. Như đã đề cập ở trên, tất cả các số trong tam giác Pascal thực sự tương ứng với các tổ hợp – nghĩa là chúng cho chúng ta biết chính xác có bao nhiêu cách chúng ta có thể chọn một nhóm nhỏ các đồ vật trong một nhóm lớn hơn (nếu thứ tự chúng ta chọn các đồ vật không giống nhau). Sự kết hợp rất quan trọng đối với những người theo lý thuyết xác suất và những người bạn cờ bạc của họ, vì đếm số cách mà một điều gì đó có thể xảy ra là cách đơn giản nhất để xác định xác suất xảy ra điều đó. Các kết hợp có thể được viết theo nhiều cách khác nhau, nhưng ký hiệu phổ biến nhất là đặt hai số bên trong một cặp dấu ngoặc đơn – một số ở trên cùng (để cho chúng ta biết tổng số đối tượng) và một ở số dưới cùng (để cho chúng ta biết chỉ . Và những kết hợp này hoàn toàn phù hợp với tam giác Pascal – số trên cùng khớp với hàng của tam giác và số dưới cùng cho chúng ta biết khoảng cách dọc theo hàng Chẳng hạn, giả sử chúng ta có 5 miếng trái cây và rau củ. một quả táo, một quả chuối, một củ cà rốt, một quả sầu riêng và một quả cà tím. Chúng tôi muốn chọn 2 trong số chúng để sử dụng trong nấu ăn của chúng tôi. Chúng ta có thể đưa ra bao nhiêu lựa chọn khả dĩ? Chúng ta có thể cẩn thận liệt kê tất cả các khả năng (nhớ rằng thứ tự không quan trọng) – khi đó chúng ta sẽ có AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE và tổng cộng 10 khả năng. Ngoài ra, chúng ta có thể đếm ngược 5 hàng (bắt đầu từ 0) và qua 2 vị trí (lại bắt đầu từ 0) trong tam giác Pascal – và cũng đến số 10 Vào ngày thứ mười một của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Sức mạnh của mười mộtĐể có một thủ thuật tiệc tùng đặc biệt thú vị, hãy xem điều gì sẽ xảy ra khi bạn gộp tất cả các số trong một hàng nhất định lại với nhau để tạo thành một số lớn. Trên thực tế, chúng ta phải cẩn thận một chút khi xử lý các số có hai chữ số và những thứ tương tự – thay vì chỉ ghép chúng lại với nhau, chúng ta sẽ di chuyển chữ số phụ sang bên trái (theo cách tương tự như phép cộng ở trường tiểu học Ví dụ: khi gộp hàng 1-4-6-4-1 lại với nhau, chúng ta chỉ có số 14641. Nhưng khi chúng ta gộp hàng 1-5-10-10-5-1 lại với nhau, chúng ta chia các số 10 thành 1 (được thêm vào số bên trái) và 0 (được giữ nguyên) Khi tách 10 đầu tiên theo cách này, hàng sẽ trở thành 1-(5+1)-(0)-10-5-1. Khi số 10 thứ hai được chia, hàng kết thúc bằng 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1 hoặc 1-6-1-0-5-1 và chúng ta kết thúc bằng . ) Giống như việc kết hợp các số trong một hàng bằng cách cộng chúng lại sẽ cho chúng ta lũy thừa của hai, kết hợp các số trong một hàng bằng cách gộp chúng lại với nhau như thế này sẽ cho chúng ta lũy thừa của mười một. Cũng lưu ý rằng 11 mũ 0 cũng thực sự muốn bằng 1… Vào ngày thứ mười hai của lễ Giáng sinh, hình tam giác đã tặng tôi… Fractal của SierpinkiBây giờ đối với mô hình Pascal yêu thích mọi thời đại của tôi – tôi không bao giờ hết ngạc nhiên về cách mà tam giác fractal yêu thích của tôi mọi thời đại cũng lén lút ẩn mình trong tam giác Pascal Hình tam giác của Siepinski là hình dạng bạn có được khi lấy một tam giác đều, cắt bỏ phần ở giữa, sau đó cắt bỏ các phần ở giữa từ tất cả các hình tam giác nhỏ còn lại, sau đó tiếp tục đi mãi (hoặc cho đến khi bạn mệt mỏi) Điều này liên quan như thế nào đến tam giác Pascal? Chúc bạn một Giáng sinh vui vẻ và một năm mới hạnh phúc; . Và có thể những bài hát mừng của bạn từ đó trở đi không bị ảnh hưởng bởi các nhà toán học Một số mô hình có thể được nhìn thấy trong tam giác Pascal là gì?Các mẫu trong tam giác Pascal . mẫu 1. Một trong những mô hình rõ ràng nhất là tính chất đối xứng của tam giác. . mẫu 2. Một mô hình rõ ràng khác xuất hiện dọc theo đường chéo thứ hai (từ trái hoặc phải) tạo thành các số đếm Tam giác Pascal chỉ ra điều gì?Tam giác Pascal cho chúng ta thấy có bao nhiêu cách kết hợp giữa mặt ngửa và mặt sấp . Điều này sau đó có thể cho chúng ta thấy xác suất của bất kỳ sự kết hợp nào.
2 mẫu trong tam giác Pascal là gì?Các mẫu trong tam giác Pascal . Các mẫu trong tam giác Pascal của một người Tam giác Sierpinki đường chéo. Mẫu tổng theo chiều ngang Mô hình chẵn và lẻ hình tam giác đối diện Mẫu các số lẻ trong tam giác Pascal là gì?ĐỊNH LÝ. Số mục lẻ trong hàng N của Tam giác Pascal là 2 được nâng lên thành số 1 trong khai triển nhị phân của N . |
