1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1
Sơ đồ này chỉ hiển thị mười hai hàng đầu tiên, nhưng chúng ta có thể tiếp tục mãi mãi, thêm các hàng mới ở dưới cùng. Lưu ý rằng tam giác là đối xứng-góc cạnh, có thể giúp bạn tính toán một số ô.
Tam giác được gọi là Tam giác Pascal, được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Blaise Pascal. Ông là một trong những nhà toán học châu Âu đầu tiên nghiên cứu các dạng và tính chất của nó, nhưng nó đã được các nền văn minh khác biết đến từ nhiều thế kỷ trước.
Năm 450 trước Công nguyên, nhà toán học Ấn Độ Pingala gọi tam giác này là “Cầu thang của Núi Tu Di”, được đặt tên theo một ngọn núi linh thiêng của đạo Hindu.
Ở Iran, nó được gọi là “tam giác Khayyam” [مثلث خیام], được đặt tên theo nhà thơ và nhà toán học Ba Tư Omar Khayyám.
Ở Trung Quốc, nhà toán học Jia Xian cũng đã phát hiện ra tam giác. It was named after his successor, “Yang Hui’s triangle” [杨辉三角]
Có thể tạo tam giác Pascal bằng cách sử dụng một mẫu rất đơn giản, nhưng nó chứa đầy các mẫu và thuộc tính đáng ngạc nhiên. Đó là lý do tại sao nó đã mê hoặc các nhà toán học trên khắp thế giới trong hàng trăm năm.
Tiếp tục
tìm trình tự
Trong các phần trước bạn đã thấy vô số dãy số toán học khác nhau. Hóa ra nhiều trong số chúng cũng có thể được tìm thấy trong tam giác Pascal.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
Các số ở đường chéo đầu tiên ở hai bên đều là đơn tăng chẵn.
Các số ở hai bên đường chéo thứ hai là số nguyên tố vuông.
Các số trong đường chéo thứ ba ở hai bên là số tam giácsố vuôngsố Fibonacci.
Các số ở đường chéo thứ tư là số tứ diện các số lập phương lũy thừa của 2.
Nếu bạn cộng tất cả các số thành một hàng, tổng của chúng sẽ tạo thành một dãy khác. các lũy thừa của hai số hoàn hảo số nguyên tố.
Trong mỗi hàng có một số nguyên tố trong ô thứ hai của nó, tất cả các số sau đây là bội số nghịch đảo của số nguyên tố đó
Sơ đồ trên làm nổi bật các đường chéo “nông” bằng các màu khác nhau. Nếu chúng ta cộng các số trong mỗi đường chéo, chúng ta sẽ có Các số Fibonacci Dãy số đá hoa cươngdãy hình học.
Tất nhiên, mỗi mẫu này đều có lý do toán học giải thích tại sao nó xuất hiện. Có lẽ bạn có thể tìm thấy một số trong số họ.
Một câu hỏi khác bạn có thể hỏi là tần suất một số xuất hiện trong tam giác Pascal. Rõ ràng có vô số số 1, một số 2 và mọi số khác xuất hiện ít nhất hai lần ít nhất một lần chính xác hai lần, trong .
Một số số ở giữa tam giác cũng xuất hiện ba hoặc bốn lần. Thậm chí có một số xuất hiện 6 lần. bạn có thể nhìn thấy cả 120 và 3003bốn lần trong tam giác ở trên và chúng sẽ xuất hiện thêm hai lần nữa mỗi lần trong các hàng 120 và 3003.
Vì 3003 là một số tam giác, nên nó thực sự xuất hiện thêm hai lần nữa trong các đường chéo thứ ba của tam giác – tổng cộng có tám lần xuất hiện
Không biết có số nào khác xuất hiện 8 lần trong tam giác không, hoặc có số nào xuất hiện nhiều hơn 8 lần không. Nhà toán học người Mỹ David Singmaster đã đưa ra giả thuyết rằng có một giới hạn cố định về tần suất các số có thể xuất hiện trong tam giác Pascal – nhưng điều này vẫn chưa được chứng minh.
chia hết
Một số mẫu trong tam giác Pascal không dễ phát hiện. Trong sơ đồ bên dưới, hãy đánh dấu tất cả các ô chẵn.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
Có vẻ như số chẵn trong tam giác Pascal tạo thành một số khác nhỏ hơn ma trận tam giác vuông.
Việc tô màu từng ô theo cách thủ công mất nhiều thời gian, nhưng ở đây bạn có thể thấy điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thực hiện việc này cho nhiều hàng khác. Còn các ô chia hết cho các số khác thì sao?
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1
Chia hết cho 2 Chia hết cho 3 Chia hết cho 4 Chia hết cho 5
Ồ. Các ô được tô màu luôn xuất hiện các cặp hình vuông hình tam giác [ngoại trừ một vài ô đơn lẻ, có thể được coi là hình tam giác có kích thước 1].
Nếu chúng ta tiếp tục mô hình các ô chia hết cho 2, chúng ta sẽ nhận được một ô rất giống với tam giác Sierpinki ở bên phải. Những hình dạng như thế này, bao gồm một mô hình đơn giản dường như tiếp tục mãi mãi trong khi ngày càng nhỏ hơn, được gọi là Fractals. Bạn sẽ tìm hiểu thêm về chúng trong tương lai…
Tam giác Sierpinki
hệ số nhị thức
Còn một tính chất quan trọng nữa của tam giác Pascal mà chúng ta cần nói đến. Để hiểu nó, chúng ta sẽ cố gắng giải cùng một vấn đề bằng hai phương pháp hoàn toàn khác nhau, sau đó xem chúng có liên quan như thế nào.