Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau

§7. §8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÔÌ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A. Tóm tắt kiến thức 1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn VỊ trí tương đối Số điểm chung Hộ thức giữa d, R và r Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r R + r d r, cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành OAƠM. Chứng minh rằng BM // oơ. Vẽ đường kính AOC. Chứng minh ba điểm B, M, c thẳng hàng. Giải, a) Vẽ dây chung AB cắt 00' tại K. Ta có KA = KB. Gọi I là giao điểm của AM với OO' thì IA = IM (tính chất đường chéo hình bình hành). Xét AABM thì IK là đường trung bình nên IK//BMhay BM//00’. (1) Xét AABC có OK là đường trung bình nên OK//BChay BC//OO'. (2) Từ (1) và (2), theo tiên đề O-clit suy ra ba điểm B, M, c thẳng hàng. Nhận xét. Việc vẽ thêm dây chung AB để .có thể vận dụng định lí đường trung bình của tam giác là một phần quan trọng trong chứng minh ví dụ này. Khi bài toán có hai đường tròn cắt nhau, nếu cần vẽ đường phụ, ta thường vẽ thêm dây chung. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Hình a Bài 33. HD : Chứng minh một cập góc so le trong bằng nhau bằng cách dùng hai góc A đối đỉnh làm trung gian. Bài 34. Vẽ dây chung AB cắt 00' tại H. Ta có AB 1 00’ và HA = HB = 12cm. Ta có OH2 = OA2 - AH2 = 202 - 122 = 256 => OH = 16cm. Hình b O'H2 = 0'A2 - AH2 = 152 - 122 = 81 => O'H = 9cm. Nếu o và O' nằm khác phía đối với AB (h.a) thì 00'= 16 + 9 = 25 (cm). Nếu o và O' nằm cùng phía đối với AB (h.b) thì Bài 35. 00' = 16-9 = 7 (cm). - Dòng đầu : 0 ; d < R - r. Dòng thứ hai Dòng thứ ba : Dòng thứ tư : Dòng cuối : 0 ngoài nhau ; 0. 1 ; d = R + r. Tiếp xùc trong ; 1. Cắt nhau ;R-r oc 1 AD => CA = CD (đường kính vuông góc với một dây). Bài 37. Vẽ OM 1 AB. Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta được MA = MB và MC = MD. Từ đó suy ra AC = BD. Nhận xét. Kết luận của bài toán vẫn được giữ nguyên nếu c và D đổi chỗ cho nhau. Bài 38. a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên d = R + r = 3+ l= 4 (cm). Trả lời: Đường tròn (O ; 4cm). Hai đường tròn tiếp xúc trong nên d = R- r = 3- l= 2 (cm). Trả lời: Đường tròn (O ; 2cm). Ta có AI ± 00'. Xét AOIO' vuông tại I, ta có IA2 = OA.O'A = 9.4 = 36 => IA = 6. Do đó BC = 12 (cm). Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thèm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuân lơi. Bài 40. Trong hệ thống các bánh xe răng cưa thì hai bánh xe răng cưa tiếp xúc ngoài bao giờ cũng chuyển động ngược chiều nhau, hai bánh răng cưa tiếp xúc trong bao giờ cũng chuyển động cùng chiều nhau. Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình a), hình b) chuyển động được. Hộ thống bánh răng ở hình c) không chuyển động được. D. Bài tập luyện thêm Cho đường tròn (O ; 17) và đường tròn (O' ; 10) cắt nhau tại A và B. Biết 00’ = 21, tính AB. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ đường tròn (O) đường kính CD và đường tròn (A ; a). Chứng minh rằng hai đường tròn này cắt nhau. Gọi N là giao điểm của hai đường tròn (N * D). Tia CN cắt AB tại M. Chứng minh rằng diện tích tứ giác AMCO bằng một nửa diện tích hình vuông. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = 2 ; CD = 4,5 và BC = 6,5. Vẽ đường tròn (B ; 2) và đường tròn (C ; 4,5). Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc với AD. Gọi N là tiếp điểm của hai đường tròn. Qua N vẽ một tiếp tuyến chung cắt AD tại M. Chứng minh rằng AD = 2.MN. Tính diện tích hình thang. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số Gọi H là giao điểm của AB với đường thẳng 00'. Khi đó : HA = HB và AB ± 00'. Ta đặt OH = X thì O'H = 21 - X. Từ (1) ta được phương trình : 172 - X2 = 100 - (21 - x)2. Giải ra ta được X = 15, do đó AH = 8 và AB =16. B Ta có AO là đoạn nối tâm. Xét AAOD có : AD - OD < OA < AD + OD hay R - r < AO < R + r. Vậy hai đường tròn (A) và (O) cắt nhau. c Vẽ dây chung DN cắt AO tại H, ta được HN = HD. Xét ADCN có OH là đường trung bình nên OH // CN hay AO // CM. Mặt khác AM // oc nên tứ giác AMCO là hình bình hành. Diện tích hình bình hành này là : 1 * 2-lc ‘d.d——d ——s s = OC.AD ABCD- Nhận xét. 3. Nhận xét. c 2 2 2 Khi bài toán có hai đường tròn cắt nhau, ta thường vẽ thêm dây chung để xuất hiện những yếu tố mói giúp ta chứng minh được dễ dàng. BC là đoạn nối tâm. Ta có BC = 6,5 - 2 + 4,5 hay d = R + r. Do đó đường tròn (B) và đường tròn (C) tiếp xúc ngoài. Ta có BA là bán kính của đường tròn (B), CD là bán kính của đường tròn (C) mà AD ± BA ; AD ± CD nên AD là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : MA = MN ; MD = MN do đó MA + MD = 2MN hay AD = 2MN. Ta có Ml = Mỉ ; Ms - M4 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra MB ± MC. Xét AMBC vuông tại M, có MN ± BC (tính chất của tiếp tuyến). Do đó MN2 = NB.NC = 2.4,5 = 9 => MN = 3 và AD - 6. Diện tích hình thang ABCD là : s = I (AB + CD).AD = I (2 + 4,5).6 = 19,5 (đvdt). Câu b) là câu gợi ý để làm câu c). Khi bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau, nếu cần vẽ đường phụ thì ta vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm.

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;20) và (O';15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO' biết rằng AB=24d 

Hướng dẫn: Ta có hai trường hợp sau xảy ra:

Gọi C là giao điểm của đường thẳng OO' với AB

TH1: O và O' khác phía với AB khi đó: \(OO'=OC+CO'\)

\(OC=\sqrt{OB^2-BC^2}\sqrt{20^2-12^2}=16\); \(CO'=\sqrt{O'B^2-BC^2}\sqrt{15^2-12^2}=9\)

\(\Rightarrow OO'=9+16=25\)

TH2: O và O' nằm cùng phía với AB khi đó: \(OO'=OC-CO'\)

\(OO'=16-9=7\)

Bài 2: Cho 2 đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D chúng minh AC=BD.

Hướng dẫn: 

Gọi E là trung điểm của CD suy ra OE vuông góc với CD hây OE vuông với AB nên E cũng là trung điểm của AB

mà AC=AE-EC; BD=BE-DE. Vậy ta luôn có AC=BD

Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. CMR: AC=CD

Hướng dẫn:

a) Hai đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA tiếp xúc trong với nhau

b) Tam giác AOC có IA=IO=IC nên tam giác đó vuông tại C hay OC vuông góc AD tại C 

Vì vậy C là trung điểm của AD nên AC=CD

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O;r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và AO'D

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M, N. CMR: \(MN\leq CD\)

Hướng dẫn: 

a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay \(AB\perp CB\)

Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay \(AB\perp BD\)

\(\Rightarrow C,B,D\) cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB

b) Xét tam giác ACD có OO' là đường trung bình nên: \(OO'=\frac{1}{2}.CD\)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O và O' lên MN. Khi đó E, F lần lượt là trung điểm AM và AN

suy ra \(EF=\frac{1}{2}.MN\). Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' và EF

Xét 2 đoạn thẳng OE và O'F song song với nhau. EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O'F

\(EF\leq OO'\Rightarrow MN\leq CD\)

Bài 2: Cho tam giác ACB vuông tại A (AB

b)CMR: \(EF^2= OB.O'C\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(OE\perp AB, ME\perp AB\Rightarrow\) M, E, O thẳng hàng. Tương tự M, F, O' thẳng hàng.

Dễ dàng chứng minh được MA là tiếp tuyến của (O) và (O') \(\Rightarrow MA\perp OA,MA\perp O'A\Rightarrow\) O, A, O' thẳng hàng

mà A cùng thuộc 2 đường tròn (O) và (O') nên (O) và (O') tiếp xúc nhau

b) Xét tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật \(\Rightarrow \widehat{EMF}=90^{\circ}, AM=EF\)

Xét tam giác OMO' có MA là đường cao nên: \(OA.AO'=AM^2\) mà \(OA=OB, AO'=O'C\)

\(\Rightarrow OB.O'C=EF^2\)

Trong chương trình lớp 9, các em sẽ gặp một bài học về vị trí tương đối của hai đường tròn. Bài học này vô cùng quan trọng không chỉ ở trong chương học của lớp 9 mà còn trong các bài thi chuyển cấp. Chính vì thế, hôm nay Toppy sẽ giới thiệu cho các em lý thuyết và một số dạng bài tập thường gặp, hướng dẫn cách làm qua đó giúp các em qua môn và vượt cấp dễ dàng hơn nhé.

Đường nối tâm

Trước tiên, chúng ta sẽ xem đường nối tâm là đường như thế nào. Cùng xét hai đường tròn có tâm không trùng nhau, trong đó O là tâm của hình tròn số 1 và O’ là tâm của đường tròn số 2. Đường nối tâm chính là đường thẳng giữa tâm O và tâm O’. Và đoạn nối tâm chính là đoạn OO’. 

Hơn thế nữa, đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm cũng chính là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn đó

Ba vị trí tương đối của hai đường tròn

Khi xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’, r) R>r; chúng ta tìm thấy ba vị trí tương đối như sau:

Hai đường tròn cắt nhau

Đây là vị trí đầu tiên được nhắc đến khi nói về vị trí tương đối của 2 hình tròn. 

Hình ảnh hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn cắt nhau khi có hai điểm chung. Trong trường hợp này A và B là hai giao điểm, đoạn thẳng AB là dây chung, O1, O2 là đường nối tâm, đoạn thẳng O1O2 là đoạn nối tâm. Khi đặt O1A = R; O2A = r khi đó: |R – r| < O1O2 < R + r. 

Cũng theo tính chất của vị trí tương đối nêu ở trên, đường nối tâm là đường trung trục của dây chung.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Một vị trí tương đối khác chính là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Trong trường hợp này, có thể vẽ thành 2 trường hợp. Một trường hợp chính là hai đường tròn không thuộc nhau và có tiếp xúc tại 1 điểm. Trường hợp thứ hai chính là đường tròn (O2,r) thuộc đường tròn (O1,R) và có tiếp xúc tại 1 điểm A.

Hình ảnh về hai đường tròn tiếp xúc nhau

Như vậy, hai đường tròn tiếp xúc nhau khi nó có 1 điểm chung duy nhất. Khi đó, A được gọi là tiếp điểm. Và hai trường hợp ở trên được gọi như sau: trường hợp 1 là tiếp xúc ngoài tại A: O1O2 = R + r và tiếp xúc trong tại A: O1O2 = |R – r|.

Hai đường tròn không giao nhau

Hình ảnh hai đường tròn không giao nhau trong vị trí tương đối của hai đường tròn

Vị trí tương đối thứ ba có thể gặp chính là hai đường tròn không hề giao nhau, tức là không có bất kỳ một điểm chung nào.

Có 3 trường hợp xảy ra, hoặc là hai đường tròn ngoài nhau: O1O2 > R + r; hoặc là hai đường tròn đựng nhau: O1O2 < |R – r|; hoặc là hai đường tròn đồng tâm O1O2 = 0.

Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Tương tự như vị trí tương đối của hai đường tròn, toán 9 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cũng có 3 vị trí như sau:

• Đường thẳng và đường tròn cắt nhau: Xảy ra khi đường thẳng có 2 điểm chung với đường tròn. Lúc này, đường thẳng cắt đường tròn ở 2 vị điểm  phân biệt

Hình ảnh đường tròn và đường thẳng cắt nhau

• Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: xảy ra khi đường thẳng có một điểm chung với đường tròn.
• Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: lúc này, đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Khi đó OH>R.

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Một nội dung tiếp theo trong bài học vị trí tương đối của hai đường tròn chính là hiểu về định nghĩa của tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Ở đây có thể hiểu là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn ở một số vị trí tương đối như sau:

• Hai đường tròn cắt nhau: 2 tiếp tuyến chung ngoài.
• Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: 2 tiếp tuyến chung ngoài và 1 tiếp tuyến chung trong.
• Hai đường tròn tiếp xúc trong: 1 tiếp tuyến chung.
• Hai đường tròn ở ngoài nhau: 2 tiếp tuyến chung ngoài và 2 tiếp tuyến chung trong.
• Hai đường tròn chứa nhau và hai đường tròn đồng tâm: không có tiếp tuyến chung.

Các dạng bài tập phổ biến

Với bài học này, có 4 dạng bài phổ biến như sau:

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Với dạng bài 1, phương pháp giải chính là xác định độ dài đoạn nối tâm, sau đó xác định hệ thức liên hệ giữa độ lớn các bán kính và độ dài đoạn nối tâm

Dạng 2: Bài toán với hai đường tròn tiếp xúc nhau

Bài toán vẽ hình cũng khá phổ biến trong các bài tập liên quan. Để làm được bài toán này, các em cần vẽ đường nối tâm, sử dụng tính chất của tiếp điểm trên đường nối tâm; đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn, sử dụng hệ thức là độ dài đoạn nối tâm.

Trong trường hợp cần thiết, các em cũng có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để sử dụng tính chất đặc trưng của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Dạng 3: Bài toán với hai đường tròn cắt nhau

Để giải được các bài toán dạng này, các em vẽ dây chung, vẽ đường nối tâm. Sau đó, chỉ cần sử dụng tính chất của đường nối tâm là trung trực của dây chung là ra đáp án. Bài toán này các em chỉ cần nắm vững kiến thức lý thuyết là có thể giải được.

Dạng 4: Chứng minh các quan hệ hình học (song song, vuông góc, thẳng hàng…)

Đây là dạng bài tương đối phổ biến và các em thường gặp. Lúc này, hãy xác định vị trí tương đối của hai hình tròn xem nó thuộc vị trí nào. Sau đóm hãy vận dụng các tính chất chung của tiếp tuyến, tiếp tuyến chung, dây vuông góc… để giải.

Như vậy, kiến thức của vị trí tương đối của hai đường tròn khá dài, mỗi vị trí lại có định nghĩa, đặc trưng riêng. Vì thế các em đừng nhầm lẫn các vị trí với nhau nhé.

 Xem thêm:

Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy

Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.

Kho học liệu khổng lồ

Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.

Học online cùng Toppy

Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả

Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!

Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất

Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.

Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập

Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.