A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.
1. Định nghĩa.
-
- Phép biến hình là phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Vậy nếu là phép dời khi và chỉ khi.
- - Nhận xét:
- + Các phép biến hình : Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình.
- + Thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì cũng được một phép dời hình.
2. Tính chất của phép dời hình.
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó , biến một góc thành góc bằng góc đã cho.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Định nghĩa hai hình bằng nhau.
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa, biểu thức tọa độ và các tính chất của các phép dời hình cụ thể [tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay ] có trong bài toán.
Ví dụ 1. Cho đường thẳng . Viết phương trình của đường thẳng là ảnh của qua phép dời hình có được bằng cách thược hiện liên tiếp phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến theo vec tơ .
| A.. | B.. |
| C.. | D.. |
Lời giải:
Gọi là phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến .
Gọi .
Do song song hoặc trùng với do đó phương trình của có dạng . Lấy ta có .
Lại có nên .
Mà . Vậy .
Ví dụ 2. Cho hình vuông có tâm . Trên tia lấy điểm sao cho .
a] Xác định một phép dời hình biến thành và biến thành .
b] Dựng ảnh của hình vuông qua phép dời hình này.
Lời giải:
a] Gọi là phép đối xứng qua đường trung trực của , là phép đối xứng qua đường trung trực của của . Khi đó biến thành và biến thành . Từ đó phép dời hình biến thành .
do đó .
Mặt khác phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục cắt nhau tại là phép quay tâm góc quay
[ do ].
Vậy phép dời hình này chính là .
b] biến các điểm thành các điểm , biến các điểm thành các điểm . Do đó biến các điểm thành các điểm . Vậy ảnh của hình vuông là hình vuông đối xứng với hình vuông qua .
Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU.
Phương pháp:
Để chứng minh hai hình bằng nhau ta cần chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Ví dụ 1. Cho hai tam giác và có các đương cao và sao cho các góc đều là góc tù. Chứng minh hai tam giác và bằng nhau.
Lời giải:
Vì các góc và là các góc tù nên các góc là các góc nhọn.
Suy ra ở giữa và , ở giữa và . Vì hai tam giác vuông
và bằng nhau nên có phép dời hình biến lần lượt thành các điểm . Khi đó biến thành . Vậy phép dời hình biến tam giác thành tam giác nên hai tam giác này bằngnhau.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường tròn nội tiếp bằng nhau, đồng thời khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của hai tam giác đó cũng bằng nhau.
Lời giải:
Giả sử lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm đường tròn bàng tiếp góc ; tam giác có đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp góc là và .
Vì nên tồn tại phép dời hình : khi đó . Mặt khác biến cặp tiếp tuyến chung ngoài và của và thành cặp tiếp tuyến chung ngoài và của và [ hoặc và ] còn tiếp tuyến phải biến thành tiếp tuyến suy ra hoặc , hay hai tam giác và bằng nhau.