Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lớp 10

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Lý thuyết phương pháp giải chung

1. Định nghĩa GTLN GTNN

Cho hàm số xác định trênD

• SốMđược gọi là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số
  trênDnếu

$\left\{ \begin{array}{} f[x]\le M;\forall x\in D \\{} \exists {{x}_{o}}\in D:f[{{x}_{o}}]=M \\ \end{array} \right.,$ ta kí hiệu $M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f[x]$

Chú ý:Nếu $f[x]\le M;\forall x\in D$ thì ta chưa thể suy ra $M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f[x]$

• Sốmđược gọi là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số $y=f[x]$ trênDnếu

$\left\{ \begin{array}{} f[x]\ge M;\forall x\in D \\{} \exists {{x}_{o}}\in D:f[{{x}_{o}}]=M \\ \end{array} \right.,$ ta kí hiệu$M=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f[x]$

Chú ý:Nếu $f[x]\ge M;\forall x\in D$ thì ta chưa thể suy ra $M=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f[x]$

.2. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số

Phương pháp chung:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f[x]$ trênD, ta tínhy, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN của hàm số.

vChú ý:

• Nếu hàm số $y=f[x]$ luôn tăng hoặc giảm trên [a;b].

Thì ta có $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ f[a];f[b] \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ f[a];f[b] \right\}$

• Nếu hàm số $y=f[x]$ liên tục trên [a;b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau:

-Tínhyvà tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ mà tại đóytriệt tiêu hoặc không tồn tại.

-Tính các giá trị $f[{{x}_{1}}],f[{{x}_{2}}],f[{{x}_{3}}],...,f[{{x}_{n}}].$ Khi đó

+] $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ f[{{x}_{1}}];f[{{x}_{2}}];....f[{{x}_{n}}];f[a];f[b] \right\}$

+] $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ f[{{x}_{1}}];f[{{x}_{2}}];....f[{{x}_{n}}];f[a];f[b] \right\}$

• Nếu hàm số $y=f[x]$ tuần hoàn trên chu kỳTđể tìm GTLN, GTNN của nó trênDta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộcDcó độ dài bằngT.
• Cho hàm số $y=f[x]$ xác định trênD. Khi đặt ẩn phụ $t=u[x],$ ta tìm được $t\in E$ với $\forall x\in D$, ta có $y=g[t]$ thìMax,Mincủa hàmftrênDchính làMax, Mincủa hàmgtrênE.
• Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
• Ngoài phương pháp khảo sát để tìmMax, Minta có thể dùng phương pháp miền giá trị hoặc bất đẳng thức để tìmMax, Min

Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản

-Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f[x]$ trênDvới cực đại của hàm số.

-Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f[x]$ trênDvới cực tiểu của hàm số.

3. Tìm tập giá trị của hàm số

Phương pháp chung:

Việc tìm tập giá trị của hàm số chính là việc đi tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu làmvà giá trị lớn nhất, kí hiệu làM. Khi đó, tập giá trị của hàm số là $T=\text{ }\!\![\!\!\text{ }m;M\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.$

4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số hai biến [bài toán cực trị]

• Các bài toán hai biến [yêu cầu: tìm GTLN, GTNN hoặc tìm tập giá trị].

• Sử dụng phương pháp thế $y=h[x]$ từ giả thiết vào biểu thứcPcần tìm cực trị, khi đó $P=f[x]$ với $x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\to $ đưa về tìm GTLN, GTNN của bài toán một biến.
• Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản [có thể dùng để giải quyết các bài toán một biến]
• Bất đẳng thức AM GM cho hai số thực không âm

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow 4ab\le {{[a+b]}^{2}}\Leftrightarrow {{[a-b]}^{2}}\ge 0$

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thựca, b, c, d

${{\left[ ax+by \right]}^{2}}\le \left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right]\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right].$Dấu = xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

• Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến

• $xy\le \frac{{{\left[ x+y \right]}^{2}}}{4}\le \frac{\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right]}{2}$ và ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}\ge \frac{3}{4}{{[x+y]}^{2}}$
• ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge \frac{\left[ x+y \right]\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right]}{2}\ge \frac{{{[x+y]}^{3}}}{4}\ge xy[x+y]$
• Bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng phân số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$