ỨNG dụng của hệ phương trình tuyến tính mạch điện

Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong sản xuất

Giả sử một công ty có bốn loại nguyên liệu làm thép [ kí hiệu là S1, S2, S3, S4] với thành phần tỉ lệ các chất [tính bằng % khối lượng] như sau

          Al    Si     C     Fe

S1     5      3      4     88

S2     7      6      5     82

S3     2      1      3     94

S4     1      2      1     96

Công ty đó cần phối trộn bốn loại nguyên liệu như thế nào để tạo thành một hỗn hợp với tỉ lệ các chất [tính bằng % khối lượng] là:

Al - 4.43% ;  Si - 3.22%  ; C - 3.89% ;  Fe - 88.46%.

Để giải quyết bài toán, ta cần xác định tỉ lệ phối trộn mỗi loại nguyên liệu.

Gọi x1, x2, x3, x4 lần lượt là tỉ lệ của S1, S2, S3, S4 theo khối lượng.

Ta có hệ phương trình:

5x1+7x2+2x3+x4=4.43   [tổng tỉ lệ % Al]

3x1+6x2+x3+2x4=3.22   [tổng tỉ lệ % Si]

4x1+5x2+3x3+x4=3.89   [tổng tỉ lệ % C]

88x1+82x2+94x3+96x4=88.46  [tổng tỉ lệ % Fe]

x1+x2+x3+x4=1 [tổng tỉ lệ của bốn loại nguyên liệu là 100%.

Để tìm tỉ lệ phối trộn, ta cần giải hệ phương trình trên để tìm x1 đến x4.

Các hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để mô hình hóa các vấn đề tương tự trong sản xuất, kinh tế, kĩ thuật...

Kết quả 1-8 trong khoảng 8

• Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

  Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính cung cấp cho học viên các kiến thức về ôn tập về ma trận, phương pháp đồ thị cho hệ phương trình 2 và 3 ẩn, quy tắc cramer, phương pháp khử Gauss: cách 1 và cách 2, phương pháp khử Gaussvới phần tử xoay tỉ lệ từng phần, phương pháp khử Gauss-Jordan, phương...

   71 p cntp 23/01/2022 65 1

  Từ khóa: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí, Phương pháp số trong tính toán cơ khí, Hệ phương trình đại số tuyến tính, Quy tắc cramer, Phương pháp khử Gauss, Phương pháp khử Gauss-Jordan

• Ebook 101 thuật toán và chương trình bằng ngôn ngữ C [In lần thứ 6, có chỉnh sửa]: Phần 1

  Phần 1 cuốn sách 101 thuật toán và chương trình bằng ngôn ngữ C cung cấp cho người đọc các kiến thức: Một số chương trình minh họa cơ bản lập trình ngôn ngữ C, đại số, đồ họa, vectơ, ma trận, hệ phương trình đại số tuyến tính, đa thức và nội suy đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo.

   199 p cntp 29/03/2019 512 11

  Từ khóa: Ngôn ngữ C, ngôn ngữ lậm trình, 101 thuật toán, Thuật toán lập trình, Ký thuật lập trình, Nội suy đa thức, Hệ phương trình đại số tuyến tính

• Bài giảng Giải tích số - Nguyễn Thị Vinh

  Bài giảng Giải tích số cung cấp cho người học các kiến thức: Mở đầu, giải hệ phương trình tuyến tính, phép nội suy và đường cong phù hợp, tính đạo hàm và tích phân xác định, giải phương trình f[x] = 0. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

   92 p cntp 29/06/2017 657 1

  Từ khóa: Bài giảng Giải tích số, Giải tích số, Hệ phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính, Phép nội suy, Đường cong phù hợp, Tích phân xác định, Giải phương trình

được gọi là ma trận bổ sung của hệ [I].Định nghĩa 2. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tậpnghiệm. Các phép biến đổi của hệ phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm củahệ đó được gọi là phép biến đổi tương đương của hệ phương trình.Trong quá trình giải hệ phương trình, chúng ta thường dùng các phép biến đổi sau :- Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau- Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0- Nhân hai vế của một phương trình với một số tuỳ ý rồi cộng vào phương trình khác vếtheo vế.Chú ý 1. Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình trên chính là các phép biếnđổi sơ cấp về dòng đối với ma trận bổ sung của hệ đó.2. Dạng ma trận, dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tínhĐặt x1 x 2X =   : ma trận cột ẩn,...  x n  b1 b 2B =   : ma trận cột hệ số tự do...  bm Khi đó hệ phương trình tuyến tính [I] được biểu diễn dưới dạng ma trậnA.X = B[II] a1j a 2jĐặt C j =   ; j = 1,.., n là các cột của ma trận A. Khi đó hệ [I] được viết dưới dạng ...   a mj  x1C1 + x2C2 + … +xnCn = B [III]Như vậy, một hệ phương trình tuyến tính có thể viết tương đương dưới dạng ma trận hoặcdạng véc tơ.Ví dụ 1. Cho hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình 4 ẩnx 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 = 12 x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 = 2− x − x + 3x − x = −3234 157 x1 1x 2 Hệ có các ẩn là x1, x2, x3, x4 nên ma trận ẩn số là X =   ; ma trận vế phải là B =  2  .x 3 − 3  x4  1 − 2 1 − 1121 2 1  ; các véctơ cột của A là C1 =  2  ;Ma trận hệ số của hệ là A =  − 1 − 1 3 − 1− 1  − 21 − 1 1 − 2 1 −1 :1 ~  1  C = 2 C =  1 C 2 =   ; 3   ; 4   ; ma trận bổ sung của hệ : A =  21 2 1 :2  − 13− 1− 1 − 1 3 − 1 : −1   Khi đó hệ có dạng ma trận và dạng véc tơ tương ứng làA. X = B ; x1C1 + x2C2 + x3C3 = B3. Hệ có dạng tam giác, hệ có dạng bậc thangĐịnh nghĩa 3. Hệ n phương trình, n ẩn có dạnga 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2với a11a22…ann ≠ 0...a nn x n = b nđược gọi là hệ có dạng tam giácMa trận hệ số A của hệ chính là ma trận dạng tam giác trên. Dễ thấy rằng hệ này cónghiệm duy nhất. Hệ này giải bằng cách giải từ phương trình thứ n để tìm ẩn x n, rồi giảiphương trình thứ n -1 để tìm ẩn xn-1, …, quá trình đó cứ tiếp tục cho đến khi tìm được ẩnx1. Cách giải này gọi là giải ngược từ dưới lên trên để tìm nghiệm của hệ phương trình.x 1 − 2x 2 + x 3 = 1x 2 − 2x 3 = 2Ví dụ 2. Giải hệ sau : x 3 = −1Giải: Từ phương trình thứ 3 ta có x3 = -1 ; thay vào phương trình thứ 2 ta có x2 = 2 + 2x3= 0 ; thay x2, x3 vào phương trình thứ nhất ta được : x1 = 1 + 2x2 – x3− 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất : X = 0 2  58Định nghĩa 4. Hệ r phương trình, n ẩn số [r < n] có dạnga 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1r x r + ... + a 1n x n = b1a 22 x 2 + ... + a 2 r x r + ... + a 2 n x n = b 2với a11a22... arr ≠ 0....a rr x r + .... + a rn x n = b rđược gọi là hệ dạng bậc thangMa trận bổ sung của hệ khi đó sẽ có bậc thanga 110~  ...A=0 ...0a 12a 22...0...0..................a 1ra 2r...a rr...0..................a 1n : b1 a 2n : b 2 ... a rm : b r ...0: 0 Với hệ có dạng bậc thang, từ phương trình thứ r, ta tính x r thông qua các ẩn xr+1, xr+2, ... ,xn. Rồi thay vào phương trình thứ r -1 để tính x r – 1 theo các ẩn xr+1, xr+2, ... , xn quá trìnhtrên cứ tiếp tục cho đến x2, x1.x 1 + 2x 2 − x 3 + 2 x 4 = 1x 2 + 2x 3 − x 4 = 2Ví dụ 3. Giải hệ phương trình x 3 − 2 x 4 = −1Giải: Từ phương trình thứ 3, ta có x3 = 2x4 – 1, thay vào phương trình 2 ta đượcx2 = - 2[2x4 -1] + x4 + 2 = -3x4 + 4Cuối cùng, thay vào phương trình thứ nhất thu đượcx1 = -2x2 + x3 – 2x4 + 1 = - 2[-3x4 + 4] + 2x4 – 1 – 2x4 + 1 = 6x4 – 8Vậy hệ có nghiệm X = [6k – 8; - 3k + 4; 2k -1]; k tuỳ ý.59§2. Phương pháp giải hệ phương trình1. Điều kiện tồn tại nghiệmĐịnh lý 1. [Định lý Kronecker-Capeli]. Hệ phương trình tuyến tính [I] có nghiệm khi và%chỉ khi r[A] = r[ A ].Ví dụ 1. Tìm m để hệ sau có nghiệmx 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 1x + 3x − 2x − x = −2 12342 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 + 2 x 4 = 33x 1 + 8x 2 − 6 x 3 + x 4 = mGiải Ta có ma trận bổ sung của hệ là11~A=232 −1 1:! 3 − 2 − 1 : −25 −4 2 :3 8 −6 1 :mBiến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang1~ 1A=232 −1 1:1 1d −d1 +d 22 +d 3 03 − 2 − 1 : −2 −d1 −→ 5 − 4 2 : 3  − d 2 − d 3 + d 4 08 −6 1 :m02 −1 1:1 1 − 1 − 2 : −3 0 −1 2:4 0 00 : m − 1~Từ đây ta có hệ có nghiệm ⇔ r [ A] = r [A] ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 12. Điều kiện duy nhất nghiệmĐịnh lý 2. Hệ phương trình tuyến tính [I] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi%r[A] = r[ A ] = số ẩn [= n]Chứng minhHệ có nghiệm duy nhất ⇔ tồn tại duy nhất các số x1o, x2o, ... , xno sao chox1o C1 + x2oC2 + … +xnoCn = B~⇔ r [ { C1 , C 2 , ... , C n } ] = n ⇔ r [A] = r [A] = n [đpcm]Ví dụ 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhấtx 1 + x 2 + mx 3 = 1x 1 + mx 2 + x 3 = m2mx 1 + x 2 + x 3 = mGiải: Hệ có số phương trình bằng số ẩn và bằng 3 nên có nghiệm duy nhất60⇔ r [A] = 3 ⇔ A ≠ 01 1 m2Ta có A = 1 m 1 = [m + 2][m − 1]m 1 1m ≠ 1m ≠ −2Nên hệ có nghiệm duy nhất ⇔ 3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tínha] Phương pháp giải hệ CramerĐịnh nghĩa 5. Hệ Cramer là hệ n phương trình tuyến tính n ẩn [hệ vuông] có ma trận hệsố A không suy biến [det[A] ≠ 0].Định lý 3. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất.Công thức nghiệm: xj =∆jA[j = 1, n ]trong đó, ∆ j là ma trận nhận từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do, các cộtkhác không thay đổi [j = 1, n ].4 x 1 + 3x 2 − 2 x 3 = 7=5Ví dụ 3. Giải hệ sau  x 1 + x 23x+ x3 = 4 1Giải4 3 −2Ta có định thức của ma trận hệ số A là A = 1 1 0 = 7 ≠ 0 nên hệ là hệ Cramer.3 0 1Do đó có nghiệm duy nhất: x 1 =∆∆1∆; x1 = 2 ; x1 = 3AAA7 3 −24 7 −24 3 7Mà ∆ 1 = 5 1 0 = 0; ∆ 2 = 1 5 0 = 35; ∆ 3 = 1 1 5 = 284 0 13 4 13 0 4Vậy hệ có nghiệm [x1=03528=0; x2 == 5; x3 == 4]777Ví dụ 4. Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất61mx 1 + x 2 + x 3 = 1x 1 + mx 2 + x 3 = m2x 1 + x 2 + mx 3 = mGiảiNhận xét: Các hệ trên là các hệ có số phương trình bằng số ẩn. Nên hệ có nghiệm duynhất ⇔ A ≠ 0m 1 12Ta có A = 1 m 1 = [m + 2][m − 1]1 1 mm ≠ −2m ≠ 1Nên hệ có nghiệm duy nhất ⇔ b]. Phương pháp giải hệ tổng quátGiả sử ta giải hệ tổng quát m phương trình tuyến tính, n ẩn dạng:a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1a x + a x + ... + a x= b2 21 122 22n n..................................................a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b mCách giải:%• Tính r[A], r[ A ]%• So sánh r[A] với r[ A ]:%+ Nếu r[A] ≠ r[ A ] thì hệ [I] vô nghiệm.%+ Nếu r[A] = r[ A ] = số ẩn [= n] thì hệ [I] có nghiệm duy nhất cho bởi công thứcCramer: xj =∆jA[j = 1, n ]%+ Nếu r[A] = r[ A ] = r < n thì hệ [4.1] có vô số nghiệm [hay còn gọi là hệ vôđịnh]:Chỉ ra một định thức con cơ sở của ma trận A, giả sử ta đã chỉ ra một định thứccon cơ sở là Dr. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ gồm r phương trìnhcủa hệ đã cho mà có hệ số của các ẩn tạo nên D r. r phương trình này được gọi là cácphương trình cơ bản của hệ [I]. r ẩn của hệ [I] có hệ số tạo thành r cột của D r được gọi làcác ẩn cơ bản, [n – r] ẩn còn lại được gọi là các ẩn tự do. Ta giải hệ gồm r phương trình62cơ bản và r ẩn cơ bản bằng cách chuyển [n – r] ẩn tự do sang vế phải và coi như là cáctham số, ta được hệ Cramer. Giải hệ Cramer đó, ta được công thức biểu diễn r ẩn cơ bảnqua [n – r] ẩn tự do.c] Phương pháp GaussNội dung của phép khử Gauss như sau:%• Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận bổ sung A về dạngma trận bậc thang.• Khi đó hệ phương trình đã cho tương với hệ phương trình mới có ma trận hệ sốbổ sung là ma trận bậc thang vừa thu được. Sau đó ta giải hệ mới này từ phương trìnhcuối cùng, thay các giá trị của ẩn vừa tìm được vào phương trình trên đó và cứ tiếp tụcgiải cho đến phương trình đầu tiên ta sẽ thu được nghiệm của hệ phương trình đã cho.2 x 1 + x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 1 x − 3x + x − x = −2 1234Ví dụ 5. Giải hệ 3x 1 − 2 x 2 − 2x 3 + 3x 4 = −1 x 1 + 4 x 2 − 4 x 3 + 5x 4 = 3Giải:Trước hết, tìm hạng của ma trận hệ số và ma trận bổ sungTa có2 1 − 3 4~ 1 − 3 1 − 1A=3 − 2 − 2 31 4 − 4 5: 1 1 − 3 1 − 1 : −2 1 − 3 1 − 1 : −2 d1 ↔d 2 2 1 − 3 4 : 1  −2 d1 + d 2 0 7 − 5 6 : 5 : −2  → → 3 − 2 − 2 3 : −1 −3d++ d 3 0 7 − 5 6 : 5 1: −1  −d1 d 4 : 31 4 − 4 5 : 30 7 − 5 6 : 5 1 − 3 1 − 1 : −21 − 3 1 − 1 : −20 7 − 5 6 : 5  − d 2 + d 3 0 7 − 5 6 : 5 − 2 d1 + d 2 → → −3d1 + d 3 07 − 5 6 : 5  − d 2 + d 4 0 000 :0 − d1 + d 400 :0 0 7 − 5 6 : 5 0 0~Khi đó r[A] = r[ A ] = 2 < n = 4. Do đó hệ có vô số nghiệmx 1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = −27 x 2 − 5x 3 + 6 x 3 = 5Khi đó hệ đã cho ⇔ Chọn 4 – 2 = 2 ẩn tự do là x3, x4 và x1, x2 khi đó là ẩn cơ bản.Hệ trở thành631 + 8x 3 − 11x 4x 1 =x 1 − 3x 2 = − x 3 + x 4 − 27⇔; x3, x4 ∈ R7 x 2 = 5x 3 − 6 x 3 − 5 x = 5 + 5x 3 − 6 x 4 27 1 + 8α − 11β 5 + 5α − 6β;; α; β  [α; β ∈ R ]77Vậy hệ có vô số nghiệm X = Ví dụ 6. Giải và biện luận hệ phương trình saumx 1 + x 2 + mx 3 = 1 x 1 + mx 2 + mx 3 = 1 x + x + x =123 1Giải:Nhận xét: Đây là hệ có 3 phương trình, 3 ẩn số có ma trận bổ sung làm 1 1 : 1~ A =  1 m m : 1 1 1 1 : 1m 1 m2Ta có A = 1 m m = −[m − 1]1 1 1* Nếu m ≠ 1 thì A ≠ 0 nên hệ là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất.Mặt khác ta lại có1 1 mm 1 mm 1 122∆ 1 = 1 m m = −[m − 1] ; ∆ 2 = 1 1 m = −[m − 1] ; ∆ 3 = 1 m 1 = [m − 1] 21 1 11 1 11 1 1∆∆1∆= 1; x 2 = 2 = 1; x 1 = 3 = −1Do đó, nghiệm của hệ là  x 1 =AA* Nếu m = 1 khi đó ma trận bổ sung có dạng1 1 1 : 11 1 1 : 1~  → 0 0 0 : 0 A = 1 1 1 : 11 1 1 : 10 0 0 : 0 ~Suy ra r[A] = r [A] = 1 < n = 3 nên hệ có vô số nghiệmHệ ⇔ x1 + x2 + x3 = 1 ⇔ x 3 = 1 − x 1 − x 2 ; x 1 , x 2 ∈ RVậy hệ có nghiệm X = [1 − α − β; α; β ]; α, β ∈ R64A4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhấtĐịnh nghĩa 6. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình tuyến tính cócác hệ số tự do bằng không, tức là hệ có dạnga11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0a x + a x + ... + a x = 0 21 122 22n n..................................................a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = 0[IV]Nhận xét.+ Hệ [IV] luôn có nghiệm là x1 = x2 = … = xn = 0. Nghiệm này được gọi là nghiệmtầm thường của hệ [IV].+ Hệ [IV] có nghiệm duy nhất [đó là nghiệm tầm thường] ⇔ r[A] = n.+ Hệ [IV] có nghiệm không tầm thường ⇔ r[A] < n.+ Hệ thuần nhất vuông [hệ có số phương trình bằng số ẩn] có nghiệm không tầmthường khi và chỉ khi det[A] = 0.Ví dụ 1. Giải và biện luận hệ phương trình sau3x + y + 10z = 0 2x + ay + 5z = 0 x + 4y + 7z = 0Giải:Đây là hệ thuần nhất vuông. Ta có3110det[A] = 2a145 = 11[a + 1]7+ Với a ≠ -1, det[A] ≠ 0 nên hệ đã cho chỉ có nghiệm tầm thuờng x = y = z = 0.+ Với a = -1, hệ đã cho trở thành:3x + y + 10z = 02x - y + 5z = 0x + 4y + 7z = 0Vì321= - 5 ≠ 0 nên hệ đã cho tương đương với hệ-13x + y + 10z = 03x + y = -10z⇔ 2x - y + 5z = 02x - y = -5z65⇒ 5x = -15z ⇒ x = -3z ⇒ y = 2x + 5z = - zVậy, với a = -1, hệ đã cho có vô số nghiệm là x = -3ty = -t ; t ∈ Rz = tVí dụ 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường và tìm các nghiệm đó=0[2 − m] x 1 + x 2− x 1 − mx 2 +x3 = 0x 1 + 3x 2 + [1 − m] x 3 = 0Giải:Cách 1. Dùng phương pháp GaussTa có, ma trận hệ số là0 3 1 − m31− m2 − m 1 11 −1 − m →  −1 − m → 0 − m + 3A=1 1 2−m 12 − m 10 3m − 5 − m 2 + 3m − 23 1 − m0 * Nếu – m + 3 = 0 ⇔ m = 3 , ta có1 3 1 − m 1 3 1 − m 0 0 − 1  → 0 4 − 2  ⇒ r [ A ] = 3A→0 4 − 2 0 0 − 1 nên hệ chỉ có nghiệm tầm thường* Nếu m ≠ 3 ta có1 3131− m2−mA → 01 → 0 13−m0 3m − 5 − m 2 + 3m − 20 01− m2−m3−mm 3 − 3m 23−m− 4m = 2⇒ r [A] = 2 .Để hệ có nghiệm tầm thường thì m3 – 3m2 – 4 = 0 ⇔ m = −1Khi đó, hệ có nghiệm tầm thường1 3 − 1+] Nếu m = 2 thì A → 0 1 0 0 0 0 66 xα =1 x1 + 3x 2 − x 3 = 0⇔  x 2 = 0;α ∈ ¡Khi đó hệ ⇔ x2=0 xα = 3*1 3 − 13+] Nếu m = - 1 thì A → 0 140 0 0 α x1 = 4 x1 + 3x 2 − x 3 = 0−3⇔  xα ; αKhi đó hệ ⇔ 32 =4x2 + x3 = 04 xα =3∈¡*Cách 2.Vì hệ có số phương trình bằng số ẩn nên ta tính định thức ma trận hệ số A.2−m 10A = −1 − m1 = −[m − 2] 2 [m + 1]13 1− mm ≠ 2thì hệ có nghiệm tầm thường duy nhấtm ≠ −1* Nếu A ≠ 0 ⇔ m = 2. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường và sử dụng phươngm = −1* Nếu A = 0 ⇔ pháp Gauss ta tìm được nghiệm của hệ đó.Ví dụ 3. Tìm công thức nghiệm của hệ sau− x 1 + 2 x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 2 x + 3x − x + 2x = 0 1234− 3x 1 − x 2 + 4x 3 − x 4 = 0 x 1 − 2 x 2 − 3x 3 − x 4 = 0Giải:Ta có ma trận hệ số các ẩn3131 −1 2− 1 2− 12 2 d1 +d 2  0 −d1 + d 2  03 −1 2 754A=→ → − d1− 3 − 1 4 − 1 d 3+ d+ d 3  0 − 7 − 5 − 40 1 4 000  1 − 2 − 3 − 10067270035001400