Lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn
Loigiaihay.com
Bài tiếp theo
-
Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 107 SGK Toán 9 Tập 1
Giải Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 107 SGK Toán 9 Tập 1. Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung ?
-
Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 108 SGK Toán 9 Tập 1
Giải Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 108 SGK Toán 9 Tập 1. Hãy chứng minh khẳng định trên
-
Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 109 SGK Toán 9 Tập 1
Giải Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 109 SGK Toán 9 Tập 1. Cho đường thẳng a và có một điểm O cách a là 3cm.
-
Bài 17 trang 109 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài 17 trang 109 SGK Toán 9 tập 1. Vì d< R nên đường thẳng cắt đường tròn. Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d=R=6cm.
-
Bài 18 trang 110 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài 18 trang 110 SGK Toán 9 tập 1. Khoảng cách từ tâm A đến trục Ox là 4. Vậy d>R, do đó đường tròn và trục Ox không giao nhau.
- Lý thuyết góc nội tiếp
- Lý thuyết góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- Lý thuyết góc ở tâm. số đo cung
- Bài 30 trang 22 SGK Toán 9 tập 2
Lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cập nhật ngày 22/11/2019 -
Tham khảo lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, tài liệu hữu ích cho các em học tốt môn Toán lớp 9.
- 1. Lý thuyết
- 2. Các dạng bài thường gặp
- 3. Bài tập
Hệ thống kiến thức lý thuyết tiếtvị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn giúp các em nắm được kiến thức từ khái quát đến chi tiết để học tốt phần kiến thức này.
Mời các em cùng tham khảo:
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay, chi tiết
1. Bảng tóm tắt
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d và R |
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Đường thẳng và đường tròn không giao nhau |
2 1 0 |
d < R d = R d > R |
Trong đó, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
3. Tính chất của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
4. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
5. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác.
6. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- Tâm đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C.
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông mOn quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:
a] CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn [O; AB/2]
Hướng dẫn:
a] Kéo dài DO cắt tia đối của tia Ax tại E. Dễ thấy
ΔBOD = ΔAOE [g.c.g]
⇒ OD = OE
Mà CO ⊥ DE [gt]
⇒ ΔCDE cân tại C
Kẻ OM ⊥ CD ta lại có:
ΔAOC = ΔMOC [cạnh huyền-góc nhọn]
⇒ OA = OM
Điều này chứng tỏ M thuộc đường tròn [O] nên CD là tiếp tuyến của đường tròn [O] hay CD tiếp xúc với nửa đường tròn [O; AB/2]
b] Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = CM; DB = DM
⇒ AC. DB = CM. DM
Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên:
CM.DM = OM2 = AB2/4
Vậy AC.DB = AB2/4
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB. Lấy AO làm đường kính vẽ nửa đường tròn tâm O’ cùng phía với [O]. Một cát tuyến bất kì qua A cắt [O’] và [O] lần lượt tại C và D.
a] Chứng minh C là trung điểm của AD và các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau.
b] Hãy xác định điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của [O’]
Hướng dẫn:
a] Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AO, AB nên
⇒ CO // BD
Mà OA = OB nên OC là đường trung bình của ΔABD
⇒ C là trung điểm của AD
Xét ΔAOD có O’C là đường trung bình
⇒ O’C // OD
⇒ Các tiếp tuyến tại C và D của [O’] và [O] phải song song với nhau [ vì cùng vuông góc với hai đường thẳng song song]
b] Nếu BC là tiếp tuyến của [O’] thì BC ⊥ CO' hay góc O'CB bằng 900
⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính O’B
Vậy C là giao điểm của nửa đường tròn [O’] và nửa đường tròn đường kính O’B
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi [O1; R1 ] là đường tròn nội tiếp ΔABC và [O2; R2 ] là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh:
Hướng dẫn:
a] Gọi tiếp điểm của [O1; R1 ] với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, P, N
Dễ thấy tứ giác AMO1N là hình vuông
⇒ AM = AN = R1
BM và BP là 2 tiếp tuyến của đường tròn [O1; R1 ] nên theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có BM = BP
Tương tự, CN và CP là 2 tiếp tuyến của đường tròn [O1; R1 ] nên CN = CP
Ta có:
AB + AC = AM + BM + AN + NC
AB + AC = 2R1 + BP + CP
AB + AC = 2R1 + BC = 2R1+ 2R_2
b] Theo câu a, ta có:
Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB; AC là một dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc Cax cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài tại D.
a] Chứng minh rằng ΔABD cân và OE // BD
b] Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh DI ⊥ AB
c] Khi C di chuyển trên đường tròn [O] thì D chạy trên đường nào?
Hướng dẫn:
a] Vì C ∈ [O] nên
Ta có:
Mà
⇒ ΔADB cân tại B.
Chứng minh OE // DB
Vì E ∈ [O] nên góc AEB bằng 900 hay BE ⊥ AD
Do ΔADB cân tại B nên BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
⇒ E là trung điểm của AD
Lại có O là trung điểm của AB
Nên OE là đường trung bình của ΔADB
⇒ OE // BD
b] Ta có:
BE ⊥ AD
AC ⊥ BD
AC cắt BE tại I
⇒ I là trực tâm của ΔADB ⇒ DI ⊥ AB
c] Do ΔADB cân tại B nên BD = BA = 2R ⇒ D nằm trên đường tròn tâm B bán kính 2R
Giới hạn: Khi C di chuyển tới B thì D di chuyển tới D1 [BD1 = 2R], D1 ∈ By,By ⊥ AB. Vậy D di chuyển trên cung một phần tư đường tròn ADD1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa chu vi của nó nhân với bán kính đường tròn nội tiếp .
Hướng dẫn:
Ta có: OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB
Gọi S là diện tích của tam giác ABC.
S= SAOB + SBOC + SCOA
= 1/2.OF.AB + 1/2.OD.BC + 1/2.OE.AC
= 1/2.r.[AB + BC + CA]
= pr
Với p là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Lý thuyết: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
- Xem
- Lịch sử chỉnh sửa
- Bản đồ
- Files
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Mục lục
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn [edit]
2. Tiếp tuyến của đường tròn. [edit]
3. Một số dạng toán [edit]
Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn [edit]
a. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm \[O\] đến đường thẳng \[a\] là độ dài đường vuông góc \[OH\] kẻ từ \[O\] đến \[a. \]
b. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường
tròn
Xét đường tròn \[[O;\ R] \] và đường thẳng \[a\] trên mặt phẳng. Kẻ \[OH \bot a\] tại \[H. \]
Đặt \[OH=d. \] Khi đó, \[d\] là khoảng cách từ tâm \[O\] đến đường thẳng \[a. \]
- \[a\] cắt \[[O]\]
\[\Leftrightarrow a\] là cát tuyến của \[[O]. \]
Hệ thức: \[dR\]
Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
Số điểm chung |
Hệ thức giữa \[d\] và \[R\] |
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau |
\[2\] |
\[dR\] |
Tiếp tuyến của đường tròn. [edit]
Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.Định lí:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.a] Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
b] Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu nhận biết b] còn được phát biểu thành định lí sau:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.Một số dạng toán [edit]
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Phương pháp giải:
So sánh khoảng cách \[d\] với bán kính \[R:\]
- Nếu \[dR\] thì đường thẳng và đường tròn không
giao nhau.
Ví dụ 1:
Biết \[R\] là bán kính của đường tròn, \[d\] là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.
Điền vào các chỗ trống […] trong bảng sau:
\[ R \] |
\[ d \] |
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
\[9cm\] |
\[…\] |
Tiếp xúc nhau |
\[6cm\] |
\[3cm\] |
\[…\] |
\[5cm\] |
\[7cm\] |
\[…\] |
- Vì đường thẳng \[d\] và đường tròn \[ [O] \] tiếp
xúc nhau nên \[d=R=9cm. \]
- Vì \[d5cm] \] nên đường thẳng \[d\]
và đường tròn \[ [O] \] không giao nhau.
Khi đó, ta có bảng sau:
\[ R \] |
\[ d \] |
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn |
\[9cm\] |
\[9cm\] |
Tiếp xúc nhau |
\[6cm\] |
\[3cm\] |
Cắt nhau |
\[5cm\] |
\[7cm\] |
Không giao nhau |
Dạng 2: Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến
Phương pháp giải:
Vận dụng tính chất của tiếp tuyến: Nếu đường thẳng \[a\] là tiếp tuyến của đường tròn \[ [O] \] tại \[A\] thì \[a \bot OA\] tại \[A. \]
Ví dụ 2:
Từ điểm \[A\] cách \[O\] một khoảng \[d\ [d >R] \] vẽ tiếp tuyến \[AB\] với đường tròn \[ [O;\ R]\] [\[B\] là tiếp điểm ]. Tính độ dài đoạn \[AB. \]
Giải
Vì \[AB\] là tiếp tuyến của \[ [O] \] tại \[B\] nên \[AB \bot OB\] tại \[B. \]
Áp dụng định lí Py ta go vào \[\Delta AOB\] có:
\[AB=\sqrt{OA^2-R^2}=\sqrt{d^2-R^2}.\]
Vậy \[AB=\sqrt{d^2-R^2}.\] \[\square\]
Dạng 3: Tìm vị trí của tâm một đường tròn có bán kính cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp giải:
- Tìm khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng
đó.
- Áp dụng tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng
cho trước:
Các điểm cách đường thẳng \[b\] một khoảng bằng \[h\] nằm trên hai đường thẳng song song với \[b\] và cách \[b\] một khoảng bằng \[h. \]
Ví dụ 3:
Cho trước đường thẳng \[a. \] Tâm \[O\] của tất cả các đường tròn có đường kính \[2cm\] và tiếp xúc với đường thẳng \[a\] nằm trên đường nào?
Giải
Đường kính của \[ [O] \] bằng \[2cm\] nên bán kính của \[ [O] \] bằng \[1cm. \]
Mà đường tròn \[ [O] \] tiếp xúc với đường thẳng \[a\] nên \[d=R=1cm. \]
Vậy \[O\] nằm trên hai đường thẳng \[b\] và \[b’\] song song với \[a\] và cách \[a\] một khoảng \[1cm.\]\[\square\]
Một số kiến thức liên quan
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng này tới đường thẳng kia.
Ta có: \[a//b;\ A\] bất kì nằm trên \[a. \]
\[AH \bot b;\ H \in b.\]
Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \[a\] và \[b\] là độ dài đoạn \[AH. \]Đường thẳng song song cách đều
Định lí 1:
Những đường thẳng song song chắn trên một đường thẳng cho trước những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Định lí 2:
Những đường thẳng song song cách đều chắn trên một đường thẳng bất kì những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.