Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
LG a
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\]trên các đoạn \[[-4; 4]\] và \[[0;5]\];
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ a;\ b \right]\] ta làm như sau:
+] Tìm các điểm \[{{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\] thuộc đoạn \[\left[ a;\ b \right]\] mà tại đó hàm số có đạo hàm \[f'\left[ x \right]=0\] hoặc không có đạo hàm.
+] Tính \[f\left[ {{x}_{1}} \right];\ \ f\left[ {{x}_{2}} \right];\ \ f\left[ {{x}_{3}} \right];...;\ \ f\left[ {{x}_{n}} \right]\] và \[f\left[ a \right];\ f\left[ b \right].\]
+] So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên \[\left[ a;\ b \right]\] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên \[\left[ a;\ b \right]\].
\[\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]\cr&=\max \left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right];\ f\left[ {{x}_{2}} \right];...;\ f\left[ {{x}_{m}} \right];\ f\left[ a \right];\ f\left[ b \right] \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]\cr&=\min \left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right];\ f\left[ {{x}_{2}} \right];...;\ f\left[ {{x}_{m}} \right];\ f\left[ a \right];\ f\left[ b \right] \right\}. \\ \end{align}\]
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\]
+] Xét \[\displaystyle D=\left[ -4;\ 4 \right]\] có:
\[\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\ \in D \\ & x=-1\ \in D \\ \end{align} \right..\]
Ta có: \[\displaystyle y\left[ -4 \right]=-41; y\left[ -1 \right]=40;\] \[y\left[ 3 \right]=8; y\left[ 4 \right]=15.\]
Vậy \[\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=-1\] và \[\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-41\ \ khi\ \ x=-4.\]
+] Xét \[\displaystyle D=\left[ 0;\ 5 \right]\] có:
\[\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3\ \in D \\ & x=-1\ \notin D \\ \end{align} \right..\]
Ta có: \[\displaystyle y\left[ 0 \right]=35;\ \ y\left[ 3 \right]=8;\] \[y\left[ 5 \right]=40.\]
Vậy \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=5\] và \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\ \ khi\ \ x=3.\]
LG b
\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\] trên các đoạn \[[0;3]\] và \[[2;5]\];
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\]
Ta có:\[\displaystyle y'=4{{x}^{3}}-6x\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ & x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} \right.\]
+] Xét \[\displaystyle D=\left[ 0;\ 3 \right]\] có: \[\displaystyle x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.\]
Có: \[\displaystyle y\left[ 0 \right]=2;\ \ y\left[ 3 \right]=56;\] \[ y\left[ \frac{\sqrt{6}}{2} \right]=-\frac{1}{4}.\]
Vậy \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\frac{\sqrt{6}}{2}\] và \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=56\ \ khi\ \ x=3.\]
+] Xét \[\displaystyle D=\left[ 2;\ 5 \right]\] ta thấy \[\displaystyle x=0;\ \ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.\]
Có \[\displaystyle y\left[ 2 \right]=6;\ \ y\left[ 5 \right]=552.\]
Vậy \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=6\ \ khi\ \ x=2\] và \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=552\ \ khi\ \ x=5.\]
LG c
\[y = {{2 - x} \over {1 - x}}\]trên các đoạn \[[2;4]\] và \[[-3;-2]\];
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle y=\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{x-1}\]. Tập xác định: \[\displaystyle R\backslash \left\{ 1 \right\}.\]
Ta có: \[\displaystyle y'=\frac{1.\left[ -1 \right]-1.\left[ -2 \right]}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}=\frac{1}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.\]
+] Với \[\displaystyle D=\left[ 2;\ 4 \right]\] có: \[\displaystyle y\left[ 2 \right]=0;\ \ y\left[ 4 \right]=\frac{2}{3}.\]
Vậy \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=0\ \ khi\ \ x=2\] và \[\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.\]
+] Với \[\displaystyle D=\left[ -3;\ -2 \right]\] có: \[\displaystyle y\left[ -3 \right]=\frac{5}{4};\ \ y\left[ -2 \right]=\frac{4}{3}.\]
Vậy \[\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3\] và \[\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.\]
LG d
\[y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\]trên đoạn \[[-1;1]\].
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle y=\sqrt{5-4x}\] . Tập xác định: \[\displaystyle \left[ -\infty ;\ \frac{5}{4} \right].\]
Xét tập \[\displaystyle D=\left[ -1;\ 1 \right]:\]
Có: \[\displaystyle y'=\frac{\left[ 5-4x \right]'}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}