Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[si{n^2}{x \over 2} - {\rm{ }}2cos{x \over 2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức\[{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 - {\cos ^2}\frac{x}{2}\]
+] Đặt ẩn phụ\[t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left[ {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right]\], đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
+] Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos:\[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\,\,{\sin ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} - 3 = 0
\end{array}\]
Đặt \[t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\]thì phương trình trở thành
\[\begin{array}{l}{t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left[ {tm} \right]\\t = - 3\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\\Khi\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k2\pi\\ \Leftrightarrow x = k4\pi \,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\end{array}\]
Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = k4\pi \,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\].
LG b
\[8co{s^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinx{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức\[{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\]
+] Đặt ẩn phụ\[t = \sin x\,\,\,\left[ {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right]\],đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
+] Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,8{\cos ^2}x + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8{\sin ^2}x - 2\sin x - 1 = 0\end{array}\]
Đặt \[t = sinx, t [-1 ; 1]\] thì phương trình trở thành
\[\begin{array}{l}8{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\,\left[ {tm} \right]\\+ ]\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\\+ ]\,\,t = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left[ { - \frac{1}{4}} \right] + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \left[ { - \frac{1}{4}} \right] + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\end{array}\]
LG c
\[2ta{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3tanx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
Phương pháp giải:
+] Tìm ĐKXĐ
+] Đặt ẩn phụ \[t=tanx\],đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
+] Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan:\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Đặt \[t = tanx\] thì phương trình trở thành
\[2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr
t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = - 1 \hfill \cr
\tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left[ { - {1 \over 2}} \right] + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}] [tm]\]
LG d
\[tanx{\rm{ }} - {\rm{ }}2cotx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
Phương pháp giải:
+] Tìm ĐKXĐ
+] Sử dụng công thức\[\cot x = \frac{1}{{\tan x}}\].
+] Đặt ẩn phụ\[t=tanx\], quy đồng, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
+]Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan:\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\tan x - 2\cot x + 1 = 0\\\Leftrightarrow \tan x - \frac{2}{{\tan x}} + 1 = 0\\\Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x - 2 = 0\end{array}\]
Đặt \[t = tanx\] thì phương trình trở thành
\[\begin{array}{l}{t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left[ { - 2} \right] + k\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in Z} \right] [tm]\end{array}\]