Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau để thưởng cho học sinh nhân dịp tổng kết học kì 1.Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng?Mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở,bao nhiêu bút chì,bao nhiêu tập giấy
Một số hs lớp 6A và 6B cùng tham gia trồng cây .Mỗi hs đều trồng số cây như nhau.Biết rằng lớp 6A trồng được 45 cây,lớp 6B trồng được 48 cây.Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia lao động trồng cây ?
Lớp 6A có 18 bạn nam và 24 bạn nữ. Trong một buổi sinh hoạt lớp, bạn lớp trưởng dự kiến chia các ban thành từng nhóm sao cho số bạn nam trong mỗi nhóm đều bằng nhau và số bạn nữ cũng vậy. Hỏi lớp có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu nhóm? khi đó mỗi nhóm có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ
Mỗi công nhân đội 1 làm 24 sản phẩm, mỗi công nhân đội 2 làm 20 sản phẩm. Số sản phẩm hai đội làm bằng nhau. Tính số sản phẩm của mỗi đội, biết số sản phẩm đó khoảng từ 100 đến 210.
học sinh lớp 6A khi xếp hàng 2 , hàng 4 , hàng 5 đều vừa đủ hàng . Biết số học sinh trong lớp khoảng từ 35 đến 50 . Tính học sinh lớp 6A
Có ba chồng sách : Toán, Âm nhạc,Văn.Mỗi chồng chỉ gồm một loại sách. Mỗi cuốn Toán dày 15mm,mỗi cuốn Âm nhạc dày 6mm,mỗi cốn Văn dày 8mm, người ta xếp sao cho 3 chồng sách bằng nhau.Tính chiều cao nhỏ nhất của 3 chồng sách đó ?
Bạn Huy, Hùng, Uyên đến chơi câu lạc bộ thể dục đều đặn. Huy cứ 12 ngày đến một lần; Hùng cứ 6 ngày đến một lần và Uyên 8 ngày đến 1 lần. Hỏi sau bao lâu nữa thì 3 bạn lại gặp nhau ở câu lạc bộ lần thứ 2.
Số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng , 15 hàng , hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh . Hỏi số học sinh khối 6 trường đó là bao nhiêu ? biết rằng số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.
Một khối học sinh khi tham gia diễu hành nếu xếp thành hàng12 hoắc 15 hoăc 18 đều thừa ra 7 em. Hỏi khối có bao nhiêu học sinh? Biết rằng số học sinh của khối trong khoảng từ 350 đến 400.
d] Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?e] Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
Đ/s: a] 3125. b] 168. c] 20 d] 900. e] 180000.
Bài 3: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a] Gồm 2 chữ số?
b] Gồm 2 chữ số khác nhau?
c] Số lẻ gồm 2 chữ số?
d] Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e] Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f] Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
Đ/s: a] 25. b] 20. c] 15 d] 8. e] 120. f] 24.
Bài 4: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a] Khác nhau?
b] Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c] Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d] Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e] Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
Đ/s: a] 100. b] 60. c] 36 d] 52. e] 48.
Bài 5:
a] Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
b] Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng [300 , 500].
Đ/s: a] 35. b] 24.
PHẦN II] HOÁN VỊ
BÀI TẬP:
Bài 1.Có 6 con tem khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán 6 con tem lên 6 bì thư đã cho, biết 1 bì thư chỉ dán đúng 1 tem ?
Giải Để dán 6 con tem khác nhau, ta chọn 6 phong bì từ 6 phong bì đã cho rồi sắp chúng theo một thứ tự nhất định.
Vậy có 6 P = = 6! 720 cách
Bài 2. Cần sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E thành một dãy hàng ngang.
a] Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
b] Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai học sinh A và B luôn đứng ở hai đầu hàng ?
Giải a] Để xếp 5 học sinh theo một dãy hàng ngang, ta chọn 5 học sinh từ 5 học sinh đã cho rồi sắp theo một thứ tự.
Vậy có 5P = = 5! 120 cách.
b] Do 2 bạn A, B đứng đầu hàng nên có 2! = 2 cách xếp 2 bạn đứng đầu. [có thể A hoặc B đứng đầu]. 3 vị trí còn lại ta chọn 3 học sinh còn lại và xếp theo một thứ tự nên có 3! = 6 cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có: 2!.3!=2.6=12 cách.
Bài 3. Cần sắp xếp 3 học sinh nữ và 5 học sinh nam thành một hàng dọc.
a] Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 3 học sinh nữ luôn đứng liền nhau ?
b] Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu học sinh đứng đầu hàng là học sinh nữ và học sinh cuối hàng là học sinh nam ?
Giải a] Trước tiên ta chọn 5 bạn nam xếp hàng vào 5 vị trí nên có 5! cách xếp.
Giữa 2 bạn nam có 1 khoảng trống, nên 5 bạn nam sẽ có 4 khoảng trống, cộng thêm vị trí đầu hàng và cuối hàng nên có tổng cộng 6 khoảng trống.
Để cho 3 bạn nữ luôn đứng liền nhau, ta chọn 1 trong 6 khoảng trống đó để xếp 3 bạn nữ vào, nên có 6 cách. Khi đã chọn được 1 khoảng trống, để xếp 3 bạn nữ đứng liền nhau ta có 3! cách.
Theo qui tắc nhân ta có: 5!.6.3!=4320 cách.
b] Chọn 1 học sinh nữ trong 3 học sinh nữ để đứng đầu hàng ta có 3 cách chọn.
Chọn 1 học sinh nam trong 5 học sinh nam để đứng cuối hàng ta có 5 cách chọn.
Còn lại 6 vị trí đứng giữa ta chọn 6 bạn học sinh còn lại và xếp vào, nên có 6! cách.
Theo qui tắc nhân ta có: 3.5.6! = 10800 cách.
Bài 4. Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh là An, Bình, Hạnh, Phúc cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ.
a] Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau ?
b] Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu nam và nữ ngồi xen kẽ nhau nhưng hai bạn Hồng và An không chịu ngồi cạnh nhau ?
a] Trước tiên, ta để ý rằng khi đã xếp 8 bạn nam, nữ trên ngồi xen kẽ với nhau quanh bàn tròn, sau đó tất cả cùng đứng lên và đổi vị trí theo một chiều nhất định thì vị trí xung quanh bàn tròn vẫn không đổi.
Do đó, ta chọn một bạn nam xếp vào trước làm mốc. Rồi xếp 3 bạn nam còn lại vào 3 vị trí xung quanh bàn tròn nên có 3! cách.
Khi xếp 4 bạn nam vào bàn tròn, giữa 2 bạn nam có một khoảng trống, vậy có tổng cộng 4 khoảng trống.
Chọn 4 bạn nữ, xếp vào 4 khoảng trống có 4! cách.
Theo qui tắc nhân ta có 3!.4! = 144 cách
b] Trước tiên ta xếp 2 bạn Hồng và An ngồi cạnh nhau, có 2 cách xếp.
Chọn 3 bạn nam còn lại xếp vào 3 vị trí có 3!cách.
Chọn 3 bạn nữ xếp vào 3 vị trí xen kẽ có 3!cách.
Theo qui tắc nhân ta có 2.3!.3!=72 cách.
Vậy nếu xếp Hồng và An ngồi cạnh nhau thì có 72 cách.
Nên số cách xếp Hồng và An không ngồi cạnh nhau là: Số cách xếp xen kẽ - số cách xếp ngồi cạnh nhau = 144 – 72 =72 cách sắp xếp.
PHẦN III] CHỈNH HỢP
BÀI TẬP
Bài 1. Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn khác nhau cho mỗi ngày, một món buổi trưa và một món buổi chiều. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải : Để có 2 món ăn, một món cho buổi trưa và một món cho buổi chiều ta chọn 2 món từ 5 món ăn chủ lực rồi xếp chúng theo một thứ tự.
Vậy có 5A2 = 20 cách
Bài 2. Ở trường phổ thông có các môn học là Toán, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Sử, Địa, Tiếng Anh, Công nghệ, Tin học, Giáo dục công dân, Giáo dục quốc phòng và Thể dục. Cần sắp lịch cho một ngày học có 5 tiết thuộc 5 môn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải : Ta thấy có tổng cộng 13 môn học khác nhau.
Để sắp thời khóa biểu cho một ngày có 5 tiết học, ta chọn 5 môn từ 13 môn học rồi xếp chúng theo một thứ tự, nên có 13A5 =154440
Bài 3. Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy để làm quà tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có mấy cách ?
Giải : Chọn 3 từ 10 cuốn sách khác nhau có 10A3 Chọn 3 từ 7 cây bút máy khác nhau có 7A3
Theo qui tắc nhân ta có:10A3. 7A3 =151200
Bài 4. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 nữ. Trong buổi tập trung lớp đầu năm, giáo viên chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ.
a] Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
b] Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng là nam.
c] Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 3 bạn được chọn phải có ít nhất 1 nữ.
Giải : a] Để có 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ ta chọn 3 học sinh từ 35 học sinh rồi sắp theo 1 thứ tự.
Đây chính là chỉnh hợp chập 3 của 35: 35A3 = 39270
b] Lớp trưởng là nam có 15 cách chọn.
Hai bạn còn lại được chọn từ 34 bạn còn lại rồi xếp theo một thứ tự nên có 34A2 . Theo qui tắc nhân ta có: 15.34A2 =16830 cách chọn.
c] Giả sử 3 bạn được chọn đều là nam. Khi đó có 15A3 = 2730.
Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 1 nữ bằng Tổng số cách – số cách chọn cả 3 đề là nam =39270 – 2730 = 36540.
Bài 5. Trong một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3 tiết mục múa trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu các bài hát được xếp kế nhau và các tiết mục múa được xếp kế nhau ?
Giải : Chọn 7 bài hát từ 10 bài rồi xếp thứ tự, có 10A7
Chọn 3 mục múa từ 5 rồi xếp thứ tự nên có 5A3
Trường hợp 1 : hát trước, múa sau có: 10A7. 5A3
Trường hợp 2 : múa trước, hát sau có: 5A3. 10A7
Theo qui tắc cộng có: 10A7. 5A3+ 5A3.10A7 = 72576000
IV] TỔ HỢP
BÀI TẬP
Bài 1. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 6 học sinh tham gia trồng cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a] Không phân biệt nam, nữ ?
b] Có 4 nam và 2 nữ ?
c] Có ít nhất là 3 học sinh nam ?
Giải: Nhóm tham gia trồng cây gồm 6 học sinh, không phân biệt thứ tự.
a] Để có nhóm 6 học sinh ta chọn 6 học sinh từ 40 học sinh của lớp, nên có 40C6 = 3838380
b] Nhóm có 6 người Chọn 4 nam từ 25 nam có 25C6 cách chọn
Chọn 2 nữ từ 15 nữ có 15C2 cách chọn.
Theo qui tắc nhân ta có: 25C6. 15C2 =1328250 cách.
c] Nhóm 6 người có ít nhất 3 nam có thể xảy ra:
TH1: Có 3 nam 3 nữ, ta có 16C3. 25C3 cách chọn.
TH2: Có 4 nam 2 nữ, ta có 25C4. 15C2. cách chọn.
TH3: Có 5 nam 1 nữ, ta có 25C5.15C1 cách chọn.
TH4: Có 6 nam, ta có 25C6 cách chọn.
Theo qui tắc cộng ta có: 16C3. 25C3 + 25C4. 15C2 + 25C6
Bài 2. * Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại [khó, trung bình, dễ] và số câu dễ không ít hơn 2 ?
Giải: Đề kiểm tra có 5 câu, phải có 3 loại câu khó, trung bình, dễ và phải có ít nhất 2 câu dễ, có thể xảy ra các trường hợp sau đây:
TH1: 2 câu dễ, 3 câu còn lại có cả khó, lẫn trung bình.
Chọn 2 câu dễ từ 15 câu có 15C2 cách chọn
Nếu chỉ chọn 3 câu khó từ 5 câu khó ta có 5C3 cách.
Nếu chỉ chọn 3 câu trung bình từ 10 câu ta có 10C3
Nếu chọn 3 câu từ 15 câu [khó+trung bình] có 15C3
Vậy chọn 3 câu có cả khó lẫn trung bình từ 15 câu ta có: 15C3-10C3-5C3 = 325 cách chọn.
Theo qui tắc nhân ta có: 15C2. 325 cách chọn.
TH2: 3 câu dễ, 1 câu khó, 1 câu trung bình ta có: 15C3. 5C1. 10C1 = 22750 cách chọn.
Cuối cùng, áp dụng quy tắc cộng ta có: 15C2. 325 + 22750 = 56875 cách chọn.
Bài 3. Cho 15 điểm khác nhau nằm trên mặt phẳng. Không có bất cứ 3 điểm nào trong số đó thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác, tứ giác có đỉnh là một trong các điểm đã cho.
Giải: Để lập 1 tam giác, ta chọn 3 điểm từ 15 điểm đã cho nên có 15C3 = 455 [tam giác]
Để lập 1 tứ giác, ta chọn 4 điểm từ 15 điểm đã cho nên có 15C4 =1365 [tứ giác]
Bài 4. * Một đoàn tàu có 3 toa chở khách; toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết rằng mỗi toa đều còn 4 chỗ trống. Hỏi: a] Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tàu.
b] Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tàu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách.
Giải: a] Để 4 vị khách lên tàu, ta cần chọn ra 4 chỗ trống trong 12 chỗ trống trên tàu.
Vì chỉ cần lên tàu, không quan tâm thứ tự nên có 12C4 = 495 cách sắp xếp.
b] Chọn 1 nhóm 3 vị khách từ 4 vị khách ta có 4C3 cách chọn.
Nhóm 3 vị khách này khi lên tàu có thể chọn 1 trong 3 toa tàu, nên có 3 cách chọn.
Vị khách còn lại khi lên tàu có thể chọn 1 toa trong 2 toa tàu [không chở nhóm 3 vị kia] nên có 2 cách chọn.