Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho \[\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \].
a] Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b] Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Giải
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, B nằm trong góc xOy.
Ta có: \[A = \left[ {0;0;0} \right],C = \left[ {b;0;0} \right],B = \left[ {b;a;0} \right],\]
\[S = \left[ {0;0;h} \right]\] .
\[M\left[ {{b \over 2};0;0} \right],\overrightarrow {SB} = \left[ {b;a; - h} \right]\]
Gọi \[N\left[ {x;y;z} \right]\] thì \[\overrightarrow {SN} = \left[ {x;y;z - h} \right]\].
\[\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {b \over 3} \hfill \cr
y = {a \over 3} \hfill \cr
z - h = {{ - h} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {b \over 3} \hfill \cr
y = {a \over 3} \hfill \cr
z = {{2h} \over 3} \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow N\left[ {{b \over 3};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right]\]
a]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \left[ {{b \over 3} - {b \over 2};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right] = \left[ { - {b \over 6};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right] \cr
& MN = \sqrt {{{{b^2}} \over {36}} + {{{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9}} \cr&= {1 \over 6}\sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} \cr} \]
b] \[MN \bot SB \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SB} = 0 \]
\[\Leftrightarrow - {{{b^2}} \over 6} + {{{a^2}} \over 3} + {{ - 2{h^2}} \over 3} = 0 \Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} - {b^2}\]
Bài 13 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :
a] \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\]
b] \[3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0\]
c] \[9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0\]
Giải
a] Ta có
\[\eqalign{
& {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 8x + 16} \right] + \left[ {{y^2} + 2y + 1} \right] + {z^2} = 16 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {z^2} = 16 \cr} \]
Mặt cầu có tâm \[I\left[ {4; - 1;0} \right]\] và có bán kính R = 4.
b] Ta có
\[\eqalign{
& 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - y + 5z - {2 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - {1 \over 2}} \right]^2} + {\left[ {z + {5 \over 2}} \right]^2} = {{49} \over 6} \cr} \]
Mặt cầu có tâm \[I\left[ { - 1;{1 \over 2}; - {5 \over 2}} \right]\] và có bán kính \[R = {{7\sqrt 6 } \over 6}\].
c]
\[\eqalign{
& 9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - {2 \over 3}x + 2y + {1 \over 9} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - {1 \over 3}} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {z^2} = 1 \cr} \]
Mặt cầu có tâm \[I\left[ {{1 \over 3}; - 1;0} \right]\]và có bán kính R = 1.
Bài 14 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :
a] Đi qua ba điểm A[0 ; 8 ; 0], B[4; 6 ; 2], C[0 ; 12 ; 4] và có tâm nằm trên mp[Oyz];
b] Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng [Oyz] và có tâm nằm trên tia Ox;
c] Có tâm I[1 ; 2 ; 3] và tiếp xúc với mp[Oyz].
Giải
a] Tâm I của mặt cầu nằm trên mp[Oyz] nên \[I\left[ {0;b;c} \right]\]. Ta tìm b và c để IA = IB = IC. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr
I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left[ {8 - b} \right]^2} + {c^2} = {4^2} + {\left[ {6 - b} \right]^2} + {\left[ {2 - c} \right]^2} \hfill \cr
{\left[ {8 - b} \right]^2} + {c^2} = {\left[ {12 - b} \right]^2} + {\left[ {4 - c} \right]^2} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = 7 \hfill \cr
c = 5 \hfill \cr} \right.\]
Vậy tâm \[I\left[ {0;7;5} \right]\]bán kính
R = IA =\[\sqrt {0 + 1 + 25} = \sqrt {26} \].
Mặt cầu có phương trình \[{x^2} + {\left[ {y - 7} \right]^2} + {\left[ {z - 5} \right]^2} = 26\].
b] Vì tâm của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp[Oyz] nên điểm tiếp xúc phải là O, do đó bán kính mặt cầu là R = IO = 2 và \[I\left[ {2;0;0} \right]\].
Mặt cầu có phương trình \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2} + {z^2} = 4\]
c] Vì mặt cầu có tâm \[I\left[ {1;2;3} \right]\]và tiếp xúc với mp[Oyz], vậy R = 1. Mặt cầu có phương trình \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 1\]