§4. Khái niệm hai tam giác đồng dạng Trong thực tế, ta thường gặp nhũng hình có hình dạng giống nhau nhưng kích thước có thể khác nhau. Ví dụ như các cặp hình trong hình 28. Hình 28 Thế nào là hai tam giác đồng dạng với nhau ? Những cặp hình như thế gọi là những hình đồng dạng. Ớ đây ta chỉ xét các tam giác đồng dạng. Tam giác đổng dạng Định nghĩa Cho hai tam giác ABC và A'B'C [h.29]. Hình 29 Nhìn vào hình vẽ hãy viết cấc cặp góc bằng nhau. A'B' . B'c' . C'Â' ư «A' ĂÁ Tính các ti sô — ; — ; —— roi so sánh các ti sô đó AB BC CA Ta có định nghĩa về hai tam giác đồng dạng như sau : Định nghĩa Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu : Ẵ’ =Ẫ ; B’ = B , C' =c ; A'B' B’C' C'A' AB■ BC - CA ‘ Tam giác A'B'C đồng dạng vcd tam giác ABC được kí hiệu là AA'B'C' oo AABC [viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng]. Tỉ sọ các cạnh tương ứng A'B' B'C' C'A' AB BC CA = k gọi là n’ số đồng dạng. Trong ta có AA’B'C' co AABC với tỉ số đồng dạng là k = Tính chất Nếu AA'B'C' = AABC thì tam giác A'B'C có đồng dạng với tam giác ABC không ? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu ? Nếu AA'B'C'c” AABC theo tỉ số k thì AABC AA'B'C' theo tỉ số nào ? Từ định nghĩa về hai tam giác đồng dạng, ta suy ra các tính chất đơn giản của hai tam giác đồng dạng : 77«/z chất 1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó. .Tính chất 2. Nếu AA'B'C' AABC thì AABC AA'B'C. Tính chất 3. Nếu AA'B'C’ AA"B"C" và AA"B"C" AABC thì AA’B’C c AABC. Do Tính chất 2 ta nói hai tam giác A'B'C và ABC đồng dạng [với nhau]. Định lí Cho tam giác ABC. Kẻ dường thẳng a song song với cạnh BC và cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại M và N. Hai tam giác AMN và ABC có các góc và các cạnh tương ứng như thế nào ? Định lí Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. GT AABC KL AAMN oo AABC MN // BC [M e AB ; N e AC] Chứng minh : Xét tam giác ABC và MN // BC [h.30]. Hai tam giác AMN và ABC có : AMN = ABC ; ANM = ACB [các cặp góc đồng vị]; BAC là góc chung. Mặt khác, theo hệ quả của định lí Ta-lét, hai tam giác AMN và ABC có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ : AM AN MN AB AC BC Vậy AAMN oo AABC. Chú ý Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại [h.31], BÀI TẬP Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? Mệnh đề nào sai ? Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau. AA'B'C' oo AA"B"C" theo tỉ số đồng dạng kị, AA"B"C" oo AABC theo tỉ số đồng dạng k2. Hỏi tam giác A’B'C đồng dạng vỏi tam giác ABC theo tỉ số nào ? Cho tam giác ABC. Hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo . - 1 tí sô — . 2 LUYỆN TẬP Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A'B'C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k = I”
- Từ điểm M thuộc cạnh AB của tam giác ABC với AM = -ệ- MB, kẻ các tia song song với AC và BC, chúng cắt BC và AC lần lượt tại L và N. Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng. Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số đồng dạng tương ứng. 3 AA'B'C' oo AABC theo tỉ số đồng dạng k = Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho. CÓ thể em chưa biết Thalès [625 - 547 tr. C.N] Nhìn lại lịch sử phát triển của Toán học, người ta có thể xem Ta-lềt [Thaiès] là một trong những nhà hình học đầu tiên của Hi Lạp. Ta-lét .sinh vào khoảng năm 625 và mất vào khoảng năm 547 trước Công nguyên, tại thành phố Mi-lê - một thành phố giàu có nhất thời cổ Hi Lạp, nằm trên bờ biển Địa Trung Hải ấm áp và thơ mộng. Hồi còn trẻ, Ta-lét đã có lần đến thăm Ai Cập, và nhờ đó ông đã có dịp được tiếp xúc với các nhà khoa học đương thời. Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm, tính chu vi của mỗi tam giác. Ta-lét đã giải được bài toán đo chiều cao của một Kim tự tháp Ai Cập bằng một phương pháp hết sức đơn giản. Lịch sử ghi lại rằng, Ta-lét đã tính được chiều cao của thap đó nhờ áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng. Ta-lét đằ chọn đúng thời điểm khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 45° để tính chiều cao của tháp. Tại thời điểm nay độ dài bóng của một vật đặt thẳng đứng trên mặt đất bằng chính chiều cao của vật đó. Ta-lét chỉ việc đo độ dài bóng của tháp, từ đó suy ra được chiều cao của tháp. Công việc mà ngày nay tưởng chừng như đơn giản thì lúc đó lại có ý nghĩa thật là vĩ đại. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. [SGK, trang 71]
Chứng minh:
Xét ADE và ABC có:
là góc chung
[hai góc đồng vị]
[hai góc đồng vị]
[ hệ quả của định lý Talet].
Vậy ADE ABC
2. Chú ý
Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. [SGK, trang 71]
Bài tập luyện tập khái niệm hai tam giác đồng dạng của trường Nguyễn Khuyến
Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 2AC. Chứng minh .
ĐÁP ÁN
Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ADE.
Xét tam giác ADE có MN // DE [cmt] nên [1].
Mặt khác : Xét tam giác ABC và tam giác AMN có :
AB = AM ;
[đối đỉnh];
AC = AN
. Do đó: [2].
Từ [1] và [2] suy ra
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm ; BC = 10cm. Kẻ một đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB và AC tại E và F. Biết AE = 2cm, tính tỉ số đồng dạng của tam giác AEF, ABC và độ dài các đoạn AF, EF.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác ABC có EF // BC [gt]
Với tỉ số đồng dạng: .
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông ở A, có:
AB2 + AC2 = BC2
Ta có: [ ]
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 5cm ; BC = 8cm ; AC = 7cm. Lấy điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD = 2cm. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB lần lượt tại F và E.