Bài 43 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y = - {x^4} + 2{x^2} - 2\]
b] Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình \[- {x^4} + 2{x^2} - 2 = m\].
c] Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a]
Gỉải
a] TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr
& y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x\left[ {{x^2} - 1} \right];\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0,\,\,\,\,\,\,y\left[ 0 \right] = - 2 \hfill \cr
x = \pm 1,\,\,\,\,y\left[ { \pm 1} \right] = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\];
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[[-1;0]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số đạt cực đại tại các điểm \[x = -1 ; x = 1\];
Giá trị cực đại \[y\left[ { \pm 1} \right] = - 1\]. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x = 0\], giá trị cực tiểu \[y[0] = -2\].
\[\eqalign{
& y'' = - 12{x^2} + 4 = - 4\left[ {3{x^2} - 1} \right] \cr
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 3 }};\,\,y\left[ { \pm {1 \over {\sqrt 3 }}} \right] = {{ - 13} \over 9} \cr} \]
Xét dấu y
Đồ thị có hai điểm uốn \[{I_1}\left[ { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right]\] và \[{I_2}\left[ {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right]\]
Điểm đặc biệt \[x = 2 \Rightarrow y = - 10\]
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b] Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị [C] hàm số \[y = - {x^4} + 2{x^2} - 2\] với đường thẳng \[y = m\].
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu \[m < -2\] thì phương trình có \[2\] nghiệm;
- Nếu \[m = -2\] thì phương trình có \[3\] nghiệm;
- Nếu \[-2 < m < -1\] thì phương trình có \[4\] nghiệm;
- Nếu \[m = -1\] thì phương trình có \[2\] nghiệm;
- Nếu \[m> -1\] thì phương trình vô nghiệm.
c] Đồ thị có hai điểm uốn \[{I_1}\left[ { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right]\] và \[{I_2}\left[ {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right]\]
phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[{I_1}\]là:
\[\eqalign{
& y + {{13} \over 9} = y'\left[ { - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right]\left[ {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right] \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}\left[ {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right] \cr
& \Leftrightarrow y = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr} \]
Tương tự tiếp tuyến của đồ thị \[{I_2}\] là : \[y = {8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}\]
Bài 44 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a] \[y = {x^4} - 3{x^2} + 2\] b] \[y = - {x^4} - 2{x^2} + 1\]
Gỉải
a] TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y' = 4{x^3} - 6x;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left[ 0 \right] = 2 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} ;\,\,y\left[ { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right] = - {1 \over 4} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
\[y'' = 12{x^3} - 6;\]
\[y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y = \left[ { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right] = {3 \over 4}\]
Xét dấu \[y\]
Đồ thị có hai điểm uốn \[{I_1}\left[ { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right]\] và \[{I_2}\left[ {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right]\]
Điểm đặc biệt: \[x = \pm 1 \Leftrightarrow y = 0,x = \pm \sqrt 2 \Leftrightarrow y = 0.\]
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b] TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr
& y' = - 4{x^3} - 4x = - 4x\left[ {{x^2} + 1} \right] \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left[ 0 \right] = 1 \cr} \]
Bảng biến thiên:
\[y'' = - 12{x^2} - 4 = - 4\left[ {3{x^2} + 1} \right] < 0\] với mọi \[x\]
Đồ thị không có điểm uốn.
Điểm đặc biệt \[x = \pm 1 \Rightarrow y = - 2\]
Đồ thị:
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Bài 45 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y = {x^3} - 3{x^2} + 1\].
b] Tùy theo các giá trị của \[m\], hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \[{x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0\]
Giải
a] TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left[ {x - 2} \right];\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,y\left[ 0 \right] = 1 \hfill \cr
x = 2;\,\,\,\,y\left[ 2 \right] = - 3 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;0} \right]\] và \[\left[ {2; + \infty } \right]\];nghịch biến trên khoảng \[[0;2]\].
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = 0\], giá trị cực đại \[y[0] = 1\]; hàm số đat cực tiểu tại điểm \[x = 2\], giá trị cực tiểu \[y[2] = -3\].
\[y'' = 6x - 6;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left[ 1 \right] = - 1\]
Xét dấu \[y\]
Điểm uốn của đồ thị \[I[1;-1]\]
Điểm đặc biệt \[x = - 1 \Rightarrow y = - 3\]
Đồ thị: đồ thị nhận điểm \[I[1;-1]\] làm tâm đối xứng.
b] Ta có: \[{x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 1 = - m - 1\]
Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 1\] và
đường thẳng \[y = - m -1\]. Dựa vào đồ thị ta có:
- Nếu \[- m - 12\] thì phương trình có \[1\] nghiệm.
- Nếu \[-m-1=-3\Rightarrow m=2\] thì phương trình có \[2\] nghiệm.
- Nếu \[-3< -m-1