Bài 54 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \left[ {3x - 2} \right]{\ln ^2}x\];
b] \[y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\];
c] \[y = x.\ln {1 \over {1 + x}}\];
d] \[y = {{\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \over x}\].
Giải
a] \[{y'} = 3{\ln ^2}x + \left[ {3x - 2} \right].{{2\ln x} \over x} = 3{\ln ^2}x + {{2\left[ {3x - 2} \right]\ln x} \over x}\].
b] \[{y'} = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .{{2x} \over {{x^2}}} = {{x\ln {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {{2\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}\].
c] \[{y'} = \ln {1 \over {1 + x}} + x.{{ - {1 \over {{{\left[ {1 + x} \right]}^2}}}} \over {{1 \over {1 + x}}}} = - \ln \left[ {1 + x} \right] - {x \over {x + 1}}\].
d] \[{y'} = {{{{2x} \over {{x^2} + 1}}.x - \ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \over {{x^2}}} = {{2} \over {{x^2} + 1}} - {{\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]} \over {{x^2}}}\].
Bài 55 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó?
a] \[y = {\log _{{2 \over e}}}x\];
b] \[y = {\log _a}x\] với \[a = {1 \over {3\left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]}}\].
Giải
a] Vì \[{2 \over e} < 1\]nên hàm số \[y = {\log _{{2 \over e}}}x\] nghịch biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
b] Vì \[a = {1 \over {3\left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]}} = {{\sqrt 3 + \sqrt 2 } \over 3} > 1\] nên hàm số \[y = {\log _a}x\] đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Bài 56 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a] \[y = {\log _{\sqrt 2 }}x\]; b] \[y = {\log _{{2 \over 3}}}x\];
Giải
a] TXĐ: \[D = \left[ {0; + \infty } \right]\]
\[a = \sqrt 2 > 1\] nên hàm số \[y = {\log _{\sqrt 2 }}x\]đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Bảng giá trị:
b] TXĐ:\[D = \left[ {0; + \infty } \right]\]
\[a = {2 \over 3} < 1\] nên hàm số \[y = {\log _{{2 \over 3}}}x\] nghịch biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Bảng giá trị: