- LG a
- LG b
- LG c
Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm:
LG a
Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để xác định tọa độ hình chiếu của điểm A[x0,y0,z0] lên mặt phẳng [α]:Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:
+ Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và Δ vuông góc với [α], khi đó [α] có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\\z = {z_0} + Ct\end{array} \right.\]
Trong đó vectơ \[\overrightarrow n = \left[ {A;B;C} \right]\] là vectơ pháp tuyến của [α] lại chính là vectơ chỉ phương của Δ [vì Δ [α]].
+ Tìm tọa độ giao điểm của Δ và [α] là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\\z = {z_0} + Ct\\Ax + By + Cz + D = 0\end{array} \right.\]
Giao điểm tìm được chính là hình chiếu của A lên mp[α].
LG b
Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A[x0,y0,z0] lên đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + at\\y = {y_1} + bt\\z = {z_1} + ct\end{array} \right.\] ta làm như sau:
+ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A[x0,y0,z0] và vuông góc với d.
Đó là mặt phẳng đi qua A[x0,y0,z0] và nhận vectơ chỉ phương của d là \[\overrightarrow u = \left[ {a;b;c} \right]\] là vectơ pháp tuyến, nên mặt phẳng đó có phương trình là:
a[x-x0]+b[y-y0]+c[z-z0]=0 hay \[ax + by + cz + d = 0\].
+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng trên ta được hình chiếu vuông góc của A lên d.
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + at\\y = {y_1} + bt\\z = {z_1} + ct\\ax + by + cz + d = 0\end{array} \right.\]
LG c
Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để tìm điểm đối xứng A của A[x0,y0,z0] qua mặt phẳng [α]:Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:
+ Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên mp[α]:
+ Vì A đối xứng với A qua \[\left[ \alpha \right]\] nên H là trung điểm của đoạn AA, từ đó ta tìm được tọa độ A qua hệ thức: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\]