- Bài 1.5
- Bài 1.6
- Bài 1.7
- Bài 1.8
Bài 1.5
So sánh \[\displaystyle {a \over b}\] \[[b > 0]\] và \[\displaystyle {{a + n} \over {b + n}}\] \[[n \mathbb N^*]\]
Phương pháp giải:
+] \[\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\] [với \[b,d>0\]] thì\[ad < cb\]
+]\[a + b < c + b \Leftrightarrow a < b\]
+]\[an < bn\,\,\left[ {n > 0} \right] \Leftrightarrow a < b\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
* Trường hợp 1: Nếu \[a < b\] thì \[an < bn\] [vì \[n \mathbb {N}^*\] nên \[n > 0].\]
\[ ab + an < ab + bn\]
hay \[a[b + n] < b.[a + n] \,[1]\]
Mà \[b > 0\] và \[b + n > 0\] nên chia hai vế của [1] cho \[b.[b+n]>0\] ta được:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{a\left[ {b + n} \right]}}{{b\left[ {b + n} \right]}} < \dfrac{{b\left[ {a + n} \right]}}{{b\left[ {b + n} \right]}}\\
\Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + n}}{{b + n}}
\end{array}\]
* Trường hợp 2: Nếu \[a > b\] thì \[an > bn\] [vì \[n \mathbb {N}^*\] nên \[n > 0].\]
\[ ab + an > ab + bn\]
hay \[a[b + n] > b.[a + n] \,[2]\]
Mà \[b > 0\] và \[b + n > 0\] nên chia hai vế của [2] cho \[b.[b+n]>0\] ta được:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{a\left[ {b + n} \right]}}{{b\left[ {b + n} \right]}} > \dfrac{{b\left[ {a + n} \right]}}{{b\left[ {b + n} \right]}}\\
\Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + n}}{{b + n}}
\end{array}\]
* Trường hợp 3: Nếu \[a = b\] thì \[a + n = b + n\]
Suy ra:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} = 1;\dfrac{{a + n}}{{b + n}} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + n}}{{b + n}}\left[ { = 1} \right]
\end{array}\]
Cách 2:
\[b>0\] nên \[b+n>0\] với\[[n \mathbb N^*]\]
Trường hợp 1:
Ta có \[\displaystyle {a \over b} < {{a + n} \over {b + n}}\]
\[\Leftrightarrow a[b + n] < b[a + n]\] [vì \[b,b+n>0\]]
\[\Leftrightarrow ab + an < ab + bn\]
\[\Leftrightarrow an < bn\]
\[ \Leftrightarrow a < b\] [vì \[n > 0\]].
Vậy \[\displaystyle {a \over b} < {{a + n} \over {b + n}} \Leftrightarrow a < b\]
Trường hợp 2:
Ta có \[\displaystyle {a \over b} > {{a + n} \over {b + n}} \]
\[\Leftrightarrow a[b + n] > b[a + n]\][vì \[b,b+n>0\]]
\[\Leftrightarrow ab + an > ab + bn\]
\[\Leftrightarrow an > bn\]
\[ \Leftrightarrow a > b\] [vì \[n > 0\]]
Vậy \[\displaystyle {a \over b} > {{a + n} \over {b + n}} \Leftrightarrow a > b\]
Trường hợp 3:
\[\displaystyle{a \over b} = {{a + n} \over {b + n}} \]
\[\Leftrightarrow a[b + n] = b[a + n] \]
\[\Leftrightarrow ab + an = ab + bn\]
\[\Leftrightarrow an = bn\]
\[ \Leftrightarrow a = b\][vì \[n > 0\]]
Vậy \[\displaystyle {a \over b} = {{a + n} \over {b + n}} \Leftrightarrow a = b\]
Bài 1.6
So sánh các số hữu tỉ sau:
a] \[\displaystyle {4 \over 9}\]và \[\displaystyle {{13} \over {18}}\];
b] \[\displaystyle {{ - 15} \over 7}\]và \[\displaystyle {{ - 6} \over 5}\];
c] \[\displaystyle {{278} \over {37}}\]và \[\displaystyle {{287} \over {46}}\];
d] \[\displaystyle {{ - 157} \over {623}}\]và \[\displaystyle {{ - 47} \over {213}}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng kết quả của bài \[1.5\] SBT trang \[7\] ta có:
+] Nếu \[ab\] thì \[\displaystyle {a \over b} > {{a + n} \over {b + n}}\]
Lời giải chi tiết:
a] \[\displaystyle {4 \over 9} < 1 \Rightarrow {4 \over 9} < {{4 + 9} \over {9 + 9}} = {{13} \over {18}}\].
Vậy \[\displaystyle {4 \over 9} < {{13} \over {18}}\]
b] \[\displaystyle{{ - 15} \over 7} < 1 \]
\[\displaystyle \Rightarrow {{ - 15} \over 7} < {{ - 15 + 3} \over {7 + 3}} = {{ - 12} \over {10}} = {{ - 6} \over 5}\].
Vậy \[\displaystyle {{ - 15} \over 7} < {{ - 6} \over 5}\].
c] \[\displaystyle {{278} \over {37}} > 1 \]
\[\displaystyle \Rightarrow {{278} \over {37}} > {{278 + 9} \over {37 + 9}} = {{287} \over {46}}\].
Vậy \[\displaystyle{{278} \over {37}} > {{287} \over {46}}\].
d] \[\displaystyle {{ - 157} \over {623}} < 1\]
\[\displaystyle \Rightarrow {{ - 157} \over {623}} < {{ - 157 + 16} \over {623 + 16}} = {{ - 141} \over {639}} \]\[\,\displaystyle= {{ - 47} \over {213}}\].
Vậy \[\displaystyle {{ - 157} \over {623}} < {{ - 47} \over {213}}\].
Bài 1.7
Tìm phân số có mẫu bằng \[7\], lớn hơn \[\displaystyle {{ - 5} \over 9}\]và nhỏ hơn \[\displaystyle{{ - 2} \over 9}\].
Phương pháp giải:
* Gọi phân số phải tìm là \[\displaystyle{x \over 7}\] \[[x\in\mathbb Z]\]
Từ điều kiện của đề bài tìm \[x\]
* Áp dụng: \[\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left[ {b > 0} \right]\] thì \[a \dfrac{a}{c}\] [với \[a,b,c>0\]] thì \[b 10x > 77\], vì\[x\in\mathbb Z\] nên \[x \in \left\{ {8,9} \right\}\]
Vậy phân số phải tìm là \[\displaystyle {7 \over 8} ;\; {7 \over 9} \].