Bài tập dãy số tự nhiên lớp 4 nâng cao

Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Dãy số đã cho có 6 số tự nhiên liên tiếp và ta thấy:

2 – 1 = 1

3 – 2 = 1

4 – 3 = 1

5 – 4 = 1

6 – 5 = 1

Hai số liền nhau hơn [kém] nhau 1 đơn vị.

b] Dãy số chẵn liên tiếp là dãy số “cách đều”.

Ví dụ 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Dãy số đã cho có 7 số chẵn liên tiếp và ta thấy:

4 – 2 = 2

6 – 4 = 2

8 – 6 = 2

10 – 8 = 2

12 – 10 = 2

14 – 12 = 2

Hai số liền nhau hơn [kém] nhau 2 đơn vị.

c] Dãy số lẻ liên tiếp là dãy số “cách đều”.

Ví dụ 3: Cho dãy số: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31.

Dãy số đã cho có 11 số và ta thấy:

13 – 11 = 2

15 – 13 = 2

17 – 15 = 2

19 – 17 = 2

21 – 19 = 2

23 – 21 = 2

25 – 23 = 2

27 – 25 = 2

29 – 27 = 2

31 – 29 = 2

Hai số liền nhau của dãy số hơn [kém] nhau 2 đơn vị.

2 – Một vày dãy số cách đều khác.

Ví dụ 1: Cho dãy số: 3, 6, 9, 12, 15.

Dãy số đã cho có 5 số và ta thấy:

6 – 3 = 3

9 – 6 = 3

12 – 9 = 3

15 – 12 = 3

Hai số liền nhau của dãy số hơn [kém] nhau 3 đơn vị. Vậy dãy số đã cho là dãy số “cách đều”.

Bài toán 1. Tính tổng của 10 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên.

Giải

10 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ta thấy: 0 + 9 = 9

1 + 8 = 9

2 + 7 = 9

3 + 6 = 9

4 + 5 = 9

Nếu ta sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số thì ta được các cặp số đều có tổng là 9.

Số cặp số là:

10 : 2 = 5 [cặp số]

Tổng của 10 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là:

9 x 5 = 45

Đáp số: 45

Khi số lượng số hạng của tổng là số chẵn [10] thì ta cứ việc sắp các cặp số từ hai đầu dãy số vào vì số chẵn chia hết cho 2.

Bài toán 2. Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.

Giải

19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37

Ta thấy: 1 + 37 = 38

3 + 35 = 38

5 + 33 = 38

7 + 31 = 38

9 + 29 = 38

………………..

Nếu ta sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số vào thì ta được các cặp số đều có tổng là 38.

Số các cặp số là:

19 : 2 = 9 [cặp số] dư 1 số

Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19.

Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

38 x 9 + 19 = 361

Đáp số: 361

Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số là số lẻ [19] thì khi sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số vào sẽ dư lại số hạng ở chính giữa dãy số vì số lẻ chia 2 sẽ dư 1. Nếu dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại không sắp cặp sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể giải như cách 2 dưới đây.

Cách 2. Ta để lại số hạng đầu tiên là 1 thì dãy số còn số số hạng là:

19 – 1 = 18 [số hạng]

Ta thấy: 3 + 37 = 40

5 + 35 = 40

7 + 33 = 40

9 + 31 = 40

11 + 19 = 40

……………….

Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số có 18 số hạng vào thì được các cặp số đều có tổng là 40 và số cặp số là:

18 : 2 = 9 [cặp số]

Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

1 + 40 x 9 = 361

Đáp số: 361

Khi số số hạng là số lẻ, ta để lại 1 số hạng ở hai đầu dãy số [số đầu hoặc số cuối] để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp số. Lấy tổng mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.

Bài toán 3. Dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 116 có bao nhiêu số hạng ?

Cách 1: Nếu ta bổ sung vào dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 116 các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 115 thì ta được dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 116 nên có 116 số hạng.

Khi đó, dãy số bắt đầu từ số lẻ [1], kết thúc là số chẵn [116] nên số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.

Vậy số lượng số chẵn liên tiếp từ 2 đến 116 là:

116 : 2 = 58 [số]

Đáp số: 58 số.

Cách 2. Hai số chẵn liên tiếp hơn [kém] nhau 2 đơn vị. Ta lại thấy:

Giữa 2 số liền nhau có 1 khoảng cách [2 đơn vị].

Giữa 3 số liền nhau có 2 khoảng cách [2 đơn vị]

Giữa số đầu tiên [2] đến số cuối [116] có số khoảng cách kém số các số hạng là 1.

………………………………………………………………………………….

Mà, số cuối hơn số đầu là:

116 – 2 = 114

Từ số đầu đến số cuối có số khoảng cách 2 đơn vị là:

114 : 2 = 57 [khoảng cách]

Vậy số số hạng của dãy số là:

57 + 1 = 58 [só hạng]

Đáp số: 58 số hạng

3. Một vài dãy số không cách đều khác.

Ví dụ 1: Cho dãy số: 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34

Ta thấy: 1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

Dãy số đã cho được lập theo quy luật sau [gọi là quy luật của dãy số]. Kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước nó.

Ví dụ 2: Cho dãy số: 1 x 2 x 4 x 8 x 16 x 32. Tìm quy luật của dãy số đã cho.

Giải

Ta thấy: 2 : 1 = 2

4 : 2 = 2

8 : 4 = 2

16 : 8 = 2

32 : 16 = 2

Quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ thừa số thứ hai trở đi, mỗi thừa số bằng 2 lần thừa số liền trước nó.

Ví dụ 3: Cho dãy số: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28. Tìm quy luật của dãy số.

Giải

Ta thấy: 1 + 2 = 3 trong đó 2 là số thứ tự của số hạng thứ hai.

3 + 3 = 6 trong đó 3 là số thứ tự của số hạng thứ ba.

6 + 4 = 10 trong đó 4 là số thứ tự của số hạng thứ tư.

10 + 5 = 15 trong đó 5 là số thứ tự của số hạng thứ năm.

15 + 6 = 21 trong đó 6 là số thứ tự của số hạng thứ sáu.

21 + 7 = 28 trong đó 7 là số thứ tự của số hạng thứ bảy.

Quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trước với số thứ tự của nó trong dãy số.

Chú ý: 

Có rất nhiều dãy số có quy luật khác nhau. Vì vậy, khi làm bài toán về dãy số thì bắt buộc phải tìm được quy luật của dãy số đó.

Trong bài toán về dãy số, thường thì người ta không cho biết cả dãy số [vì dãy số có nhiều số không thể viết hết ra được. Vì vậy phải tìm được quy luật dãy số mới tìm được các số mà dãy số không cho biết.

Ví dụ: Cho tích số: 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x …. x 89 x 144.

Hỏi tích trên tận cùng bởi mấy chữ số giống nhau ?

Để giải được bài toán, phải tìm được các thừa số chưa biết.

Muốn vậy phải tìm được quy luật của dãy số.

[Tìm quy luật dãy số như ví dụ của các dãy số không cách đều]

Dãy số đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Từ đó mới có thể xét được tích. Việc xét tích trên ta sẽ xét ở phần bài luyện tập.

Xem thêm: Bài 7: Bài tập về phép cộng

Các dạng toán về dãy số và phương pháp giải các dạng toán về dãy số toán lớp 4 được chúng tôi tổng hợp, đưa ra các ví dụ với lời giải chi tiết giúp các em học sinh có thể tự luyện tập và kiểm tra lại kiến thức của mình. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích với quý thầy cô và các em học sinh tiểu học trong quá trình giảng dạy và học tập.

Xem thêm

1. Kiến thức cần nhớ dãy sốtoán lớp 4

Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn… Vì vậy, nếu:

• Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
• Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
• Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
• Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.

Tìm số lượng các số trong dãy số toán lớp 4

• Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số $1$ thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số đó. Ví dụ, dãy số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4,5,…,100$ có $100$ số hạng.
• Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số $1$ thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. Ví dụ, dãy số $5,6,7,8,…,50$ có số các số hạng là $$50-4=46 \text{ số}$$ hoặc có thể tính bằng cách lấy số cuối cùng trừ số đầu tiên rồi cộng thêm $1$.

2. Các loại dãy sốtoán lớp 4

2.1. Dãy số cách đều nhau

• Dãy số tự nhiên $1,2,3,4,5,…$
• Dãy số lẻ $1,3,5,7,9,…$
• Dãy số chẵn $2,4,6,8,10,…$
• Dãy số cách đều nhau một giá trị. Ví dụ dãy số $1,4,7,10,13,…$ cách đều nhau $3$ đơn vị.
• Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó. Ví dụ $1, 6, 11, 16, 21…$ là dãy các số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$.

2.1. Dãy số tự nhiên không cách đều.

• Dãy Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,…$ [tính từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó, ví dụ $5=2+3, 21=13+8…$]

• Dãy có tổng [hiệu] giữa hai số liên tiếp là một dãy số tự nhiên liên tiếp.

2.3. Dãy số thập phân, phân số

3. Cách giải toán dãy số lớp 4

Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

Trước hết các em học sinh cần ghi nhớ những quy luật dãy số thường gặp là:

• Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ hai] bằng số hạng đứng trước nó cộng [hoặc trừ] với 1 số tự nhiên $d$;
• Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ hai] bằng số hạng đứng trước nó nhân [hoặc chia] với 1 số tự nhiên $q$ khác 0;
• Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ ba] bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
• Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ tư] bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên $d$ cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
• Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;
• Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 2] trở đi đều bằng $a$ lần số liền trước nó;
• Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 2] trở đi, mỗi số liền sau bằng $a$ lần số liền trước nó cộng [trừ ] với một số $n$ [$n$ khác 0].

Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: $$1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$

Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau:

• Ta thấy: $$1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13$$
• Như vậy, dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
• Ba số hạng tiếp theo là: $21 + 34 = 55$; $34 + 55 = 89$; $55 + 89 = 144$.
• Vậy dãy số được viết đầy đủ là: $$1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144.$$

Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: $$1, 3, 4, 8, 15, 27,…$$

• Ta nhận thấy: $$8 = 1 + 3 + 4, 27 = 4 + 8 + 15, 15 = 3 + 4 + 8$$
• Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 4] bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
• Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: $$1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.$$

Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.

a] $…, 32, 64, 128, 256, 512, 1024$

b] $…, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110$

Giải:

a] Ta nhận thấy:

• Số hạng thứ 10 là: $1024 = 512 \times 2$
• Số hạng thứ 9 là: $512 = 256 \times 2$
• Số hạng thứ 8 là: $256 = 128 \times 2$
• Số hạng thứ 7 là: $128 = 64 \times 2$
• ….
• Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: Mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó.
• Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: $1 \times 2 = 2$.

b] Ta nhận thấy rằng:

• Số hạng thứ 10 là: $110 = 11 \times 10$
• Số hạng thứ 9 là: $99 = 11 \times 9$
• Số hạng thứ 8 là: $88 = 11 \times 8$
• Số hạng thứ 7 là: $77 = 11 \times 7$
• …
• Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với $11$.
• Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: $1 \times 11 = 11$.

Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau:

• a. $3, 9, 27, …, …, 729$.
• b. $3, 8, 23, …, …, 608$.

Hướng dẫn.

a. Ta nhận xét: $3 \times 3 = 9, 9 \times 3 = 27$

• Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liền trước nó.
• Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: $$27 \times 3 = 81; 81 \times 3 = 243$$
• Vậy dãy số còn thiếu hai số là: $81$ và $243$.

b. Ta nhận xét: $$3 \times 3 – 1 = 8; 8 \times 3 – 1 = 23$$

• Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần số liền trước nó trừ đi 1.
• Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là: $$23 \times 3 – 1 = 68; 68 \times 3 – 1 = 203$$
• Dãy số còn thiếu hai số là: $68$ và $203$.

Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB.

Hướng dẫn.

• Đổi 2 giờ chiều là 14h trong ngày.
• 2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: $14 – 7 = 7 $ giờ.
• Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:$$ 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.$$
• Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: $$9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.$$
• Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: $$9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84$$
• Đáp số: 84 km.

Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010

Giải:

Ta đánh số thứ tự các ô như sau:

					783				998
Ô1	Ô2	Ô3	Ô4	Ô5	Ô6	Ô7	Ô8	Ô9	Ô10

Theo điều kiện của đề bài ta có:

• 783 + Ô7 + Ô8 = 2010.
• Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010.

Vậy Ô9 = 783; từ đó ta tính được:

• Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 – [783 + 998] = 229
• Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
• Ô3 = Ô6 = 783.

Điền các số vào ta được dãy số:

998

229

783

998

229

783

998

229

783

998

Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ. Từ đó mà học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho.

Dạng 2: Xác định số $x$ có thuộc dãy đã cho hay không?

Cách giải của dạng toán này:

• Tìm quy luật của dãy số;
• Kiểm tra số $x$ có thoả mãn quy luật đó hay không.

Bài 1: Cho dãy số: $2, 4, 6, 8,…$

• a. Dãy số được viết theo quy luật nào?
• b. Số $2009 $có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?

Giải:

a. Ta nhận thấy:

• Số hạng thứ 1: $2 = 2 \times 1$
• Số hạng thứ 2: $4 = 2 \times 2$
• Số hạng thứ 3: $6 = 2 \times 3$
• …
• Số hạng thứ $n$ là $2 \times n$

Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng $2$ nhân với số thứ tự của số hạng ấy.

b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009 không phải là số hạng của dãy.

Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……

• Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
• Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

Giải:

• Ta thấy: $8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; …$
• Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.
• Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:$$17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26$$
• Dãy số được viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
• Ta thấy: 2 : 3 = 0 dư 2; 5 : 3 = 1 dư 2; 8 : 3 = 2 dư 2; …

Suy ra, đây là dãy số mà mỗi số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà 2009 : 3 = 669 dư 2. Vậy số 2009 có thuộc dãy số trên vì cũng chia cho 3 thì dư 2.

Bài 3: Em hãy cho biết:

a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?

b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?

c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao?

Giải:

a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:

– Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.

– Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5.

b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.

c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:

– Mỗi số hạng của dãy [kể từ số hạng thứ 2] đều gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; cho nên các số hạng [kể từ số hạng thứ 3] có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ.

– Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.

– Các số hạng của dãy [kể từ số hạng thứ 2] đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.

Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.

Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?

Giải:

– Ta nhận xét: 2,2 – 1 = 1,2; 3,4 – 2,2 = 1,2; 14,2 – 13 = 1,2;……

Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó là 1,2 đơn vị:

– Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.

Ví dụ: [13 – 1] chia hết cho 1,2

[3,4 – 1] chia hết cho 1,2

Mà: [34,6 – 1] : 1,2 = 28 dư 0.

Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.

Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.

Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?

100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?

Giải:

Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.

Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 2009 không phải là số hạng của dẫy số đã cho vì lớn hơn 1996.

Các số hạng của dãy số đã cho là số khi chia cho 3 thì dư 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số hạng của dãy số đó.

Các số 123, 456, 789 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của dãy số đã cho.

Số 1436 khi chia cho 3 thì dư 2 nên không phải là số hạng của dãy số đã cho.

Bài tập lự luyện:

Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…

a. Nêu quy luật của dãy.

b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không?

c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao?

Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.

Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,

a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.

b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?

Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……

Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?

Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……

a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy

Đối với dạng toán tìm số lượng số hạng của một dãy số, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách [toán trồng cây]. Ta có công thức sau:

Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1.

Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi $d$ thì:

Số các số hạng của dãy = [Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ] : d + 1.

Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17;…..;65; 68.

Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

Lời giải:

Ta có: 14 – 11= 3; 17 – 14 = 3;….

Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước nó cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:

[68 – 11] : 3 + 1 = 20 [số hạng]

Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992

Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

Giải:

Ta thấy: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2

6 – 4 = 2 ; ………

Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.

Dựa vào công thức trên:

[Số hạng cuối – số hạng đầu] : khoảng cách + 1

Ta có: Số các số hạng của dãy là:

[1992 – 2] : 2 + 1 = 996 [số hạng].

Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?

[Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981]

Giải:

Ta thấy:

Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2 x 0

Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2 x 1

Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2 x 2

…

Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990

Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó.

Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…

a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Giải:

a. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0

Số hạng thứ hai: 18 = 3 + 15 x 1

Số hạng thứ ba: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2

Số hạng thứ tư: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3

Số hạng thứ năm: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4

…

Số hạng thứ n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x [n – 1]

Vậy số hạng thứ 100 của dãy là:

3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x [100 – 1]

= 3 + 15 x [1 + 2 + 3 + …… + 99] [Đưa về một số nhân với một tổng.

= 3 + 15 x [1 + 99] x 99 : 2 = 74253

b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy:

Theo quy luật ở phần a ta có:

3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x [n – 1] = 11703

3 + 15 x [1 + 2 + 3 + ……+ [n – 1]] = 11703

3 + 15 x [1 + n – 1] x [n – 1] : 2 = 11703

15 x n x [n – 1] = [11703 – 3] x 2 = 23400

n x [n – 1] = 23400 : 15 = 1560

Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 [39 x 40 = 1560]

Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.

Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?

Lời giải:

Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy [kể từ số hạng thứ hai ] bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4.

Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là:

[996 – 100] : 4 = 225 [số]

* Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008

Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng?

Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau:

a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.

b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; … ; 108,9 ; 110,0.

Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.

Dãy này có bao nhiêu số hạng?

Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010?

Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m.

Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số

Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,…………Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào

Giải:

Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là:

98 – 1 = 99

Mỗi khoảng cách là

3 – 1 = 5 – 3 = 2

Số hạng thứ 100 là

1 + 99 ´ 2 = 199

Công thức tổng quát:

Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách x [Số số hạng – 1]

Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:

a] 3, 8, 15, 24, 35,… [1]

b] 3, 24, 63, 120, 195,… [2]

Giải: a] Dãy [1] có thể viết dưới dạng: 1×3, 2×4, 3×5, 4×6, 5×7,…

Mỗi số hạng của dãy [1] là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.

Số hạng thứ 100 của dãy [1] bằng: 100×102 = 10200.

b] Dãy [2] có thể viết dưới dạng: 1×3, 4×6, 7×9, 10×12, 13×15,…

Mỗi số hạng của dãy [2] là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + [100 – 1 ] x 3 = 298.

Số hạng thứ 100 của dãy [2] bằng: 298 x 300 = 89400.

Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng

Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,…….150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

Giải:

Dãy số đã cho có: [9 – 1] : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số.

Có [99 – 10 ] : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

Có [150 – 100] : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.

Vậy số chữ số cần dùng là:

9 x 1 + 90 x 2 + 51 x 3 = 342 chữ số

Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số.

Giải:

Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có

[9 – 1] : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số

Có: [99 – 10] : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số

Có: [234 – 100] : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số

Vậy người ta phải dùng số chữ số là:

9 x 1 + 90 x 2 + 135 x 3 = 594 chữ số

* Bài tập tự luyện:

Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số

Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số

Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:

a] 752 trang.

b] 1251 trang.

Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số

Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Giải:

Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có

9 số có 1 chữ số

có 90 số có 2 chữ số

Để viết các số này cần số chữ số là

9 x 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số

Số chữ số còn lại là:

435 – 189 = 246 chữ số

Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được

246 : 3 = 82 số

Số trang quyển sách đó là

99 + 82 = 181 [trang]

Bài toán 2:

Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Giải: 99 trang đầu cần dùng 9×1 + 90×2 = 189 chữ số.

999 trang đầu cần dùng: 9×1 + 90×2 + 900×3 = 2889 chữ số

Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: 600 – 189 = 411 [chữ số]

Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.

Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.

Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy.

Giải:

Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: [8 – 2] : 2 + 1 = 4 [nhà]

Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: [98 – 10] : 2 + 1 = 45 [nhà]

Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là:

4 + 45 2 = 94 [lượt]

Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 – 94 = 273 [lượt]

Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 [nhà]

Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 [nhà]

Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: [140 – 1] 2 + 2 = 280.

Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy

Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3,….. Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào?

Giải:

Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số

Có 90 số có 2 chữ số

Để viết các số này cần

9 x 1 + 90 x 2 = 189 chữ số

Số chữ số còn lại là

200 – 189 = 11 chữ số

Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được

11 : 3 = 3 số [dư 2 chữ số]

Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến

99 + 3 = 102

Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103.

Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ….. Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?

Giải:

Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số

Có [98 – 10] : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số

Có [998 – 100] : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số

Để viết các số này cần:

4 x 1 + 45 x 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số

Số chữ số còn lại là:

2010 – 1444 = 566 chữ số

Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được:

566 : 4 = 141 số [dư 2 chữ số]

Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là:

[141 – 1] x 2 + 1000 = 1280

Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282.

Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số$\frac{1}{7}$.

Giải:

Số thập phân bằng phân số $\frac{1}{7}$ là: 1 : 7 = 0,14285714285……

Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là:

2010 : 6 = 335 [nhóm]. Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số $\frac{1}{7}$ là chữ số 7.

Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được … [Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, … ]. Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14.

Giải:

Ta lập được dãy các số như sau:

14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, …..

Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu.

Với 2010 số thì có số nhóm là:

2010 : 18 = 111 nhóm [dư 12 số]

12 số đó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,…….Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.

Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ….. Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?

Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền đố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai?