Bài tập giới hạn dãy số có lời giải

Tài liệu gồm 154 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn và liên tục, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học sinh trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn L = lim P[n]/Q[n] với P[n], Q[n] là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim P[n]/Q[n] với P[n], Q[n] là các hàm mũ an. Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Tài liệu gồm 140 trang trình bày các dạng toán trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4 – Giới hạn, với các chủ đề: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục, sau mỗi phần đều có bài tập trắc nghiệm và tự luận giới hạn có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương.

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp: + Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un| < a với mọi n > na. + Để chứng minh lim un = 1 ta chứng minh lim[un – 1] = 0. + Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M với mọi n > nM. + Để chứng minh lim un = -∞ ta chứng minh lim [-un] = +∞. + Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

+ Khi tìm lim f[n]/g[n] ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu. + Khi tìm lim [[f[n]]^1/k – [g[n]]^1/m] trong đó lim f[n] = lim g[n] = +∞ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số + Bài toán 01: Tìm lim f[x] khi x → x0 biết xác định tại x0 + Bài toán 02. Tìm lim f[x]/g[x] khi x → x0 trong đó f[x0] = g[x0] = 0 + Bài toán 03: Tìm lim f[x]/g[x] khi x → ±∞, trong đó f[x], g[x] → ∞, dạng này ta còn gọi là dạng vô định ∞/∞ + Bài toán 04: Dạng vô định: ∞ – ∞ và 0.∞ + Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác [ads]

3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp: + Tìm giới hạn của hàm số y = f[x] khi x → x0 và tính f[x0] + Nếu tồn tại lim f[x] khi x → x0 thì ta so sánh với lim f[x] khi x → x0 với f[x0]

Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập

Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp: + Để chứng minh phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f[a].f[b] < 0.

+ Để chứng minh phương trình f[x] = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau [ai; ai+1] [i = 1, 2, …, k] nằm trong D sao cho f[ai].f[ai+1] < 0.

• 40 bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số

  Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

  Xem lời giải

• 60 bài tập giới hạn của hàm số

  Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn hàm số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

  Xem lời giải

Quảng cáo

Xin chào các em đã đến với lớp học Toán của iToan! Ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng học bài : Giới hạn của dãy số nhé! Bài giảng dược biên soạn dựa theo chương trình sách giáo khoa, có bổ sung và sửa đổi theo phương pháp dạy học mới, từ lý thuyết đến thực hành, giúp các em nắm bài tốt hơn và thấy môn Toán không còn khó nhằn như tưởng tượng!

Lý thuyết cần nắm: Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn của dãy số

Bài toán 1: Cho dãy số [un] với un=1n.Viết dạng khai triển của dãy số và biểu diễn hình học dãy số trên trục số ?

a] Nhận xét xem khoảng cách từ [un] tới 0 thay đổi thế nào khi n  trở nên rất lớn?

b] Bắt đầu từ số hạng [un] nào của dãy số thì khoảng cách từ [un] đến 0 nhỏ hơn 0,01?  0,001?

Giải

Biểu diễn un dưới dạng khai triển 1/2,1/3,1/4,1/5,…,1/100…

Kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số

Dựa vào kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số ta thấy:

a] Khoảng cách từ [un] tới 0 càng nhỏ khi  n  càng lớn.

b] Từ số hạng thứ 101  trở đi thì khoảng cách từ [un]đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Từ số hạng thứ 1001 trở đi thì khoảng cách từ [un] đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Từ đó ta thấy |un|=1/n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta nói dãy số [un] với un=1/n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực.

a. Định nghĩa 1

Ta nói dãy số [un] có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:

hay un→0 khi n→∞ [Dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cùng].

Ví dụ: Xét dãy số [un] với un=[−1]^n/ n^2. Kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì ta có |un|0,limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvv=+∞

c] Nếu limun=+∞ và limvn=a>0 thì lim[un.vn]=+∞

Giải bài tập SGK Đại số 11 Giới hạn của dãy số

Bài 1 [trang 121 SGK Đại số 11]: 

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người[T được gọi chu kỳ bán rã].

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số [un]

b. Chứng minh rằng [un] có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.

Lời giải:

a. Sau 1 chu kì bán rã:

Sau 2 chu kì bán rã: 

Sau 3 chu kì bán rã: 

…

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : 

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10-6 g = 10-9 kg

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 [trang 121 SGK Đại số 11]: 

Biết dãy số [un] thỏa mãn 

 với mọi n. Chứng minh rằng: lim un = 1.

Lời giải:

Đặt vn = un – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại 

 thỏa mãn 

⇒ 

 với mọi n ≥ n0.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Bài 3 [trang 121 SGK Đại số 11]: 

Tìm các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 4 [trang 122 SGK Đại số 11]: 

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. [hình dưới]. Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un

b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Lời giải:

a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là 

 [ là hình vuông nhỏ được đánh số 1] nên có diện tích là:

Từ đó , ta có:

          [Tổng của n số hạng đầu của CSN]

Tính tổng:

Lời giải:

Dãy 

 là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = -1 và công bội 

Tổng của cấp số nhân đó là 

Bài 6 [trang 122 SGK Đại số 11]: 

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…[chu kì là 02]. Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

Ta có: a= 1,02020202… [ chu kì 2]

= 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 + …..

Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là

Bài 7 [trang 122 SGK Đại số 11]: 

Tính các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 8 [trang 122 SGK Đại số 11]: 

Cho hai dãy số [un] và [vn]. Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:

Lời giải:

 

Lời kết

Vậy là bài giảng: Giới hạn của dãy số đã kết thúc tại đây. Các em hãy chăm chỉ ôn luyện, nghe bài giảng của thầy cô giáo trên Toppy và làm thêm thật nhiều bài tập trắc nghiệm do Toppy biên soạn. Hãy để hành trình học của các em trở nên thú vị và hiệu quả cùng Toppy!

>> Xem thêm: