Biên độ cong là gì

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Mục lục

• 1 Độ cong của một đường cong
• 1.1 Định nghĩa
• 1.2 Tính độ cong của một đường cong phẳng
• 1.2.1 Trong hệ tọa độ Descartes
• 1.2.2 Trong hệ tọa độ cực
• 1.2.3 Ví dụ
• 1.2.3.1 Đường thẳng
• 1.2.3.2 Đường tròn
• 1.2.3.3 Các đường khác
• 1.3 Độ cong của một đường cong ghềnh
• 2 Độ cong của một mặt cong
• 2.1 Độ cong Gauss
• 2.2 Độ cong trung bình
• 3 Độ cong của một không gian
• 3.1 Tenxơ độ cong Riemann
• 3.2 Tenxơ độ cong Ricci
• 4 Xem thêm
• 5 Tham khảo

Độ cong của một đường congSửa đổi

Định nghĩaSửa đổi

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong  R {\displaystyle R}  là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong  κ {\displaystyle \kappa }  chính là nghịch đảo của bán kính cong  R {\displaystyle R} .  κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}

Gọi  d s {\displaystyle ds}  là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và  d ϕ {\displaystyle d\phi }  là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:  κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}

Tính độ cong của một đường cong phẳngSửa đổi

Trong hệ tọa độ DescartesSửa đổiXem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số  { x = x [ t ] y = y [ t ] {\displaystyle {\begin{cases}x=x[t]\\y=y[t]\end{cases}}} , từ phần trên ta có định nghĩa:  κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t [ d x d t ] 2 + [ d y d t ] 2 = d ϕ d t x 2 + y 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left[{\dfrac {dx}{dt}}\right]^{2}+\left[{\dfrac {dy}{dt}}\right]^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}

d ϕ {\displaystyle d\phi }  là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa  ϕ {\displaystyle \phi }  là góc tiếp tuyến của đường cong.  tan ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y x {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số  t {\displaystyle t}  ta được:  d d t [ tan ϕ ] = [ 1 + tan 2 ϕ ] d ϕ d t = x y y x x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\tan \phi ]=\left[1+{\tan }^{2}\phi \right]{\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}

d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x y y x x 2 = 1 1 + [ y x ] 2 x y y x x 2 = x y y x x 2 + y 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left[{\dfrac {y'}{x'}}\right]^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}

Kết hợp các kết quả thu được ta có:  κ = x y y x [ x 2 + y 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left[{x'}^{2}+{y'}^{2}\right]^{3/2}}}}

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số  y = f [ x ] {\displaystyle y=f[x]}  thì độ cong được tính như sau:  κ = d 2 y d x 2 [ 1 + [ d y d x ] 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left[{\dfrac {dy}{dx}}\right]^{2}\right]^{3/2}}}}

Trong hệ tọa độ cựcSửa đổiXem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số  r = r [ θ ] {\displaystyle r=r[\theta ]}  thì độ cong được tính như sau:  κ = r 2 + 2 [ d r d θ ] 2 r d 2 r d θ 2 [ r 2 + [ d r d θ ] 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left[{\dfrac {dr}{d\theta }}\right]^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left[{\dfrac {dr}{d\theta }}\right]^{2}\right]^{3/2}}}}

Ví dụSửa đổi

Đường thẳng  { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}}  hay  y = a x + b {\displaystyle y=ax+b}  sẽ có độ cong được tính như sau:  x = 1 , x = 0 , y = a , y = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}

Áp dụng công thức ta có:  κ = x y y x [ x 2 + y 2 ] 3 / 2 = 1 0 a 0 [ 1 2 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left[{x'}^{2}+{y'}^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left[{1}^{2}+{a}^{2}\right]^{3/2}}}=0}

hay công thức:  κ = d 2 y d x 2 [ 1 + [ d y d x ] 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left[{\dfrac {dy}{dx}}\right]^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn  { x = R cos t y = R sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}}  hay  r = R {\displaystyle r=R}  sẽ có độ cong được tính như sau:  x = R sin t , x = R cos t , y = R cos t , y = R sin t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}

Áp dụng công thức ta có:  κ = x y y x [ x 2 + y 2 ] 3 / 2 = [ R sin t ] [ R sin t ] [ R cos t ] [ R cos t ] [ [ R sin t ] 2 + [ R cos t ] 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left[{x'}^{2}+{y'}^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {[-R\sin t]\cdot [-R\sin t]-[R\cos t]\cdot [-R\cos t]}{\left[{[-R\sin t]}^{2}+{[R\cos t]}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}

hay công thức:  κ = r 2 + 2 [ d r d θ ] 2 r d 2 r d θ 2 [ r 2 + [ d r d θ ] 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 0 2 R 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left[{\dfrac {dr}{d\theta }}\right]^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left[{\dfrac {dr}{d\theta }}\right]^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

• Đường parabol  y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}}  sẽ có độ cong được tính như sau: d y d x = 2 a x , d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a}

Áp dụng công thức ta có:  κ = d 2 y d x 2 [ 1 + [ d y d x ] 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + [ 2 a x ] 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + 4 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left[{\dfrac {dy}{dx}}\right]^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+[2ax]^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+4a^{2}x^{2}\right]^{3/2}}}}

• Đường ellipse  { x = a cos t y = b sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}  sẽ có độ cong được tính như sau: x = a sin t , x = a cos t , y = b cos t , y = b sin t {\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}

Áp dụng công thức ta có:  κ = x y y x [ x 2 + y 2 ] 3 / 2 = [ a sin t ] [ b sin t ] [ b cos t ] [ a cos t ] [ [ a sin t ] 2 + [ b cos t ] 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left[{x'}^{2}+{y'}^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {[-a\sin t]\cdot [-b\sin t]-[b\cos t]\cdot [-a\cos t]}{\left[{[-a\sin t]}^{2}+{[b\cos t]}^{2}\right]^{3/2}}}}  = a b [ [ a y b ] 2 + [ b x a ] 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 [ 1 x 2 a 2 ] + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left[{\dfrac {ay}{b}}\right]^{2}+\left[{\dfrac {bx}{a}}\right]^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left[1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right]+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}  = a b [ a 2 [ 1 b 2 a 2 ] x 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 e 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left[1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right]x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}-e^{2}x^{2}\right]^{3/2}}}}

với  e = 1 b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}  là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnhSửa đổi

Độ cong của một đường cong ghềnh [trong không gian 3 chiều] có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes  { x = x [ t ] y = y [ t ] z = z [ t ] {\displaystyle {\begin{cases}x=x[t]\\y=y[t]\\z=z[t]\end{cases}}}  được tính theo công thức  κ = [ z y y z ] 2 + [ x z z x ] 2 + [ y x x y ] 2 [ x 2 + y 2 + z 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {[z''y'-y''z']^{2}+[x''z'-z''x']^{2}+[y''x'-x''y']^{2}}}{[x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}]^{3/2}}}}

Độ cong của một mặt congSửa đổi

Độ cong GaussSửa đổiBài chi tiết: Độ cong Gauss

Độ cong trung bìnhSửa đổi

Độ cong của một không gianSửa đổi

Tenxơ độ cong RiemannSửa đổi

Tenxơ độ cong RicciSửa đổi

Là 1 tensor ở trong phương trình trường Eisntein

Xem thêmSửa đổi

• Bán kính cong
• Đa tạp Riemann
• Hệ tọa độ Descartes
• Hệ tọa độ cực
• Hình học vi phân

Tham khảoSửa đổi

John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds

Video liên quan