Các bài toán về chia hếtNhững kiến thức cần lưu ý:1. Số tự nhiên A chia hết cho 2 [hoặc 5] khi chữ số tận cùng của nó chia hết cho 2 [hoặc 5].2. Số tự nhiên A chia hết cho 4 [hoặc 25] khi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 [hoặc 25]3. Số tự nhiên A chia hết cho 3 [hoặc 9] khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 [hoặc 9]4. Số tự nhiên A chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí chẵn trừ tổng các chữ số ở vị trí lẻ chia hết cho 11. Ví dụ số 54318 chia hết cho 11 vì [8+3+5]-[1+4]=11 chia hết cho 11.5. Số tự nhiên A chia 3 [hoặc 9] dư r thì tổng các chữ số của A khi chia cho 3 [hoặc 9] cũng dư r.6. Số tự nhiên A chia hết cho số tự nhiên B thì A có thể viết dưới dạng A = B x C với C là một số tự nhiên nào đó [khác 0].7. Nếu A chia hết cho B và C mà UCLN[B,C]=1 thì A chia hết cho B×CVí dụ 1: Cho số 4 83n a b=, trong đó a,b là các chữ số.a. Hãy tìm tất cả các số a, b để n là số chia hết cho 3 và 5.b. Tìm a,b để khi thay vào ta được số n vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 10.Giải:a. Vì 4 83a b chia hết cho 5 nên b bằng 0 hoặc bàng 5.Mặt khác 4 83a b chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.Hay: 4 + a + 8 + 3 + b = a + b + 15 chia hết cho 3.Nếu thay b = 0 thì a + 15 chia hết cho 3 thì a là các số: 0, 3, 6, 9Nếu thay b = 5 thì a + 20 chia hết cho 3 thì a là các số: 1, 4, 7Như vậy ta có các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 là:40830, 43830, 46830, 49830, 41835, 44835, 47835b. Làm tương tự câu a ta được số 43830Ví dụ 2: Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết cho 1Phân tích: Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho số đó hoặc số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó. Giải: Đặt M abc= thì N cba= [a > c > 0 ; a, b, c là chữ số], khi đó M N abc cba− = −. Giả sử abcchia cho 3 dư r [ r < 3] thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r. Vậy hiệu M - N chia hết cho 3. Ví dụ 3: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả hai phép chia đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó. [Đề thi Tiểu học Thái Lan] Phân tích : Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó. Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có ba chữ số đó. Từ đó ta tìm được số chia để suy ra số dư Giải: Gọi số chia của hai số đã cho là abc[a > 0 ; a, b, c < 10]. Vì hai số đã cho chia cho số abcđều có số dư bằng nhau nên [34369 - 31513] chia hết cho abchay 2856 chia hết cho abcDo 2856 = 4 x 714 nên abc= 714. Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 [dư 97] ; 34369 : 714 = 48 [dư 97]. Vậy số dư của hai phép chia đó là 97. Ví dụ 4: Tìm thương và số dư của phép chia sau: [1 x 2 x 3 x 4 x 5 x … x 15 + 200] : 182.Phân tích: Nếu trong một tổng có một số hạng chia cho một số nào đó dư r còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r. Thương của tổng chính là tổng các thương của từng số hạng. Nếu các số chia cho số đó đều có dư thì số dư của tổng chính là tổng số dư của từng số hạng, nếu tổng các số dư đó nhỏ hơn số chia. Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu. Từ đó ta tính được thương và số dư của phép chia đó. Giải: Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên số hạng thứ nhất của tổng 2[1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x 15] chia hết cho 182. Vì 200 : 182 = 1 [dư 18] nên số hạng thứ hai của tổng chia cho 182 được 1 và dư 18. Vậy số dư trong phép chia đó chính là 18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính : 1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1.Ví dụ 5: Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu ?”. Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3 còn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ? Phân tích : Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia hết cho 225. Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 + 6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu. Giải: Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25. Do đó số cừu đó chia hết cho 225 [vì 9 x 25 = 225]. Số cừu sau khi thêm 6 con phải lớn hơn: 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 + 6 = 5006. Do vậy số cừu sau khi thêm có thể là 4950 con, 4725 con, 4500 con. Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là : 4725 - 6 = 4719 [con]. Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2 ; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.Phân tích: Tuy các số dư khác nhau nhưng: 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Giải :Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3 ; 6 ; 9 ta có số 30 ; 60 ; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.Vậy A +1 = 60A = 60 – 1A = 59Do đó số cần tìm là 59. 3Ví dụ 7: Em An chia một số tự nhiên cho 12 được số dư là 9. Em An chia số tự nhiên đó cho 3 thì được số dư là 2. Chứng minh rằng em An đã làm sai ít nhất một phép chia. Giải: Gọi số đó là a. Do a : 12 dư 9 suy ra số a có dạng: 12 x k + 9 mà 123 và 9 chia hết cho 3, vậy a chia hết cho 3, mâu thuẫn với giả thiết a : 3 dư 2. Vậy An đã làm sai ít nhất một phép chia.Bài tậpBài 1: Cho378n a b= là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả các chữ số a,b để thay vào ta được số n chia hết cho 3 và 4Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho số đó chia 3,4,5 và 7 đều dư 1Bài 3: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lấy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ và cứ tiếp tục như thế. Sau cùng người đó đếm được 2010 mảnh giấy. Hỏi người đó đếm đúng hay sai?Bài 4: Trong các số có 3 chữ số: có bao nhiêu số chia hết cho 9; có bao nhiêu số chia 4 dư 1?Bài 4: Hãy viết thêm vào bên phải và bên trái số 235 mỗi bên một chữ số để được số mới chia hết cho 2, 3 và 5Bài 5: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 2 dư 1, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 6 và chia hết cho 9Bài 6: Cho số có hai chữ số. Nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đó thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.Bài 7: Số 1983 có thể phân tích thành tích của ba số tự nhiên liên tiếp không? Cũng hỏi tương tự với số 1982.Bài 8: Tìm số abc [với c khác 0], biết abc chia hết cho 45 và 396abc cba− =Bài 9: Viết thêm 2 chữ số vào bên phải và 1 chữ số vào bên trái số 54 để được số lớn nhất có 5 chữ số thỏa mãn tính chất: số đó chia 4 dư 3, chia 4 dư 4 và chia 9 dư 8.Bài 10: Tìm số tự nhiên bé nhất biết rằng số đó chia 5 dư 2 và chia 7 dư 6. 4
CHUYÊN ĐỀ 3.
CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT
I. Những kiến thức cần nhớ:
1.Dấu hiệu chia hết cho 2:
- Những số có tận cùng bằng 0;2;4;6;8 thì chia hết cho 2.
- Những số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0;2;4;6;8.
2. Dấu hiệu chia hết cho 5 :
- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
- Những số chia hết cho 5 có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
3. Dấu hiệu chia hết cho 4:
- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
- Những số chia hết cho 4 có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4.
4.Dấu hiệu chia hết cho 3:
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Những số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Bạn đang xem tài liệu "Toán 5 - Chuyên đề 3: Các bài toán về chia hết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUYÊN ĐỀ 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT I. Những kiến thức cần nhớ: 1.Dấu hiệu chia hết cho 2: - Những số có tận cùng bằng 0;2;4;6;8 thì chia hết cho 2. - Những số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0;2;4;6;8. 2. Dấu hiệu chia hết cho 5 : - Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. - Những số chia hết cho 5 có tận cùng bằng 0 hoặc 5. 3. Dấu hiệu chia hết cho 4: - Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4. - Những số chia hết cho 4 có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4. 4.Dấu hiệu chia hết cho 3: - Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. - Những số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3. 5. Dấu hiệu chia hết cho 9: Tương tự dấu hiệu chia hết cho 3. I. Viết câc số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Bài 1 : Với 3 chữ số 2; 3; 5 hãy lập các số có 3 chữ số chia hết: a] Cho 2? b] Cho 5? Lời giải: a] Số chia hết cho 2 phải là số chẵn. Do đầu bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên những số lập được là: 222; 232;252. 322; 332; 352. 522; 532; 552. b] Tương tự phần a, các số đó là: 225; 235; 255. 325; 335; 355. 525; 535; 555. Bài 2 : Cho 4 chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho thoả mãn điều kiện: a] Chia hết cho 3 ? b] Chia hết cho 2 và 5 ? ..................................................................................................................................... II. Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết. Phương pháp giải : - Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thi trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng. - Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại. Bài 1 : Thay x và y trong số a = để được số chia hết cho 2; 5 và 9. Lời giải: - a chia hết cho 5, vậy y phải bằng 5 hoặc 0. - a chia hết cho2, vậy y phải là chẵn. Suy ra y= 0. Số phải tìm có dạng a= . - a chia hết cho 9, vậy [ 1+ 9 + 9 + 9 + x ] chia hết cho 9 hay [ 25 +x ] chi hết cho 9.Suy ra x = 2. Số phải tìm là a = 199620. Bài 2: Cho số b = thay x và y sao cho số b chia hết cho 2, 5 và 3. ................................. III. Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu. Các tính chất thường dùng: - Nếu mỗi số hạng của tổng đều chi hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2. - Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2. - Nếu một số hạng chia hết cho 2 và các số hạng còn lại không chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng không chia hết cho 2. - Nếu số bị trừ hoặc số trừ chia hết cho 2, số trừ hoặc số bị trừ không chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng không chia hết cho 2. Cũng có tính chát tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3,4,5,9... Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không? a] 240 + 123 b] 240 – 123 c] 459 + 690 + 1236 d] 2454 + 374 Lời giải: Ta thấy 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên: a] 240 + 123 chia hết cho 3. b] 240 – 123 chia hết cho 3. c] 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3. d] 2454 chia hết cho 3 và 734 không chia hết cho 3 nên 2454 + 374 không chia hết cho 3. Bài 2: Tổng kết năm học 2007- 2008, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi. Ban giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở. Cô văn phòng nhẩm tính phải mua 1996 quyển thì đủ phát thưởng. Hỏi cô văn phòng đã tính đúng hay sai? Giải thích tại sao ? Lời giải: Ta nhận thấy: Số học sinh tiên tiến và số học sinh giỏi đều là những số chia hết cho 3, vì vậy số vở phát thưởng cho mỗi loại học sinh phải là một số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3. Vậy cô văn phòng đã tính sai. IV. Các bài toán về phép chia có dư. Những tính chất cần lưu ý: 1. Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1, 3,5, 7 hoặc 9. 2. Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải bằng 1 hoặc 6. Tương tự, trường hợp dư 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7; dư 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; dư 4 tận cùng là 4 hoặc 9. 3. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 hoặc 9. Bài 1: Cho a = .Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9 đều dư 1. Lời giải: Ta nhận xét: - a chia cho 5 dư 1 nên y phải bằng 1 hoặc bằng 6. - Mặt khác a chia cho 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có dạng a = . - chia cho 9 dư 1 nên x + 4+5+9+1 = x+ 19 dư 1. Vậy x phải chia hết cho 9 vì 19 chia cho 9 dư 1. Suy ra x = 9. Số phải tìm là 94591. Bài 2: Cho a = . Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để dược một số có 3 chữ số khác nhau chia cho 2,3 và 5 đều dư 4. ................................................................. V. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn. Bài 1: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lờy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ, sau đó lại lấy một số mảnh xé thành 4 mảnh nhỏ...Khi ngừng xé theo quy luật trên ta đếm được 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người ấy đếm đúng hay sai ? Giải thích tại sao? Lời giải: Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau mỗi đợt xé số mảnh tăng thêm sẽ chia hết cho 3 nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 3. Số 1999 không chia hết cho 3 nên người ấy đã đếm sai. Bài 2: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh [trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả]. Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104,115,132,136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Lời giải: Tổng số cam và chanh của cửa hàng là” 104+115+132+136+148 = 635[quả] Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả chanh và số quả cam còn lại phải chia hết cho 5. Tống số 635 quả chia hết cho 5, vì vậy số quả cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5, vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam. Số cam còn lại bằng số quả chưa bán. Mặt khác: [ 104+132+136+148]: 5 = 104 [quả] Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng số quả còn lại. Vậy theo đầu bài 104 quả là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136,148 quả là các rổ chanh. Số cam của cửa hàng có là: 104+115 = 219[quả] Số chanh của cửa hàng có là: 635-219 = 416[quả] Đáp số : 219 quả cam và 416 quả chanh. Bài 3: Một cửa hàng dồ sắt có 7 thùng đựng 2 loại đinh 5 phân và 10 phân [mỗi thùng chỉ đựng một loại đinh]. Số đinh trong mỗi thùng theo thứ tự là 24kg, 26kg, 30kg, 37kg, 41kg, 55kg và 58 kg. Sau khi bán hết 6 thùng và chỉ còn một thùng đinh 10 phân, người bán hàng thấy rằng trong số đinh đã bán, đinh 10 phân gấp 3 lần đinh 10 phân. Hỏi cửa hàng đã có bao nhiêu kilôgam đinh mỗi loại?
Tài liệu đính kèm:
- CHUYÊN ĐỀ 3.doc