Cách bấm máy tính các bài toán có ẩn m

© 2012 - 2023 BITEX All rights reserved.

GPĐKKD số: 0302562816 do Sở Kế hoạch và Đầu tư tỉnh Long An cấp ngày 20/03/2002, địa chỉ trụ sở chính: Đường Tỉnh 835, Ấp 3A, Xã Phước Lợi, Huyện Bến Lức, Tỉnh Long An. Địa chỉ liên hệ giao dịch và nhận chứng từ: 16 Trịnh Hoài Đức, Phường 13, Quận 5, TP. Hồ Chí Minh.

1. PHƯƠNG PHÁP Bước 1 : Cô lập m đưa về dạng $m \ge g\left[ x \right]$ hoặc $m \le g\left[ x \right]$ Bước 2 : Đưa bài toán ban đều về bài toán giải phương trình, bất phương trình đã học.

1. VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất các các giá trị của m để phương trình ${\log _2}x – {\log _2}\left[ {x – 2} \right] = m$ có nghiệm :
2. $1 \le m < + \propto $
3. $1 < m < + \propto $
4. $0 \le m < + \propto $
5. $0 < m < + \propto $

GIẢI

Đặt ${\log _2}x – {\log _2}\left[ {x – 2} \right] = f\left[ x \right]$ khi đó m=f[x] [1]. Để phương trình [1] có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của f[x] hay $f\left[ {\min } \right] \le m \le f\left[ {\max } \right]$ Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step 0.5

Quan sát bảng giá trị F[X] ta thấy $f\left[ {10} \right] \approx 0.3219$ vậy đáp số A và B sai. Đồng thời khi x càng tăng vậy thì F[X] càng giảm. Vậy câu hỏi đặt ra là F[X] có giảm được về 0 hay không. Ta tư duy nếu F[X] giảm được về 0 có nghĩa là phương trình f[x]=0 có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu = không xảy ra Tóm lại f[x]>0 $ \Leftrightarrow m > 0$ và D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : x>2 Phương trình $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left[ {\frac{x}{{x – 2}}} \right]$ $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right]$ Vì x>2 nên $x – 2 > 0 \Rightarrow 1 + \frac{2}{{x – 2}} > 1$ $ \Rightarrow {\log _2}\left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > {\log _2}1 = 0$ Vậy $m = \log \left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > 0$

Bình luận :

• Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo.
• Chú ý : m=f[x] mà F[x]>0 vậy m>0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp

VD2-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tham số m để phương trình $\ln x = m{x^4}$ có đúng một nghiệm :

1. $m = \frac{1}{{4e}}$
2. $m = \frac{1}{{4{e^4}}}$
3. $\frac{{{e^4}}}{4}$
4. $\frac{{{e^4}}}{4}$

GIẢI

Cô lập $m = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}} = f\left[ x \right]$ [m>0] Tới đây bài toán tìm m trở thành bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có đúng 1 nghiệm thì hai đồ thị $y = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}}$ và y=m có đúng 1 giao điểm. Để khảo sát sự biến thiên của hàm $y = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}}$ ta sử dụng chức năng MODE với thiết lập Start 0 End 5 Step 0.3

Quan sát sự biến thiên của F[X] ta thấy $f\left[ {0.3} \right] \approx – 148.6$ tăng dần tới $F\left[ {1.2} \right] \approx 0.0875$ rồi giảm xuống $F\left[ 5 \right] \approx 2,{9.10^{ – 3}} \approx 0$ Ta thấy f cực đại $ \approx 0.875$ . Để hai đồ thị $y = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}}$ và y=m có đúng 1 giao điểm thì đường thẳng y=m tiếp xúc với đường cong $y = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}}$ tại điểm cực đại $ \Rightarrow m \approx 0.875 \approx \frac{1}{{4e}}$ Vậy đáp án A là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : x>2 Phương trình $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left[ {\frac{x}{{x – 2}}} \right]$ $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right]$ Vì x>2 nên $x – 2 > 0 \Rightarrow 1 + \frac{2}{{x – 2}} > 1$ $ \Rightarrow {\log _2}\left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > {\log _2}1 = 0$ Vậy $m = \log \left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > 0$

Bình luận :

• Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo.
• Chú ý : m=f[x] mà f[x]>0 vậy m>0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp

VD3-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm m để phương trình $4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} – {\log _{\frac{1}{2}}}x + m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng [0;1] ?

1. $ – 1 \le m \le \frac{1}{4}$
2. $m < \frac{1}{4}$
3. $0 < m \le \frac{1}{4}$
4. $m \le \frac{1}{4}$

GIẢI

Cô lập $m = – 4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]2} + {\log _{\frac{1}{2}}}x$ Đặt $ – 4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}x = f\left[ x \right]$ khi đó m=f[x] [1]. Để phương trình [1] có nghiệm thuộc khoảng [0;1] thì m thuộc miền giá trị của f[x] hay $f\left[ {\min } \right] \le m \le f\left[ {\max } \right]$khi x chạy trên khoảng [0;1] Bài toán tìm tham số m lại được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 0 End 1 Step0.1

Quan sát bảng giá trị F[X] ta thấy $F\left[ X \right] \le f\left[ {0.7} \right] \approx 0.2497 \approx \frac{1}{4}$ vậy đáp án đúng chỉ có thể là B hoặc D  Tuy nhiên vấn đề là $m = \frac{1}{4}$ có nhận hay không. Nếu nhận thì đáp số D là đúng, nếu không nhận thì đáp số B là đúng. Để kiểm tra tính chất này ta thế $m = \frac{1}{4}$ vào phương tình $4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} – {\log _{\frac{1}{2}}}x + \frac{1}{4} = 0$ rồi dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để xem có nghiệm x thuộc khoảng [0;1] không là xong. Máy tính Casio báo có nghiệm x= 0.7071… thuộc khoảng [0;1] . Vậy dấu = có xảy ra Tóm lại $m \le \frac{1}{4}$ và D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : x>0 Ta có $m = – 4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}x = – 4{\left[ {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right]^2} – {\log _2}x = – {\left[ {{{\log }_2}x} \right]^2} – {\log _2}x$ Vây $m = \frac{1}{4} – {\left[ {{{\log }_2}x + \frac{1}{2}} \right]^2} \le \frac{1}{4}$ Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {2{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

 Bình luận : Để xem dấu = xảy ra hay không thì ta sẽ thử cho dấu = xảy ra và sử dụng chức năng dò nghiệm. Nếu xuất hiện nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì dấu = xảy ra.

VD4-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Với giá trị nào của tham số m thì phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x – 2} \right| – {\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {x + 1} \right] = m$ có 3 nghiệm phân biệt ?

1. m>3
2. m0
3. m=2

GIẢI

Đặt ${\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x – 2} \right| – {\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {x + 1} \right] = f\left[ x \right]$ khi đó m=f[x] [1]. Bài toán tìm tham số m trở lại bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=f[x] tại 3 điểm phân biệt Ta có y=m là đường thẳng song song với trục hoành Để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f[x] ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị TABLE với thiết lập Start -1 End 8 Step 0.5

Quan sát bảng giá trị ta mô tả được sự biến thiên của hàm $f\left[ x \right]$ như sau Rõ ràng m 0\\ 9 > 0\\ m > 0\\ 1.\left[ {m – 8} \right] < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 8$

Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {2^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ Bình luận : • Hai giao điểm có hoành độ trái dấu thì phải nằm về 2 phía của trục tung • Đáp án A sai vì 2 đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm nằm ở bên phải trục tung • Nếu 18>m>8 thì 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm đều nằm bên phải trục tung vậy đáp án C sai.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình ${4^{{x^2}}} – {2^{{x^2} + 2}} + 6 = m$ có 3 nghiệm phân biệt ?

1. m=3
2. m>2
3. $2 \le m \le 3$
4. $2 < m < 3$

Bài 2-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Số nguyên dương lớn nhất để phương trình ${25^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – \left[ {m + 2} \right]{5^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} + 2m + 1 = 0$ có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30 D. 25 Bài 3-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình ${5.16^x} – {2.81^x} = m{.36^x}$ có đúng 1 nghiệm ?

1. m>0
2. $\left[ \begin{array}{l} m \le – \sqrt 2 \\ m \ge \sqrt 2 \end{array} \right.$
3. Với mọi m
4. Không tồn tại m

Bài 4-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm – HN năm 2017] Phương trình ${\log _3}x – {\log _3}\left[ {x – 2} \right] = {\log _{\sqrt 3 }}m$ vô nghiệm khi :