Nhờ việc sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt trong không gian hoặc đồng quy, hoặc đôi một so sánh nên trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:
- Tìm giao điểm I của hai trong ba đường thẳng đã cho, chẳng hạn a và b;
- Giả sử c là giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và [β] nào đó lần lượt chứa đường thẳng a và đường thẳng b;
- Chứng minh rằng I là điểm chung của [α] và [β], tức là I phải thuộc vào giao tuyến c;
- Kết luận: a, b, c đồng quy tại O.
Xem thêm Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng [P] qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I.
Lời giải
Ta có: [ABD] ∩ [BCD] = BD
Lại có I ∈ MP ⊂ [ABD] và I ∈ NQ ⊂ [BCD] nên I là điểm chung của hai mặt phẳng [ABD] và [BCD]. Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng [ABD] và [BCD].
Do đó, I ∈ BD hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD mặt phẳng[P] không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
- Chứng minh 3 đường thẳng AB, MN, RS đồng qui.
- Chứng minh 3 đường thẳng CD, MS, NR đồng qui
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho AR= AD:3 ; AS= AC:3. CMR ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui.
Bài 3. Cho hình thang ABCD [AB// CD] điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách:
| – Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai các số m. n duy nhất sao cho $\overrightarrow{c}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}$ thì 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow{x}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho $\overrightarrow{x}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}+p.\overrightarrow{c}$ |
Bài tập chứng minh các đẳng thức vecto, chứng minh 3 vecto đồng phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD.
a] Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IJ}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ b] Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\left[ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \right]$, mặt khác $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right]$[tính chất trung điểm]
Do đó $\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
b] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB} \\ {} \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC} \\ {} \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD} \\ \end{array} \right.$ cộng vế theo vế ta được:
$3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
Mặt khác $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ [do G là trọng tâm tam giác BCD]. Do vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc AD và BC sao cho $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{NB}=-3\overrightarrow{NC}$. Biết $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{b}$.
a] Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{MN}$theo $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ b] Gọi P và Q lần lượt là trun điểm của AD và BC. Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng. c] Gọi G là trung điểm của PQ, chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\left[ 1 \right]$
Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\left[ 2 \right]$
Lấy $\left[ 2 \right]+3.\left[ 1 \right]$ ta được $4\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{DC}$
Do đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$
b] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN} \\ {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC}$
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC} \right]$$\Rightarrow $ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
c] Theo tính chất trung điểm ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GP} \\ {} \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GQ} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\left[ \overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ} \right]$
Mặt khác $\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ G là trọng tâm tứ diện ABCD.
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB' và A'C', điểm K thuộc B'C sao cho $\overrightarrow{KC'}=-2\overrightarrow{KB'}$ a] Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{B'C}$; $\overrightarrow{CI}$ và $\overrightarrow{BJ}$ qua 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ b] Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AK}$ theo vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AJ}$ từ đó suy ra 3 vectơ $\overrightarrow{AK}$ ,$\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AJ}$ đồng phẳng. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{B'B}$ [theo quy tắc hình bình hành]
Suy ra $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$
Lại có: $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\left[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right]+\frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$
Mặtkhác:
$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'J}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'C'}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{c}{2}$
b] Ta có: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{B'K}\left[ 1 \right]$
$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JC'}+\overrightarrow{C'K}\left[ 2 \right]$
Lấy $2.\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]$ ta được:
$3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+2\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{JC'}+\underbrace{2\overrightarrow{B'K}+\overrightarrow{C'K}}_{0}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{A'J}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AJ}$
Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\left[ \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \right]$.
| Bài tập 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Đặt $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$. Gọi M và N lần lượt là hai điểm nằm trên AC và DC’ sao cho MN//BD’. Tính tỷ số $\frac{MN}{BD'}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử: $\overrightarrow{MC}=n\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{C'N}=m\overrightarrow{C'D}$
Ta có: $\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$
Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}=n\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{C'D}$
$=n.\left[ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right]+\overrightarrow{b}+m\left[ \overrightarrow{C'C}+\overline{CD} \right]$
$=n.\left[ \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right]+\overrightarrow{b}+m\left[ -\overrightarrow{b}+\overline{a} \right]=\left[ m-n \right]\overrightarrow{a}+\left[ 1-m \right]\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$
Khi đó $MN//BD'\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{BD'}$
$\frac{m-n}{1}=\frac{1-m}{1}=\frac{n}{1}=k\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=\frac{2}{3} \\ {} n=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{MN}{B'D'}=k=\frac{1}{3}$
| Bài tập 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABB'A' và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCC'A. Biểu thị vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{IK}$ và $\overrightarrow{C'B'}$ từ đó suy ra ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{C'B}+\left[ \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right]$
$=-\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{B'C'}-2\overrightarrow{IK}$ [vì $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IK}$]
Suy ra $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{C'B'}-2\overrightarrow{IK}$
Do đó ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng.
| Bài tập 6: Trong không gian cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu có một điểm O trong không gian sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, đồng thời , $x+y+z=1$ thì điểm M thuộc mặt phẳng $\left[ ABC \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \left[ x+y+z \right]\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$
$\Leftrightarrow x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
Nếu $x=0\Rightarrow \Leftrightarrow y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng
Nếu $x\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-y}{x}\overrightarrow{MB}-\frac{z}{x}\overrightarrow{MC}$$\Rightarrow $ A, B, C, M đồng phẳng.
| Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BD}=k\left[ k>0 \right]$. Chứng minh rằng 3 vectơ $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PM}$, $\overrightarrow{PN}$ đồng phẳng |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left[ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} \right]+\left[ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BP} \right] \right]$
$=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\left[ \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP} \right] \right]=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}}{k}$
Lại có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM} \\ {} \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN} \\ \end{array} \right.$ nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left[ \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right]$
[Do $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$]
Do đó $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left[ \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right]$$\Rightarrow $ M, N, P, Q đồng phẳng