- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Câu 2.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; -3; -1] và B[-2; 1; 3].
LG a
Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Ta có Ox đi qua O[0, 0, 0] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i = \left[ {1,0,0} \right].\]
\[ \Rightarrow d\left[ {A;Ox} \right] = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {{\left[ { 3} \right]}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} .\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow d\left[ {B;Ox} \right] = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr&= {{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} . \cr
& \Rightarrow d\left[ {A;Ox} \right] = d\left[ {B;Ox} \right]. \cr} \]
Vậy A và B cách đều trục Ox.
LG b
Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Lời giải chi tiết:
Điểm \[C \in Oz\] nên \[C\left[ {0,0,c} \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow {AC} = \left[ { - 1,3,c + 1} \right],\overrightarrow {BC} = \left[ {2, - 1,c - 3} \right].\]
Tam giác ABC vuông tại C nên
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr&\Leftrightarrow - 2 - 3 + \left[ {c + 1} \right]\left[ {c - 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 5 + {c^2} - 2c - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {c^2} - 2c - 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 4 \hfill \cr
c = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \]
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là \[C\left[ {0,0,4} \right]\] hoặc \[C\left[ {0,0, - 2} \right].\]
LG c
Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp[Oyz].
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của A trên mp[Oyz] là \[A'\left[ {0, - 3, - 1} \right]\] và hình chiếu của B trên mp[Oyz] là \[B'\left[ {0,1,3} \right]\].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left[ {0,4,4} \right] = 4\left[ {0,1,1} \right].\]
Suy ra hình chiếu d của AB trên mp[Oyz] là đường thẳng đi qua A và nhận \[\overrightarrow u = \left[ {0,1,1} \right]\] và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d là:
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 3 + t \hfill \cr
z = - 1 + t \hfill \cr} \right..\]
LG d
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp[Oxy].
Lời giải chi tiết:
Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \[I \in \left[ {Oxy} \right] \Rightarrow I\left[ {a,b,0} \right].\]
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0.\]
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr
1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0 \hfill \cr
4 + 1 + 9 + 4a - 2b + d = 0 \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr
- 2a + 6b = - 11 \hfill \cr
4a - 2b = - 14 \hfill \cr} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = {{ - 53} \over {10}} \hfill \cr
b = - {{18} \over 5} \hfill \cr
d = 0 \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{53} \over 5}x + {{36} \over 5}y = 0\]
\[\Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} + 53x + 36y = 0.\]