Câu - câu hỏi trắc nghiệm

• Câu 1
• Câu 2
• Câu 3
• Câu 4
• Câu 5
• Câu 6
• Câu 7
• Câu 8
• Câu 9
• Câu 10
• Câu 11
• Câu 12
• Câu 13
• Câu 14
• Câu 15
• Câu 16
• Câu 17
• Câu 18
• Câu 19
• Câu 20
• Câu 21
• Câu 22
• Câu 23
• Câu 24
• Câu 25
• Câu 26

Câu 1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?

A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A, B, C: Sai vì hình hộp có đáy không nội tiếp đường tròn thì không có mặt cầu ngoại tiếp.

Đáp án D đúng vì hình chữ nhật có đường tròn ngoại tiếp.

Chọn [D].

Câu 2

Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì

[A] Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.

[B] Hình lập phương có thể tích lớn nhất.

[C] Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.

[D] Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Hình hộp nội tiếp một mặt cầu là hình hộp chữ nhật có đường chéo \[d = 2R\]. Gọi \[x, y, z\] là các kích thước của hình hộp chữ nhật.

Ta có \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\]

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:

\[4{R^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \] \[\ge 3\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}} = 3\root 3 \of {{V^2}} \]

\[\Rightarrow {V^2} \le {\left[ {{{4{R^2}} \over 3}} \right]^3}\]

\[V\] đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[x = y = z\].

Chọn [B].

Câu 3

Một hình cầu có thể tích \[{4 \over 3}\pi \]ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?

[A] \[{{8\sqrt 3 } \over 9}\] [B] \[{8 \over 3}\] [C] 1 [D] \[2\sqrt 3 \]

Lời giải chi tiết:

Giả sử bán kính mặt cầu là \[R\] và cạnh hình lập phương là a thì thể tích khối cầu là \[V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R = 1\]

Mà \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 1 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]

Thể tích khối lập phương là \[V = {a^3} = {\left[ {{2 \over {\sqrt 3 }}} \right]^3} = {8 \over {3\sqrt 3 }} = {{8\sqrt 3 } \over 9}\].

Chọn [A].

Câu 4

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

[A] Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

[B] Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

[C] Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

[D] Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết:

Hình chóp có đáy là tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp thì đáy phải là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Trong các hình trên chỉ có hình thang cân nội tiếp được nên D đúng.

Chọn [D].

Câu 5

Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\]

[A] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \[ABC\] và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 2}\].

[B] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\].

[C] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 2}\].
[D] Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \[ABC\] và bán kính bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\].

Lời giải chi tiết:

Gọi \[G\] là trọng tâm tứ diện \[ABCD, AA\] là đường cao xuất phát từ \[A\] của tứ diện \[ABCD\]. Ta có:

\[\eqalign{
& AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} \cr&= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr
& \Rightarrow GA = GB = GC = GD = {3 \over 4}AA' \cr&= {{a\sqrt 6 } \over 4} \cr} \]

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\]

\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} \cr&+ {\left[ {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} \cr&= 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 4G{A^2} + 4G{M^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} \left[ {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right] \cr&= 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow M{G^2} = {{{a^2}} \over 2} - G{A^2} = {{{a^2}} \over 8}\cr& \Rightarrow MG = {{a\sqrt 2 } \over 4} \cr} \]

Tập hợp các điểm \[M\] là mặt cầu tâm \[G\] bán kính \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\] . Chọn [B].

Câu 6

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \[ABCD\] cạnh bằng \[a\] là:

[A] \[{{a\sqrt 2 } \over 2}\] [B] \[{{a\sqrt 2 } \over 4}\] [C] \[a\sqrt 2 \] [D] \[2a\sqrt 2 \]

Lời giải chi tiết:

Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm hai cạnh \[AB\] và \[CD\] của tứ diện đều \[ABCD\].

\[I\] là trung điểm của \[MN\] thì \[I\] cách đều \[6\] cạnh tứ diện nên \[I\] là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.

Bán kính mặt cầu: \[R = {{MN} \over 2}\]

Ta có: \[M{N^2} = A{N^2} - M{A^2} \] \[= A{D^2} - N{D^2} - M{A^2}\] \[ = {a^2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \]

\[\Rightarrow MN = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\].

Chọn [B].

Câu 7

Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

[A] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.

[B] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.

[C] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.

[D] Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Xem bài 3a. phần bài tập ôn tập chương II

Chọn D.

Câu 8

Cho hai điểm \[A, B\] phân biệt. Tập hợp các điểm \[M\] sao cho diện tích tam giác \[MAB\] không đổi là:

[A] Hai đường thẳng song song; [B] Một mặt cầu;

[C] Một mặt trụ; [D] Một mặt nón.

Lời giải chi tiết:

Gọi khoảng cách từ M đến AB là d[M, AB]

Ta có diện tích tam giác MAB là

\[S = \frac{1}{2}d\left[ {M,AB} \right].AB\] \[ \Rightarrow d\left[ {M,AB} \right] = \frac{{2S}}{{AB}}\]

Suy ra M thuộc mặt trụ T trục AB bán kính R = 2S/AB.

Chọn C

Câu 9

Cho hai điểm phân biệt \[A, B\] cố định và phân biệt. Một đường thẳng \[l\] thay đổi luôn đi qua \[A\] và cách \[B\] một khoảng \[{{AB} \over 2}\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[B\] trên \[l\]. Tập hợp điểm \[H\] là:

[A] Một mặt phẳng; [B] Một mặt trụ;

[C] Một mặt nón; [D] Một đường tròn.

Lời giải chi tiết:

\[\sin \widehat {HAB} = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {HAB} = {30^0}\]

Tập hợp \[l\] là mặt nón có trục AB, đường sinh \[l\], góc ở đỉnh là \[{60^0}\].

Gọi \[I\] là hình chiếu của H lên AB.

Ta có: \[BI = BH.\cos{60^0} = {{AB} \over 4} \Rightarrow I\] cố định.

Lại có \[IH = BH\sin {60^0}\] \[ = \frac{{AB}}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\]

Do đó H luôn cách I một khoảng bằng \[\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\] không đổi.

Vậy tập hợp điểm H là đường tròn tâm I bán kính \[\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\]

Chọn [D].

Câu 10

Với điểm \[O\] cố định thuộc mặt phẳng \[[P]\] cho trước, xét đường thẳng \[l\]thay đổi đi qua \[O\] và tạo với \[[P]\] góc \[30^0\]Tập hợp các đường thẳng \[l\]trong không gian là:

[A] Một mặt phẳng;

[B] Hai đường thẳng;

[C] Một mặt trụ;

[D] Một mặt nón.

Lời giải chi tiết:

Qua O kẻ đường thẳng Δ [P] thì góc giữa Δ và l bằng β=90o-30o=60o

Vậy đường thẳng l luôn tạo với Δ một góc không đổi và đi qua điểm O cố định trên [P] nên l thuộc mặt nón [H] trục Δ đỉnh O và góc ở đỉnh bằng = 120o.

Chọn D

Câu 11

Một hình trụ có bán kính đáy bằng \[a\], đường cao \[{\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \]. Một đoạn thẳng \[AB\] thay đổi sao cho góc giữa \[AB\] và trục hình trụ bằng \[30^0\]. \[A, B\] thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm \[I\] của \[AB\] là:

[A] Một mặt trụ; [B] Một mặt cầu;

[C] Một đường tròn; [D] Một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi \[A\] là hình chiếu của \[A\] xuống mặt phẳng đáy thì \[AA = OO\]. Gọi \[I, M, N\] lần lượt là trung điểm của \[OO, AB\] và \[AA\].

Ta có: \[IA = IB\] và \[IM \bot AB\].

Mp[IMN] qua \[I\] và song song với hai mặt phẳng đáy.

Ta có: \[MN = AN.\tan {30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 3 }} = {a \over 2}\]

\[ \Rightarrow MI = \sqrt {N{I^2} - M{N^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]

Vậy tập hợp trung điểm \[M\] của \[AB\] là đường tròn tâm \[I\] bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\] nằm trong mp\[[IMN]\].
Chọn [C].

Câu 12

Trong mặt phẳng [P] cho góc xOy. Một mặt phẳng [Q] thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong [Q] lấy điểm M sao cho \[\widehat {AMB} = {90^0}\]. Khi ấy, tập hợp điểm M là:

[A] Một đường tròn; [B] Một mặt trụ;

[C] Một mặt nón; [D] Một mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi Oz là tia phân giác của góc xOy, I là trung điểm AB và \[\alpha = \widehat {xOy}\]

\[\widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AMB\] vuông tại M nên \[MI = \frac{{AB}}{2}\] [trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền]

Ta có: \[Oz \bot \left[ Q \right] \Rightarrow Oz \bot MI\] \[ \Rightarrow \widehat {MIO} = {90^0}\]

Xét hai tam giác vuông MOI và BOI có

\[\widehat {MIO} = \widehat {BIO} = {90^0}\]

\[MI = BI = \frac{{AB}}{2}\]

Chung OI

Suy ra ΔMOI=ΔBOI [hai cạnh góc vuông]

\[ \Rightarrow \widehat {MOI} = \widehat {BOI} \Rightarrow \widehat {MOz} = \widehat {yOz} = \frac{\alpha }{2}\]

Vậy M thuộc mặt nón [H] trục Oz, đỉnh O góc đỉnh α.

Chọn C

Câu 13

Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc ACA khi quay quanh AA bằng:

[A] \[\pi {a^2}\sqrt 6 \] [B] \[\pi {a^2}\sqrt 3 \]

[C] \[\pi {a^2}\sqrt 2 \] [D] \[\pi {a^2}\sqrt 5 \]

Lời giải chi tiết:

Hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc ACA khi quay quanh \[AA' \] có bán kính đáy \[r=A'C'=a\sqrt 2\] và độ dài đường sinh \[l=AC' = a\sqrt 3 \] nên diện tích xung quanh của hình nón là: \[{S_{xq}} = \pi rl=\pi a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \pi {a^2}\sqrt 6 \]

Chọn [A].

Câu 14

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:

[A] Một mặt nón cố định; [B] Một mặt phẳng cố định;

[C] Một mặt trụ cố định; [D] Một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm AB ta có \[OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} \] \[= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]

Tập hợp I là đường tròn tâm O bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\]trong mặt phẳng đáy hình nón.

Gọi O là trung điểm SO và M là trung điểm của SI thì \[MO' = {1 \over 2}OI = {{a\sqrt 3 } \over 4}\]

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 4}\] nằm trong mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng đáy.

Chọn [D].

Câu 15

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO. Cắt hình trụ đó bằng \[mp\left[ \alpha \right]\]vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước [h