Chứng minh phương trình có it nhất 1 nghiệm

Định lý 1. [Định lý giá trị trung gian]

Nếu hàm số y=f[x] liên tục trên đoạn [a;b] thì f[x] nhận mọi giá trị f[x0], với ${x_0} \in \left[ {a;b} \right]$

Định lí 2.  Nếu hàm số y=f[x] liên tục trên đoạn [a;b] và f[a].f[b] 0.$

Vì $f\left[ { – 2} \right].f\left[ { – \frac{3}{2}} \right] < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left[ { – 2; – \frac{3}{2}} \right].$

Vì $f\left[ { – \frac{3}{2}} \right].f\left[ { – 1} \right] < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left[ { – \frac{3}{2}; – 1} \right].$

Vì $f\left[ { – 1} \right].f\left[ {\frac{1}{2}} \right] < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right].$

Vì $f\left[ {\frac{1}{2}} \right].f\left[ 1 \right] < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left[ {\frac{1}{2};1} \right].$

Vì $f\left[ 1 \right].f\left[ 3 \right] < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left[ {1;3} \right].$

Do các khoảng $\left[ { – 2; – \frac{3}{2}} \right]$, $\left[ { – \frac{3}{2}; – 1} \right]$, $\left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right]$, $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$, $\left[ {1;3} \right]$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất $5$ nghiệm.

Mà phương trình bậc $5$ có không quá $5$ nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng $5$ nghiệm.

b] Phương pháp đổi biến

Ví dụ 4

Chứng minh rằng nếu $2a + 3b + 6c = 0$ thì phương trình $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left[ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right]$, $k \in Z.$

Giải

Đặt $t = \tan x$, vì $x \in \left[ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right]$ nên $t \in \left[ {0;1} \right]$, phương trình đã cho trở thành: $a{t^2} + bt + c = 0$ $\left[ * \right]$ với $t \in \left[ {0;1} \right].$
Đặt $f\left[ t \right] = a{t^2} + bt + c$ thì $f\left[ t \right]$ liên tục trên $R.$

Ta sẽ chứng minh phương trình $\left[ * \right]$ luôn có nghiệm $t \in \left[ {0;1} \right].$

Thật vậy:

Ta có: $f\left[ 0 \right].f\left[ {\frac{2}{3}} \right]$ $ = \frac{c}{9}\left[ {4a + 6b + 9c} \right]$ $ = \frac{c}{9}\left[ {2\left[ {2a + 3b + 6c} \right] – 3c} \right]$ $ = – \frac{{{c^2}}}{3}.$

+ Nếu $c = 0$ thì $f\left[ {\frac{2}{3}} \right] = 0$ do đó phương trình $\left[ * \right]$ có nghiệm $t = \frac{2}{3} \in \left[ {0;1} \right].$

+ Nếu $c \ne 0$ thì $f\left[ 0 \right].f\left[ {\frac{2}{3}} \right] < 0$ suy ra phương trình $\left[ * \right]$ có nghiệm $t \in \left[ {0;\frac{2}{3}\pi } \right]$, do đó phương trình $\left[ * \right]$ có nghiệm $t \in \left[ {0;1} \right].$

Vậy phương trình $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left[ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right]$, $k \in Z.$

2.1.2. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất

Phương pháp:

+ Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [a;b].

+ CM nghiệm đó là duy nhất bằng cách: Giả sử có nghiệm x1; x2. Chứng minh x1=x2 suy ra nghiệm đó là duy nhất

Ví dụ 1

Chứng minh rằng các phương trình: ${{x}^{5}}+3x+1=0$ có đúng một nghiệm.

Giải

Xét hàm số $f[x]={{x}^{5}}+3x+1$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$

Mặt khác: $f[-1]=-1,f[0]=1\Rightarrow f[-1].f[0]=-1 0$

Nên [1]$\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$

Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.

2.2. Loại 2. Phương trình chứa tham số.

Dạng 1. Xác định khoảng nghiệm cụ thể. Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n

$m{{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x+2 \right]+2x+3=0$

Giải

Ta có hàm số $f[x]=m{{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x+2 \right]+2x+3$ liên tục trên R và

$f[1].f[-2]=-5 0;\forall m$. Suy ra: $ \Rightarrow \exists B > 0,f[0].f[B] < 0;\forall m$. Vậy phương trình có it nhất một nghiệm thuộc $\left[ {0; – \infty } \right]$.Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm phân biệt [đpcm].

Ví dụ 3. 

Chứng minh rằng phương trình $\left[ {{m^2} – m + 3} \right]{x^{2n}} – 2x – 4 = 0$ với $n \in {N^*}$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Giải

Đặt $f\left[ x \right] = \left[ {{m^2} – m + 3} \right]{x^{2n}} – 2x – 4.$

Ta có:

$f\left[ { – 2} \right]$ $ = \left[ {{m^2} – m + 3} \right]{\left[ { – 2} \right]^{2n}} – 2\left[ { – 2} \right] – 4$ $ = \left[ {{m^2} – m + 3} \right]{2^{2n}} > 0$, $\forall m \in R.$

$f\left[ 0 \right] = – 4 < 0$, $\forall m \in R.$

Từ đó có: $f\left[ { – 2} \right].f\left[ 0 \right] < 0$, $\forall m \in R.$

Ngoài ra hàm số $f[x]$ xác định và liên tục trên $R$ nên hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { – 2;0} \right].$

Vậy phương trình $f[x] = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số $m.$

C. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.

${{x}^{3}}+2x=4+3\sqrt{3-2x}$

Bài 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

a] ${{x}^{7}}+3{{x}^{5}}-1=0$

b] ${{x}^{2}}\sin x+x\cos x+1=0$

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau: $\sqrt{{{x}^{5}}+2{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}+14x+2}=3{{x}^{2}}+x+1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

a] ${{x}^{3}}-3x+1=0$

b] $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$

Bài 5. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n:

$m\left[ x-a \right]\left[ x-c \right]+n\left[ x-b \right]\left[ x-d \right]=0$    [$a\le b\le c\le d$].

Hướng dẫn: Xét: f[a]f[c]0$ và $a,b,c$ là ba số thực bất kỳ thoả mãn

$\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.

Hướng dẫn: $f[0].f\left[ {\frac{{m + 1}}{{m + 2}}} \right] = \frac{{ – {c^2}}}{{m\left[ {m + 2} \right]}} < 0$

Bài 8. Chứng minh rằng phương trình :

a] ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$có nghiệm thuộc khoảng $\left[ -1;1 \right]$

b] ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có năm nghiệm thuộc khoảng $\left[ -2;3 \right]$

Bài 9. Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: $n