Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi đại học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 CHUYÊN ðỀ ƠN THI ðẠI HỌC MƠN TỐN NGUYỄN VĂN XÁ TỔ TỐN TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 CHUYÊN ðỀ ƠN THI ðẠI HỌC MƠN TỐN BẤT ĐẲNG THỨC LỜI NĨI ðẦU ðược sự tạo điều kiện của lãnh đạo Nhà trường và sự cổ vũ của đơng đảo đồng nghiệp, tổ Tốn đã tổ chức biên soạn tài liệu ơn thi ðại học, gồm nhiều chuyên đề bám sát cấu trúc đề thi do Bộ Giáo dục và ðào tạo qui định. Tài liệu này ra đời đĩng gĩp vào những nỗ lực chung của tồn trường trong việc từng bước nâng cao chất lượng dạy và học. Trong quá trình biên soạn, chúng tơi vừa trao đổi với các đồng nghiệp trong và ngồi tổ, vừa tham khảo các tài liệu luyện thi hiện cĩ, vừa căn cứ vào tình hình thực tế học sinh trong trường. Vì vậy, mặc dù hiện nay những tài liệu luyện thi ðại học cĩ rất nhiều, chúng tơi vẫn hi vọng tài liệu này mang tiếng nĩi của riêng mình. Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nĩi trên. Ban đầu chúng tơi cĩ ý định biên soạn chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian khơng cho phép nên chúng tơi mới chỉ đề cập đến một số vấn đề về bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cịn các vấn đề chung về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như ứng dụng của nĩ chúng tơi chưa cĩ điều kiện trình bày. Tới đây, chúng tơi sẽ cố gắng biên soạn bổ sung các nội dung đĩ thành một chuyên đề khác hoặc cũng cĩ thể tiếp nối vào chuyên đề này. Vì nhiều lí do mà chất lượng của tài liệu này cịn nhiều điều đáng bàn. Chúng tơi rất mong các đồng nghiệp, các bạn học sinh chỉ giúp những chỗ sai sĩt hoặc chưa hợp lí để chúng tơi kịp thời khắc phục. Các ý kiến xin vui lịng gửi về email: . Chúng tơi bày tỏ sự kính trọng và biết ơn tới đồng chí Hiệu trưởng và đồng chí Tổ trưởng vì những giúp đỡ của các đồng chí để tài liệu này được hồn thành. Chúng tơi cũng chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các học sinh đã quan tâm tới tài liệu này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [01] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Bộ sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên THPT mơn Tốn [cơ bản và nâng cao] – NXB GDVN, 2010. [02] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn 10, 11, 12 –NXB GDVN, 2010. [03] Nguyễn An Ninh [cb] – Cấu trúc đề thi mơn Tốn, Vật Lí, Hố Học, Sinh Học năm 2010 – NXB GDVN, 2010. [04] Võ Anh Dũng [tcb], Trần ðức Huyên [cb] – Giải tốn ðại số và Lượng giác 11 – NXB GDVN, 2009. [05] Võ Anh Dũng [tcb], Trần ðức Huyên [cb] – Giải tốn Giải tích 11 – NXB GDVN, 2009. [06] Võ Anh Dũng [tcb], Trần ðức Huyên [cb] – Giải tốn Hình học 11 – NXB GDVN, 2009. [07] Võ Anh Dũng [tcb], Trần ðức Huyên [cb] – Giải tốn Hình học 10 – NXB GDVN, 2009. [08] Võ Anh Dũng [tcb], Trần ðức Huyên [cb] – Giải tốn ðại số 10 – NXB GDVN, 2009. [09] Võ Anh Dũng [tcb], Trần ðức Huyên [cb] – Giải tốn Lượng giác 10 – NXB GDVN, 2009. [10] Trần Phước Chương, ðỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh – Rèn luyện kĩ năng giải các dạng bài tập ðại số 10 nâng cao – NXB GDVN, 2007. [11] Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà – Các dạng tốn về Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất – NXB ðà Nẵng, 1998. [12] Trần Tuấn ðiệp, Nguyễn Phú Trường, Ngơ Long Hậu – Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào ðại học, Cao đẳng trong tồn quốc mơn Tốn – NXB Hà Nội, 2010. [13] Trần Văn Hạo [cb] – Chuyên đề luyện thi vào ðại học: Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất – NXB GD, 2001. MỤC LỤC Trang LỜI NĨI ðẦU 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 MỤC LỤC 3 1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4 1.1. ðịnh nghĩa ........ 4 1.2. Một số tính chất ........ 4 1.3. Bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối .. 4 1.4. Bất đẳng thức Cơsi 5 1.5. Bất đẳng thức lượng giác . 5 1.6. Bất đẳng thức hình học . 6 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 7 2.1. Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả; phương pháp làm trội .. 7 2.2. Phương pháp phản chứng . 11 2.3. Phương pháp qui nạp tốn học . 11 2.4. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức đã biết 14 2.5. Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác 17 2.6. Phương pháp vận dụng kiến thức hình học 19 2.7. Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số.. 20 3. VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 3.1. Nhắc lại định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 31 3.2. Một số ví dụ vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 31 4. BÀI TẬP THAM KHẢO 34 Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 1.1 ðịnh nghĩa Cho hai số thực a và b. Ta nĩi “a lớn hơn b” và viết “a > b” [hoặc viết “b < a”] nếu a – b là số dương [hay b – a là số âm], lúc đĩ ta cũng nĩi “b nhỏ hơn a”. Ta nĩi “a lớn hơn hoặc bằng b” và viết “a ≥ b” [hoặc viết “b ≤ a”] nếu a – b là số khơng âm [hay b – a là số khơng dương], lúc đĩ ta cũng nĩi “b nhỏ hơn hoặc bằng a”. Như vậy: a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0. > ⇔ − > < ⇔ − < ≥ ⇔ − ≥ ≤ ⇔ − ≤ Các mệnh đề cĩ dạng “a > b” hoặc “a < b” hoặc “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” được gọi là bất đẳng thức. Trong đĩ, khi cần thiết, hai bất đẳng thức đầu tiên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất đẳng thức sau gọi là bất đẳng thức khơng ngặt. Nếu khơng nĩi gì thêm, khi đề cập đến bất đẳng thức thì ta hiểu đĩ là các mệnh đề đúng. Bài tốn chứng minh bất đẳng thức là bài tốn chứng minh bất đẳng thức đã cho là mệnh đề đúng. 1.2. Một số tính chất Chúng ta đề cập tới ở đây một số tính chất thường gặp của bất đẳng thức. 1] a b a c b c > ⇒ > > [tính chất bắc cầu]. 2] a b a c b c [a b c a c b]< ⇔ + < + < + ⇔ − < [cộng hai vế bất đẳng thức với cùng một số]. 3] a b a c b d c d thì a b a b.α α> ⇔ < 10] a b a b, a,b 0.+ ≥ + ∀ ≥ Dấu “=” xảy ra khi a.b = 0. . Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 5 5 11] 2nx 0, x , n *.≥ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Ta hay sử dụng bất đẳng thức ở dạng 2x 0, x .≥ ∀ ∈ℝ 12] Nhờ cơng thức khai triển nhị thức Niu−tơn, với x 0, n *,≥ ∈ℕ ta cĩ n n[1 x] 1 nx ... x 1 nx,+ = + + + ≥ + bất đẳng thức n[1 x] 1 nx+ ≥ + được gọi là bất đẳng thức Béc−nu−li. Từ bất đẳng thức Béc−nu−li hoặc nhờ bất đẳng thức Cơsi ta cĩ n 1 na 1 a, n ,n 1, a 0.+ ∀ >ℕ 13] Nếu a, b là các số nguyên và a < b thì a 1 b.+ ≤ 1.3. Bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối 1] |a| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a = 0. 2] |a| + a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a ≤ 0. 2] | a | | b | | a b | || a | | b || .+ ≥ + ≥ − | a | | b | | a b | a.b 0; || a | | b || | a b | a.b 0.+ = + ⇔ ≥ − = + ⇔ ≤ 3] Nếu b ≥ 0 thì a b| a | b b a b; | a | b . a b ≥ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ⇔  ≤ − 1.4. Bất đẳng thức Cơsi 1] Bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm a, b: a b ab. 2 + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2] Bất đẳng thức Cơsi cho ba số khơng âm a, b, c: 3a b c abc. 3 + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 3] Bất đẳng thức Cơsi cho n số khơng âm a1, a2, , an: 1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ...a . n + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 4] Hệ quả: Với n số dương a1, a2, , an ta cĩ 21 2 n 1 2 n 1 1 1[a a ... a ][ ... ] n . a a a + + + + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 5] Với n số khơng âm a1, a2, , an, kí hiệu 1 2 n1 1 n a a ... aS ; C + + + = i j 1 i j n 2 2 n a a S ; C ≤ < ≤ = ∑ i j k 1 i j k n 3 3 n a a a S ; C ≤ < < ≤ = ∑ ; 1 2 nn n n a a ...aS ; C = [ở đĩ kn n!C , n,k ,n k]. k!.[n k]!= ∀ ∈ ≥− ℕ Ta cĩ dãy bất đẳng thức 3 n1 2 3 nS S S ... S ,≥ ≥ ≥ ≥ dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. Một số tác giả gọi đây là dãy bất đẳng thức xen kẽ Cơsi. 1.5. Bất đẳng thức lượng giác 2 21] a.sin x b.cos x a b , x .+ ≤ + ∀ ∈ℝ Dấu “=” xảy ra khi a.cosx = b.sinx. Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 6 Hệ quả: 1 sin x 1; 1 cos x 1.− ≤ ≤ − ≤ ≤ 2] tan x cot x 2, x k ,k . 2 pi + ≥ ∀ ≠ ∈ℤ Dấu “=” xảy ra khi x k ,k . 4 pi = ± + pi ∈ℤ 1.6. Bất đẳng thức hình học 1] Với ba điểm bất kì A, B, C thì AB AC BC,+ ≥ dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn BC. 2] Với mọi u, v  ta cĩ u v u v ,+ ≥ +    dấu “=” xảy ra khi u, v  cùng hướng. 3] Với mọi u, v  ta cĩ u . v u.v ,≥    dấu “=” xảy ra khi u, v  cùng phương. 4] Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số bất kì trong ba số đĩ lớn hơn số cịn lại. Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 7 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 2.1. Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả; phương pháp làm trội ðể chứng minh bất đẳng thức A > B ta cĩ thể chứng minh A – B > 0. Ta thường vận dụng các phép biến đổi tương đương để chuyển bất đẳng thức A – B > 0 thành bất đẳng thức luơn đúng hoặc giả thiết. Ta cũng cĩ thể xuất phát từ giả thiết hoặc một mệnh đề đúng nào đĩ, qua các phép biến đổi hệ quả dẫn đến bất đẳng thức A – B > 0. Lưu ý một số sự kiện: i] 2A 0, A .≥ ∀ ∈ℝ Dấu”=” xảy ra khi A = 0. ii] a 0, a ,≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a = 0. iii] a a 0, a ,+ ≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a 0.≤ iv] n n 2 2 k k i j k 1 k 1 1 i j n [ a ] a 2. a a . = = ≤ < ≤ = +∑ ∑ ∑ v] n n k n k k n k 0 [a b] C a b .− = + = ∑ vi] n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1a b [a b][a a b a b ... ab b ].− − − − −− = − + + + + + vii] 3 3 3 2 2 2a b c 3abc [a b c][a b c ab bc ca].+ + − = + + + + − − − ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng 1 nu ... u+ + ≤ α ta cĩ thể chứng minh k k k 1u v v , k 1,2,...,n,+≤ − ∀ = và chứng minh 1 k 1v v .+− ≤ α ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng 1 2 nu .u ...u ≤ α ta cĩ thể chứng minh k k k 1 v u , k 1,2,...,n, v + ≤ ∀ = và chứng minh 1 k 1 v . v + ≤ α ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng a + b + c ≤ x + y + z ta cĩ thể chứng minh a b 2z b c 2x c a 2y + ≤  + ≤  + ≤ hoặc 2a y z 2b z x. 2c x y ≤ +  ≤ +  ≤ + ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng abc xyz≤ [với a, b, c, x, y, z 0]≥ ta cĩ thể chứng minh 2 2 2 ab z bc x ca y  ≤  ≤  ≤ hoặc 2 2 2 a yz b zx. c xy  ≤  ≤  ≤
VÍ DỤ 1. 1] Chứng minh rằng 8 5 2 1a a a a 0 [1], a . 3 − + − + > ∀ ∈ℝ Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 8 8 2] Chứng minh rằng 2 2 2 2 2[ax by] [a b ][x y ] [2], a,b,x, y+ ≤ + + ∀ ∈ℝ [bất đẳng thức Bunhiacơpxki]. ☺ HƯỚNG DẪN. 1] Ta thấy 4 2 2a a 3 1[1] [a ] [ ] 0 [1']. 2 2 3 ⇔ − + − > Do hai bất đẳng thức 4 2a[a ] 0 2 − ≥ và 2a 3 1[ ] 0 2 3 − ≥ đúng với mọi a, dấu “=” lại khơng đồng thời xảy ra, nên [1’] đúng với mọi a. Vậy [1] đúng với mọi a. 2] Bất đẳng thức 2[2] [ay bx] 0⇔ − ≥ đúng với mọi a, b, x, y; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx.
VÍ DỤ 2. 1] Chứng minh rằng n n na b a b, n ,n 2, a,b 0.+ ≥ + ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ 2] Chứng minh rằng n m n m n m m nx y x y x y , x, y , n,m *,+ ++ ≥ + ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ và m, n cùng tính chẵn lẻ. ☺ HƯỚNG DẪN. 1] Ta thấy n nn 1 n 1 n 1 n 1n n n n n n[ a b] a C a . b ... C a. b b a b 0, n ,n 2, a,b 0− − −+ = + + + + ≥ + ≥ ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ nên n n na b a b, n ,n 2, a,b 0.+ ≥ + ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ 2] Bất đẳng thức đã cho tương đương với m m n n[x y ][x y ] 0 [*].− − ≥ – Nếu n, m cùng lẻ thì m m m m n n n nx y 0 x y x y x y x y 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ và m m n nx y 0 x y 0,− ≤ ⇔ − ≤ nên [*] đúng, dấu “=” xảy ra khi x = y. – Nếu n, m cùng chẵn thì m m m m n n n nx y 0 x y | x | | y | x y x y 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ và m m n nx y 0 x y 0,− ≤ ⇔ − ≤ nên [*] đúng, dấu “=” xảy ra khi x = ± y. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh với mọi x, y, z ta cĩ 2 2 2 x y z xy.cosC yz.cos A zx.cos B . 2 + + + + ≤ ☺ HƯỚNG DẪN. ðặt BC CA AB a , b , c BC CA AB = = =       thì a b c 1= = =    và   [a,b] C, [b,c] A, [c,a] A.= pi− = pi− = pi−       Ta xuất phát từ bất đẳng thức luơn đúng 2[x.a y.b z.c] 0+ + ≥    2 2 2 2 2 2 x y z 2xy.cos[a,b] 2yz.cos[b,c] 2zx.cos[c,a] 0 x y z 2xy.cosC 2yz.cos A 2zx.cos B 0 ⇔ + + + + + ≥ ⇔ + + − − − ≥       Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 9 9 2 2 2 x y z xy.cosC yz.cosA zx.cos B [đpcm]. 2 + + ⇔ + + ≤ Nhận xét. Cho x = y = z = 1 ta được bất đẳng thức quen thuộc 3cosA cosB cosC . 2 + + ≤
VÍ DỤ 4. Cho a, b, c dương và thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 1 1 11] 1. a b 1 b c 1 c a 1 ab bc ca2] 1. a b ab b c bc c a ca + + ≤ + + + + + + + + ≤ + + + + + + ☺ HƯỚNG DẪN. 1] Với mọi a, b ta cĩ [a – b]2 0≥ nên 2 2a ab b ab.− + ≥ Từ đây và do a 0, b 0, abc 1> > = suy ra 3 3 2 2a b 1 [a b][a ab b ] 1 ab[a b] abc ab[a b c]+ + = + − + + ≥ + + = + + 3 3 3 3 ab 1 1 c [1]. a b c a b ca b 1 a b 1 ⇒ ≤ ⇒ ≤ + + + ++ + + + Tương tự ta cĩ các bất đẳng thức 3 3 3 3 1 a 1 b [2], [3]. a b c a b cb c 1 c a 1 ≤ ≤ + + + ++ + + + Cộng [1], [2], [3] theo từng vế ta được 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1. a b 1 b c 1 c a 1 + + ≤ + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 5 5 4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 5 5 2 2 2] Do a, b 0 nên a b [a b][a a b a b ab b ] [a b][[a b] .[a ab b ] a b ] [a b]a b . ab ab 1 1 1 c ab[a b] 1 ab[a b] abc ab[a b c] aa b ab [a b]a b ab > + = + − + − + = + − + + + ≥ + ⇒ ≤ = = = = + + + + + + ++ + + + . b c+ Tương tự ta cĩ 5 5 5 5 bc a ca b , . a b c a b cb c bc c a ca ≤ ≤ + + + ++ + + + Vậy 5 5 5 5 5 5 ab bc ca 1 a b ab b c bc c a ca + + ≤ + + + + + + , dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
VÍ DỤ 5. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a b c dM a b c b c d c d a d a b = + + + + + + + + + + + khơng phải là số nguyên. ☺ HƯỚNG DẪN. a a aTa cĩ a b c d a b c a c b b b a b c d b c d b d c c c a b c d c d a a c < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 10 10 và d d d . a b c d d a b b d < < + + + + + + Suy ra 1 < M < 2. Vậy M khơng phải là số nguyên.
VÍ DỤ 6. Chứng minh n k 1 1 2, n ,n 2, 2. kα = < ∀ ∈ ≥ ∀α ≥∑ ℕ ☺ HƯỚNG DẪN. 2 2 2 1 1 1 1 1Ta cĩ 1.2 1 22 2 1 1 1 1 1 2.3 2 33 3 ............................ 1 1 1 1 1 .[n 1].n n 1 nn n α α α ≤ < = − ≤ < = − ≤ < = − − − Suy ra n k 2 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 1. 2 2 3 n 1 n nkα= < − + − + + − = − < − ∑ Vậy n k 1 1 2, n ,n 2, 2. kα = < ∀ ∈ ≥ ∀α ≥∑ ℕ
VÍ DỤ 7. Chứng minh với mọi ∆ ABC ta cĩ 1 1 1 1 1 1 .A B Csin A sin B sin C cos cos cos 2 2 2 + + ≥ + + ☺ HƯỚNG DẪN. * Với mọi x, y [0; ]∈ pi thì x y x y[0; ], [ ; ] 2 2 2 2 + − pi pi ∈ pi ∈ − nên x ysin 0 2 + ≥ và x y0 cos 1. 2 −≤ ≤ Do đĩ x y x y x ysin x sin y 2sin cos 2sin [1], x,y [0; ]. 2 2 2 + − + + = ≤ ∀ ∈ pi Dấu “=” xảy ra khi x = y [0; ]∈ pi . * Với mọi a, b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta cĩ 1 1 2 4 [2]. a b a bab + ≥ ≥ + Dấu “=” xảy ra khi a = b > 0. * Với mọi ∆ ABC luơn cĩ sinA, sinB, sinC, A B Ccos , cos , cos 0. 2 2 2 > * Áp dụng [1] và [2] thu được 1 1 4 4 2 [3].A B Csin A sin B sin A sin B 2sin cos 2 2 + ≥ ≥ = ++ Tương tự 1 1 2 1 1 2[4], [5].A Bsin B sin C sin C sin Acos cos 2 2 + ≥ + ≥ Cộng [3], [4], [5] theo từng vế ta được 1 1 1 1 1 1 A B Csin A sin B sin C cos cos cos 2 2 2 + + ≥ + + [đpcm]. Dấu “=” xảy ra khi ABC là tam giác đều. Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 11 11 2.2. Phương pháp phản chứng Giả sử ta phải chứng minh bất đẳng thức nào đĩ đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đĩ sai và kết hợp với giả thiết và các tính chất đúng đã biết để suy ra điều vơ lí. ðiều vơ lí đĩ cĩ thể là điều trái với giả thiết hoặc trái với một mệnh đề đúng nào đ y, cũng cĩ thể là hai điều mâu thuẫn với nhau. Từ đĩ suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
VÍ DỤ 8. Cho a,b,c [0;1].∈ Chứng minh trong ba bất đẳng thức sau cĩ ít nhất một bất đẳng thức sai: 1 1 1a[1 b] , b[1 c] , c[1 a] . 4 4 4 − > − > − > ☺ HƯỚNG DẪN. Giả sử cả ba bất đẳng thức đĩ đều đúng. Lúc này ta cĩ a[1–a]b[1–b]c[1–c]> 1 64 [1]. Ta lại cĩ 2 21 1 1 1 10 a[1 a] a a [a ] , 0 b[1 b] , 0 c[1 c] . 4 2 4 4 4 < − = − = − − ≤ < − ≤ ≤ − ≤ Suy ra a[1–a]b[1–b]c[1–c] ≤ 1 64 [2]. Mâu thuẫn giữa [1] và [2] chứng tỏ điều ta giả sử là sai. Vậy trong ba bất đẳng thức đã cho cĩ ít nhất một bất đẳng thức sai.
VÍ DỤ 9. Cho f[x] = x2 +ax + b. Chứng minh rằng trong ba số |f[–1]|, |f[0]|, |f[1]| cĩ ít nhất một số khơng bé hơn 1 . 2 ☺ HƯỚNG DẪN. Giả sử cả ba số |f[–1]|, |f[0]|, |f[1]| đều bé hơn 1 . 2 Tức là 1 1 1| f [ 1] | |1 a b | [1], | f [0] | | b | [2], | f [1] | |1 a b | [3]. 2 2 2 − = − + < = < = + + < Từ [1] và [3] suy ra 1 11 a b 3 12 2 1 2 2b 1 b [4]. 1 1 2 21 a b 2 2  − < − + 6 ta cĩ nn! 3 [*].> ☺ HƯỚNG DẪN. Với n = 7 ta cĩ 7! = 5040 > 2187 = 37, tức là [*] đúng với n = 7.  Giả sử [*] đúng với n = k [k ,k 7],∈ ≥ℤ tức là kk! 3 [1].> Ta cần chứng minh [*] đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh k 1[k 1]! 3 [2].++ > Thật vậy, từ [1] suy ra k[k 1].k! 3 .[k+1].+ > Mà k 7≥ nên k + 1 > 3. Dẫn đến k k k 1[k 1]! [k 1].k! 3 .[k+1]>3 .3 3 .++ = + > = Vậy [2] đúng. Theo nguyên lí qui nạp tốn học, bất đẳng thức [*] đúng với mọi số nguyên n > 6.
VÍ DỤ 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 11 đều tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho n 4x 5y.= + ☺ HƯỚNG DẪN. Với n = 12 thì 12 = 4.3 + 5.0 [x = 3, y = 0], tức là khẳng định cho ở đề bài đúng với n = 12. Bằng kiểm tra trực tiếp ta cũng thấy khẳng định đã cho cũng đúng với n = 13 và n = 14. Tiếp theo ta sẽ chứng minh khẳng định đĩ đúng với mọi số nguyên n > 14.  Giả sử khẳng định cho ở đề bài đúng với mọi n ,12 n k [k ,k 15],∈ ≤ ≤ ∈ ≥ℕ ℤ ta phải chứng minh khẳng định đĩ cũng đúng với n = k + 1. Do 12 k 3 k≤ − ≤ nên theo giả thiết qui nạp khẳng định đã cho đúng với n = k –3. Tức là tồn tại hai số tự nhiên x, y sao cho k – 3 = 4x + 5y. Ta cĩ k + 1 = 4[x+1] + 5y, chứng tỏ khẳng định đã cho đúng với n = k + 1. Vậy điều phải chứng minh là đúng.
VÍ DỤ 12. Chứng minh rằng mm m m 1 2 n 1 2 n 1 n a a ... a a a ... a , m,n *, a ,...,a 0. n n + + + + + + ≥ ∀ ∈ ∀ ≥    ℕ ☺ HƯỚNG DẪN.  Với n = 1 thì bất đẳng thức đã cho đúng, và xảy ra dấu “=” [Coi n = 1 là trường hợp riêng của a1 = a2 = = an]. Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 13 13  Với n = 2 thì bất đẳng thức đã cho trở thành mm m 1 2 1 2a a a a [1]. 2 2 + + ≥     Ta sẽ chứng minh [1] bằng phương pháp qui nạp theo m. – Với m = 1 thì [1] đúng và xảy ra dấu “=”. Ta cũng kiểm tra được [1] đúng khi m = 2, dấu “=” xảy ra khi a1 = a2. – Giả sử [1] đúng với m = k [k *],∈ℕ tức là kk k 1 2 1 2a a a a [2]. 2 2 + + ≥     Ta phải chứng minh [1] đúng với m = k + 1, tức là phải chứng minh k 1k 1 k 1 1 2 1 2a a a a [3]. 2 2 ++ ++ + ≥     Ta thấy k 1 k k k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2a a a a a a a a a a . . 2 2 2 2 2 + + + + + +      = ≤            [do [2] và 1 2a ,a 0].≥ Bây giờ để chứng minh [3] ta đi chứng minh k k k 1 k 1 1 2 1 2 1 2a a a a a a . [4]. 2 2 2 + ++ + +≤ Thật vậy, k 1 k k k 1 k 1 k 1 k 1 k k k 11 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2[4] a a .a a .a a 2a 2a a a .a a .a a 0+ + + + + +⇔ + + + ≤ + ⇔ − − + ≥ k k k k 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2a [a a ] .a [a a ] 0 [a a ][a a ] 0⇔ − + − ≥ ⇔ − − ≥ [luơn đúng do 1 2k *,a ,a 0].∈ ≥ℕ Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2. Tĩm lại [1] đúng với mọi số nguyên dương m. Nghĩa là bất đẳng thức đã cho đúng với n = 2, và dấu “=” xảy ra khi a1 = a2  Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với n = p [p *].∈ℕ Tức là mm m m 1 2 p 1 2 pa a ... a a a ... a [5], p p + + + + + +  ≥     dấu “=” xảy ra khi a1 = = ap. Ta đi chứng minh bất đẳng thức đã cho đúng với n = p + 1, tức là đi chứng minh bất đẳng thức mm m m m 1 2 p p 1 1 2 p p 1a a ... a a a a ... a a [6]. p 1 p 1 + ++ + + + + + + + ≥   + +  – Áp dụng [5] ta được m 1 2 pm m m 1 2 p a a ... a a a ... a p p + + +  + + + ≥     m 1 p 1 p 1 1 p 1m m p 1 a ... a a [p 1] a ... a p 1 a [p 1][ ] p . p 1 p + + + + + +  + − + + + + − ≥ +       Suy ra m 1 p 1 m p 1 1 p 1 1 pm m m 1 p 1 a ... a a [p 1] a ... a a ... a p 1 a ... a [p 1][ ] p p . p 1 p p + + + + + +  + − + + + +  + + + + − ≥ +  +        – Áp dụng [1] ta được , hoặc m = 1. Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 14 14 m 1 p 1 m p 1 1 p 1 1 p m p 1 1 p a ... a a [p 1] a ... a a ... a p 1 a [p 1] a ... a p 1 p p2 p p 2 + + + + + +  + − + + + +  + + − + + +  +   + ≥ =                m 1 p 1 m1 p p 1 1 p 1 a ... a a ... a a [p 1] a ... ap 12 2 . 2p p 1 + + + + +  + + + + −  + + + = =   +        Suy ra m 1 p 1 1 p 1m m m 1 p 1 a ... a a ... a a ... a [p 1][ ] 2p p 1 p 1 + + + + + + +  + + + − ≥   + +  mm m m m 1 2 p p 1 1 2 p p 1a a ... a a a a ... a a , p 1 p 1 + ++ + + + + + + +  ⇒ ≥   + +  dấu “=” xảy ra khi a1 = = ap+1. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi m = 1, hoặc a1 = a2 == an. 2.4. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức đã biết Trong mục này chúng tơi chỉ xin đề cập tới một số bài tốn vận dụng bất đẳng thức Cơsi và bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối.
VÍ DỤ 13. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b 2c 61 . 3ab ac + + > + + ☺ HƯỚNG DẪN. Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta cĩ a 2a 2ac 2ab 2 6 a b 2c [ 2c] [ b] 2 2 [ ab ac] [1]. 3 3 3 3 3 + + = + + + ≥ + = + a b 2c [a c] [c b] 2 ac 2 ab 2[ ab ac] [2].+ + = + + + ≥ + = + Từ 6 a b 2c 6[1],[2] a b 2c [1 ][ ab ac] 1 . 3 3ab ac + + ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥ + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 2a2c, b a b c 03 3 a b c  = = ⇔ = = =  = = [điều này khơng xảy ra]. Vậy ta luơn cĩ a b 2c 61 , 3ab ac + + > + + với mọi a, b, c dương.
VÍ DỤ 14. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a b c a b c8 8 8 2 2 2 .+ + ≥ + + Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 15 15 ☺ HƯỚNG DẪN. ðặt: a b cx 2 , y 2 , z 2= = = thì x, y, z > 0 và x.y.z = 1. Ta cần chứng minh 3 3 3x y z x y z.+ + ≥ + + Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho các trường hợp 3 số dương, ta cĩ 33 33x y z 3 xyz 3 x y z 3 0 [1]; x 1 1 3 x 3x x 3x 2 [2].+ + ≥ = ⇒ + + − ≥ + + ≥ = ⇒ ≥ − Tương tự ta cĩ 3 3y 3y 2 [3]; z 3z 2 [4].≥ − ≥ − Từ [1], [2], [3] và [4] ta thu được 3 3 3x y z 3[x y z] 6 [x y z] 2[x y z 3] x y z.+ + ≥ + + − = + + + + + − ≥ + + Vậy bất đẳng thức a b c a b c8 8 8 2 2 2+ + ≥ + + được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 0.
VÍ DỤ 15. 1] Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1 1 1 4. x y z + + = Chứng minh rằng 1 1 1 1. 2x y z x 2y z x y 2z + + ≤ + + + + + + 2] Chứng minh 1 1 1 1 1 12[ ] p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − , với a, b, c, và p lần lượt là độ dài các cạnh và nửa chu vi của một tam giác bất kì. 3] Chứng minh rằng x x x x x x x 12 15 20 9.60 , x . 5 4 3 12 15 20       + + ≥ ∀ ∈      + +      ℝ ☺ HƯỚNG DẪN. 1] Với mọi số thực a > 0, b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta được a b 2 ab 0,+ ≥ > 1 1 12 0, a b ab + ≥ > suy ra 1 1[a b][ ] 4 a b + + ≥ hay 1 1 4 [1], a b a b + ≥ + dấu “=” xảy ra khi a = b. Áp dụng bất đẳng thức [1], ta cĩ 1 1 4 , x y x y + ≥ + 1 1 4 , x z x z + ≥ + 1 1 4 , x z x y 2x y z + ≥ + + + + nên 2 1 1 16 . x y z 2x y z + + ≥ + + Tương tự ta chứng minh được 1 2 1 16 1 1 2 16 , . x y z x 2y z x y z x y 2z + + ≥ + + ≥ + + + + Từ đĩ và lưu ý thêm 1 1 1 4 x y z + + = ta được 1 1 1 1 1 1 1[ ] 1 [đpcm]. 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z + + ≤ + + = + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi 4x y z . 3 = = = 2] Vận dụng bất đẳng thức [1], lưu ý rằng a + b + c = 2p, ta cĩ Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 16 16 1 1 4 4 p a p b 2p a b c 1 1 4 4 1 1 1 1 1 12[ ] [đpcm]. p b p c 2p b c a p a p b p c a b c 1 1 4 4 p c p a 2p c a b  + ≥ =  − − − −   + ≥ = ⇒ + + ≥ + + − − − − − − −  + ≥ =  − − − −  Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 3] Áp dụng bất đẳng thức Cơsi với hai số ta cĩ x x x x x12 15 12 152 . 2.3 , 5 4 5 4         + ≥ =                x x x x x20 15 20 152 . 2.5 , 3 4 3 4         + ≥ =                x x x x x20 12 20 122 . 2.4 . 3 5 3 5         + ≥ =                Dẫn tới x x x x x x12 15 20 3 4 5 . 5 4 3       + + ≥ + +            Bây giờ áp dụng bất đẳng thức Cơsi với ba số thì 3x x x x3 4 5 3 60 0,+ + ≥ > x x x 3 x 1 1 1 3 0, 3 4 5 60 + + ≥ > nhân hai bất đẳng thức này, vế với vế, thu được x x x x x x 1 1 1[3 4 5 ][ ] 9 3 4 5 + + + + ≥ x x x x x x x 9.603 4 5 . 12 15 20 ⇒ + + ≥ + + Do đĩ x x x x x x x 12 15 20 609. 5 4 3 12 15 20       + + ≥      + +      [đpcm]. Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
VÍ DỤ 16. Cho đa thức P[x] bậc 2010 cĩ đúng 2010 nghiệm thực dương, hệ số bậc cao nhất là 1. Chứng minh rằng 20092010P '[0] 2010. P [0] 0.+ ≤ ☺ HƯỚNG DẪN. Giả sử x1, x2, , x2010 là 2010 nghiệm thực dương của đa thức P[x] đã cho, suy ra P[x] = [x – x1][x – x2][x – x2010] ⇒ P[0] = x1. x2 x2010. Ta cĩ 1 2 2010 1 2 2010 P '[0] 1 1 1 P '[0] 1 1 1 ... ... P[0] x x x P[0] x x x= + + + ⇒ − = + + +− − − . Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2010 số dương, đi đến 20101 2 2010 1 2 2010 P '[0] 1 1 1 2010 ... P[0] x x x x x ...x − = + + + ≥ hay 20092010 2010 2010 P'[0] 2010 2010P[0]P'[0] 2010 P [0]. P[0] P[0] P[0]− ≥ ⇒− ≥ = Vậy 20092010P '[0] 2010 P [0] 0.+ ≤ Dấu “=” xảy ra khi x1 = x2 = = x2010.
VÍ DỤ 17. Cho x0 là nghiệm của đa thức P[x] = a0 + a1x + + anxn bậc n [n∈N*, an ≠ 0]. ðặt Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 17 17 0 1 n 1 n n n a a aM max , ,..., . a a a −    =      Chứng minh rằng 0x 1 M.≤ + ☺ HƯỚNG DẪN. Xuất phát từ bất đẳng thức a b a b+ ≥ + và bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được bất đẳng thức 1 n 1 na ... a a ... a .+ + ≥ + +  Nếu |x0| ≤ 1 thì cĩ ngay 0x 1 M≤ + vì M ≥ 0.  Nếu |x0| > 1 thì n 1 n n 1n 1 0 1 0 0 0n 1 1 0 0 0 n n n n n n a x a x a aa a x ... . x ... . x a a a a a a − − − − = + + + ≤ + + + ≤ n n 1 0 0 0 0 | x | 1M[1 | x | ... | x |] M| x | 1 − − ≤ + + + = − n n n 0 0 0 0 | x | 1 | x | 1 | x | M| x | 1 − ⇒ − < < − 0 0x 1 M | x | 1 M.⇒ − < ⇒ < + Vậy ta luơn cĩ 0x 1 M≤ + . Nhận xét. Bất đẳng thức 0x 1 M≤ + cho ta một đánh giá về khoảng nghiệm của phương trình đa thức.
VÍ DỤ 18. Cho | a | | b | | c | 13.+ + ≥ Chứng minh rằng | a 1| | b | | c 2 | 10.− + + + ≥ ☺ HƯỚNG DẪN. Ta cĩ | a 1| |1| | b | | c 2 | | 2 | | a 1 1| | b | | c 2 2 | | a | | b | | c | 13.− + + + + + − ≥ − + + + + − = + + ≥ Vậy | a 1| | b | | c 2 | 10.− + + + ≥ Việc chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào xin dành cho bạn đọc. Các phương pháp chúng tơi giới thiệu tiếp sau đây liên quan tới nhiều khía cạnh sâu sắc của tốn phổ thơng, vì thế địi hỏi học sinh phải cĩ nền tảng kiến thức khá vững và rộng, phải cĩ những nhận xét tinh tế để nhìn thấu được các mối quan hệ cĩ trong bài tốn. 2.5. Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác Học sinh phải ghi nhớ các cơng thức lượng giác, tính chất của các hàm số lượng giác, đặc biệt là các bất đẳng thức lượng giác. Việc chuyển từ bài tốn đại số sang bài tốn lượng giác, trong nhiều trường hợp, khơng những giúp ta giải quyết vấn đề