Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y=∣∣ 3 x 5 − 15 x 3 − 60 x+m∣∣ có 5 điểm cực trị

Ta có: $y=\left| f\left[ x \right] \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left[ x \right].f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left[ x \right].f\left[ x \right]=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[ x \right]$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ [chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn].

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left[ x \right]$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left[ x \right]=f\left[ x \right]+2\Rightarrow g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]$

Phương trình $g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left[ x \right]=0\Leftrightarrow f\left[ x \right]=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right]+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left[ x \right]$ thì $y'=\frac{f'\left[ x \right]f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$

Xét $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x-3 \right]\left[ x+2 \right]$

Ta có: $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]\Rightarrow f'\left[ x \right]=3{{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]+{{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ 2x-1 \right]$

$={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left[ x-1 \right]\left[ 2x-1 \right] \right]={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 5{{x}^{2}}-6x-17 \right]=0\Rightarrow f'\left[ x \right]=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ x+2 \right]-x\left[ x+2 \right]=0\Leftrightarrow x\left[ {{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+2 \right]=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left[ 2{{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+1 \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m[*]$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình [*] có 4 nghiệm phân biệt khi $0-20$ để hàm số$y=f\left[ \left| x \right|+m \right]$ có 5 điểm cực trị

A. 15.

B. 19.

C. 16.

D. 18.

Lời giải

Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-3  \\   \left| x \right|+m=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-3-m  \\   \left| x \right|=-1-m  \\\end{matrix} \right.$[*]

Hàm số có 5 điểm cực trị khi [*] có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -3-m>0  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=5\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-2  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+m=2\text{  } \\  {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-2-m  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|=2-m\text{  } \\  {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.[*]$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi [*] có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2-m>0  \\   \begin{array}  {} 2-m>0\text{  } \\  {} 5-m>0 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m0  \\   S=2\left[ m-1 \right]>0\text{         }  \\   P=2m>0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Lời giải

Để hàm số $f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left[ x \right]$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left[ x \right]=6{{x}^{2}}-6\left[ m+1 \right]x+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ m+1 \right]x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }[*]$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi [*] có 2 nghiệm trái dấu hoặc [*] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: [*] có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9