1. Cung tròn là gì?
Cung là đoạn đóng của một đường cung khả vi trong một đa tạp [được ký hiệu là: ᴖ]
Cung tròn là một phần của đường tròn hay nó là một phần của chu vi[ biên] của hình tròn. Cung tròn tức là quỹ tích các điểm thuộc đường tròn nằm giữa 2 điểm.
2. Công thức tính độ dài cung tròn
Công thức tính độ dài cung tròn bằng tích của số Pi, bán kính và số độ cung tròn chia 180:
Trong đó: ᴨ là hằng số Archimedes [là hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó] hằng số này có giá trị xấp xỉ = 3,14
R chính là bán kính hình tròn
n số đo độ của cung tròn cần tính
L chính là độ dài cung tròn
3. Cách tính độ dài cung tròn
Khi thực hành tính độ dài cung tròn là vẽ 2 đoạn thẳng từ 2 đầu mút giới hạn của cung tròn đến tâm đường tròn, rồi đo góc tạo bởi 2 đoạn thẳng đó rồi từ từ nhân chéo để tính ra độ dài L
Số đo góc[tính bằng độ] /360 = L/ chu vi
Kiến thức mở rộng về hình tròn
4. Đường tròn là gì?
Tronghình học phẳng,đường tròn[hoặcvòng tròn] là tập hợp của tất cả nhữngđiểmtrên mộtmặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng mộtkhoảng cáchnào đó. Điểm cho trước gọi làtâmcủa đường tròn, còn khoảng cho trước gọi làbán kínhcủa đường tròn.
Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là [O;R]
Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi “đường tròn” ranh giới của hình, “hình tròn” bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.
Đường tròn cũng được định nghĩa là mộthình elípđặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau vàtâm saibằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương.
5. Một số thuật ngữ về hình tròn
- Cung: một đoạn đóng bất kì trên đường tròn.
-Dây cung[gọi tắt là dây]: đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.
-Tâm: điểm cách đều tất cả các điểm trên đường tròn.
-Chu vi hình tròn: độ dài đường biên giới hạn hình tròn.
-Bán kính: là đoạn thẳng [hoặcđộ dàiđoạn thẳng] nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.
-Đường kính: đoạn thẳng [hoặcđộ dàiđoạn thẳng] có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.
-Cát tuyến: đường thẳng trên mặt phẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.
-Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.
-Hình tròn: phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn.
-Hình khuyên[hình nhẫn hoặc hình vành khăn]: vùng bị giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm và có bán kính khác nhau.
-Hình bán nguyệt: cung căng đường kính. Thông thường, thuật ngữ này còn bao gồm đường kính, cung căng đường kính và phần bên trong, tức nửa hình tròn.
-Đường tròn ngoại tiếpđa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Khi đó đa giác nội tiếp đường tròn.
-Đường tròn nội tiếpđa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Khi đó đa giác ngoại tiếp đường tròn.
6. Tính chất chung của hình tròn
-Đường tròn là hình có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước.
-Đường tròn có tính đối xứng cao: tâm của đường tròn là tâm đối xứng và các đường kính là các trục đối xứng
-Mọi đường tròn đềuđồng dạng.
-Chu vi đường tròntỉ lệ thuậnvới bán kính theohằng số2π.
-Diện tích hình tròn tỉ lệ thuận với bình phương bán kính theo hằng số π.
-Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính là 1 gọilàđường tròn đơn vị.
-Đườngtròn lớncủahình cầu đơn vịlàđường trònRiemann.
-Tập hợp tất cả các điểm nhìn đoạn thẳng dưới 1 góc vuông là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó
Dây cung
-Dây cung cách đều tâm khi và chỉ khi chúng dài bằng nhau.
-Trong cùng một đường tròn, dây càng dài thì càng gần tâm.
-Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó
-Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây.
-Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn
-Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chiamột dây thành hai đoạnavàb,chia dây cung kia thànhcvàd, thìab=cd[gọi làphương tíchcủa điểm đó].
-Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chiamột dây thành hai đoạnavàb,chia dây cung kia thànhmvàn, thìa2+b2+m2+n2=d2[vớidlà đường kính].
-Tổng bình phương chiều dài 2 dây cung vuông góc tại một điểm cố định không đổi và bằng 8r2– 4p2[vớirlà bán kính đường tròn,plà khoảng cách từ tâm đường tròn đến giao điểm đó].
-Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách điểm đó đến 2 đầu mút của dây cung.
-2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau căng 2 dây bằng nhau thì 2 cung đó bằng nhau và ngược lại
-Với 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau, cung nào căng dây lớn hơn[hoặc bé hơn] thì cung đó lớn hơn[hoặc bé hơn] và ngược lại.
Dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
1. Tính độ dài đường tròn, cung tròn và các đại lượng liên quan.
a] Phương pháp giải: Dựa vào hai công thức tính độ dài đường tròn cung tròn là:
- Độ dài đường tròn:C =2πR và C=πd
- Độ dài cung tròn:
b] Ví dụ:
- Cho biết đường kính đường tròn bằng 5cm, hãy tính chu vi đường tròn
- Cho đường tròn bán kính 4cm, hãy tính độ dài cung 120 độ.
=> Lời giải:
- Áp dụng công thức tính độ dài đường trònC=πd => C = 5π[cm]
- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn
2. Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung.
a] Phương pháp:
- Tính độ dài cung theo bán kính R và số đo của cung
- Kết quả sau khi thu được thì ta tiến hành so sánh
b] Ví dụ: AB là đường kính của nửa đường tròn. Trênđoạn thẳng AB lấy hai điểm M và N, trong đó M nằm giữa A và N. Vẽ tiếp ba nửa đường tròn có đường kính là AM, MN, NB. Hãy chứng minh độ dài của: AM + MN + NB = 1/2 AB
=> Lời giải:
Gọi lần lượt C1, C2, C3, C là độ dài của nửa đường tròn đường kính AM, MN, NB, AB.
Điều cần chứng minh:AM + MN + NB = 1/2 AB
Kết luận: C1 + C2 + C3 = C => Điều phải chứng minh.
Bài tập luyện tập độ dài đường tròn, cung tròn
Bài tập1:Đường tròn tâm [O], bán kính R có độ dài cung AB bằngᴨR/4. Hãy tính số đo cung AB.
=> Hướng dẫn:
- Gọi số đo cung nhỏ AB là n
- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn
- Thay dữ liệu đề bài đã cho, ta được:
Bài tập 2:Cho đường tròn tâm [O], bán kính R và dây cung AB. Cho hai trường hợp sau:
a] Nếu số đo cung AB bằng 90 độ. Hãy tính chu vi hình viên phấn giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB.
b] Nếu độ dài cung AB bằng5ᴨR/6 . Hỏi số đo của góc AOB bằng bao nhiêu?
=> Hướng dẫn:
Bài tập 3:Cho đường tròn tâm [O], bán kính R. Hãy:
a] Tính góc AOB khi biết độ dài cung AB bằng ᴨR/3
b] Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho tam giác AOC cân tại đỉnh O. Tính độ dài cung AC và cung BC lớn.
=> Hướng dẫn:
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Độ dài đường tròn, cung tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Độ dài đường tròn, cung tròn: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Độ dài đường tròn 1 Độ dài đường tròn [hay Chu vi hình tròn] được kí hiệu là C. 2 Độ dài C của một đường tròn bán kình R được tính theo công thức C = 2πR. 3 Nếu gọi d là đường kính của đường tròn [d = 2R] thì C = πd. d R A B O Trong đó π đọc là pi và π ≈ 3,14 [π = 3,14159265…]. 2. Độ dài cung tròn 1 Đường tròn bán kính R [ứng với cung 360◦] có độ dài là 2πR. 2 Mỗi cung 1 ◦ bán kính R có độ dài là 2πR 360 = πR 180. 3 Một cung n◦, bán kính R có độ dài l = πRn 180. B CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1. 1 Tính độ dài cung 60◦ của một đường tròn có bán kính 2 dm. 2 Tính chu vi của một vành xe đạp có đường kính 650 mm. LỜI GIẢI. 1 Độ dài cung 60◦ của đường tròn có bán kính 2 dm = 20 cm là l = πRn 180 = π · 20 · 60 180 = 20π 3 ≈ 20,9 [cm]. 2 Chu vi của vành xe đạp đường kính 650 mm là C = πd = 650π ≈ 204,2 [cm]. VÍ DỤ 2. Tính độ dài của đường tròn, biết 1 Đường tròn có bán kính bằng 6 cm. 2 Đường tròn có đường kính 8 cm. 3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng 2 √3 cm. LỜI GIẢI. 1 Độ dài đường tròn bán kính 6 cm là C = 2πR = 2 · π · 6 ≈ 37,7 [cm]. 2 Độ dài đường tròn đường kính 8 cm là C = πd = 8π ≈ 25,1 [cm]. 3 Giả sử có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Qua A kẻ đường cao AH. Khi đó ta có R = OA = 2 3 AH = 2 3 · 2 √3 · √3 2 = 2 [cm]. Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là C = 2πR = 2 · π · 2 = 4π ≈ 12,57 [cm]. B O C A H VÍ DỤ 3. Cho [O; OM]. Vẽ đường tròn [O0] đường kính OM. Một bán kính OA của [O] cắt [O0] ở B. Chứng minh hai cung MA và MB có độ dài bằng nhau. LỜI GIẢI. Trên [O0] đặt MOA = α thì BO 0M = 2α [góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BM]. Suy ra sđAM¯ = α, sđMB¯ = 2α. Do đó lMA¯ = π · OM · α 180◦ [1] lMB¯ = π · OM · 2α 180◦ · 2 = π · OM · α 180◦. [2] Từ [1] và [2] suy ra lMA¯ = lMB¯. Vậy hai cung MA¯ và MB¯ có độ dài bằng nhau. α 2α A M B O O0 VÍ DỤ 4. Cho đường tròn [O] đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 1 cm, CD = 2√3 cm. Tính 1 Độ dài đường tròn. 2 Độ dài của CAD. LỜI GIẢI. 1 Ta có AB ⊥ CD tại M [giả thiết] nên MC = MD = CD : 2 = √3 [cm] [tính chất đường kính và dây cung]. Lại có ACB = 90◦ [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]. Do đó, 4ACB vuông tại C có đường cao CM [CD ⊥ AB tại M]. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao trong tam giác vuông ACB ta có A M O B C D MC2 = MA · MB ⇒ MB = MC2 MA = √3 2 1 = 3 ⇒ R = 1 2 AB = 1 2 [AM + MB] = 2 [cm]. Độ dài đường tròn: C = 2πR = 2π · 2 = 4π ≈ 12,57 [cm]. b] Ta có AM = 1 cm, OA = 2 cm ⇒ MA = MO = 1 cm. Xét tứ giác OCAD có MC = MD [chứng minh trên] MA = MO [chứng minh trên] CD ⊥ OA [giả thiết] ⇒ OCAD là hình thoi. ⇒ CA = CO = OA [cùng bằng 2 cm] nên 4OAC đều ⇒ AOC = 60◦ ⇒ COD = 120◦. Độ dài của CAD lCAD = πRn 180 = π · 2 · 120 180 = 4π 3 ≈ 4,19 [cm]. Nhận xét. 1. Trong câu a], để tính được độ dài đường tròn chúng ta cần đi tìm bán kính dựa trên việc tính độ dài của đường kính AB. Tuy nhiên, ta cũng có thể tính được R bằng cách: Trong tam giác vuông OMC, ta có OC2 = OM2 + MC2 = [OA − AM] 2 + MC2 ⇒ R2 = [R − 1]2 + √3 2 ⇔ R = 2 [cm]. 2. Trong câu b], với yêu cầu Tính độ dài của cung CAD, chúng ta cần thực hiện theo 2 bước Bước 1: Tính số đo của cung CAD, tức là tính COA. Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung. VÍ DỤ 5. Cho đường tròn [O], dây AB = 9 cm có khoảng cách đến tâm bằng một nửa bán kính của đường tròn. 1 Tính chu vi đường tròn. 2 Tính độ dài cung nhỏ AB. LỜI GIẢI. 1 Kẻ OH ⊥ AB. Khi đó HA = HB [tính chất đường kính và dây cung]. ⇒ HB = 1 2 AB = 1 2 · 9 = 4,5 [cm]. Trong tam giác vuông OHB, ta có sin B = OH OB = 1 2 ⇒ B = 30◦. cos B = HB OB ⇒ OB = HB cos B = 4,5 cos 30◦ = 3√3 [cm]. Chu vi đường tròn: C = 2πR = 2π · 3 √3 ≈ 32,65 [cm]. 2 Ta có B = 30◦ ; ⇒ BOH = 90◦ − 30◦ = 60◦ ⇒ AOB = 2BOH = 2 · 60◦ = 120◦ ⇒ sđAB˜ = 120◦. A B H O Độ dài cung nhỏ AB: lAB˜ = πRn 180 = π3 √3 · 120 180 ≈ 10,88 [cm]. Nhận xét. 1. Để tính chu vi đường tròn hoặc độ dài đường tròn, bao giờ ta cũng phải tính bán kính của nó. Bán kính này là cạnh huyền OB của tam giác vuông OHB. Tam giác đó có cạnh góc vuông OH bằng một nửa cạnh huyền. Hãy nhớ lại nếu một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng một nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó bằng 30◦. Có thể chứng minh trực tiếp điều này vào bài toán: sin B = OH OB = 1 2 ⇒ B = 30◦. 2. Trong lời giải câu b], ta tính trực tiếp độ dài cung AB, đó là 1 3 chu vi của đường tròn [vì AOB = 120◦]. Nếu áp dụng công thức tính độ dài cung 120◦, ta có π · R · 120 180 = π · 3 √3 · 120 180 = 2π √3 cm. VÍ DỤ 6. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C [hình vẽ bên]. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC. A B C LỜI GIẢI. Gọi C1, C2, C3 lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, AB và BC. Khi đó C1 = 1 2 · π · AC = π 2 AC; C2 = 1 2 · π · AB = π 2 AB; C3 = 1 2 · π · BC = π 2 BC. Xét C2 + C3 = π 2 AB + π 2 BC = π 2 [AB + BC] = π 2 AC = C1. Vậy C1 = C2 + C3 [điều phải chứng minh]. Nhận xét. 1. Người ta có thể phát biểu bài toán trên theo chiều ngược lại như sau: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh rằng độ dài đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài đường tròn đường kính AB và BC. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa A và C. 2. Từ đó, ta có kết quả tổng quát: C[AC] ≤ C[AB] + C[BC]. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Một tam giác đều và một hình vuông cùng có chu vi là 72cm. Hỏi đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu? LỜI GIẢI. Gọi a, b lần lượt là độ dài cạnh của tam giác đều và hình vuông. Suy ra 3a = 72 ⇔ a = 24[cm]; 4b = 72 ⇔ b = 18[cm]. Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều và hình vuông. Suy ra R1 = a 2 sin 180◦ 3 = 24 2 sin 60◦ = 8√3 [cm]; R2 = b 2 sin 180◦ 4 = 18 2 sin 45◦ = 9√2 [cm]. Khi đó C1 = 2πR1 = 16π √3 ≈ 87,06 [cm]; C2 = 2πR2 = 18π √2 ≈ 79,97 [cm]. Vậy C1 > C2 và C1 − C2 ≈ 7,08. BÀI 2. Cho đoạn thẳng AD = 12cm. Các điểm B, C cùng thuộc đoạn thẳng AD sao cho AB = CD. Vẽ các đường tròn có đường kính theo thứ tự là AD và BC. Biết chu vi đường tròn lớn bằng ba lần chu vi đường tròn nhỏ. Tính chu vi của đường tròn nhỏ.
LỜI GIẢI. Ta có đường tròn lớn là đường tròn đường kính AD nên bán kính R = AD : 2 = 6 [cm]. Do chu vi đường tròn lớn bằng ba lần chu vi đường tròn nhỏ nên bán kính đường tròn lớn cũng gấp ba lần bán kính đường tròn nhỏ. Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính r = R : 3 = 6 : 3 = 2 [cm]. Vậy chu vi của đường tròn nhỏ là C = 2πr = 2π · 2 = 4π.