Công thức tính nhanh khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left[ {SBD} \right]$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAD $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD.$

Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song.

Đáp án chi tiết:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $b$ đến mặt phẳng $[P]$ chứa $a$ và song song với $b$ chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.

Đáp án cần chọn là: c

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng [lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng] để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Đáp án chi tiết:

Ta có $E \in SC$, $EC \cap \left[ {SBD} \right] = S \Rightarrow \dfrac{{d\left[ {E;\left[ {SBD} \right]} \right]}}{{d\left[ {C;\left[ {SBD} \right]} \right]}} = \dfrac{{d\left[ {E;\left[ {SBD} \right]} \right]}}{{d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right]}} = \dfrac{{ES}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}$

Từ A kẻ $ AK \bot BD\left[ {K \in BD} \right]$, kẻ $AH \bot SK\,\,\left[ {H \in SK} \right]\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]$.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AK\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left[ {SAK} \right] \Rightarrow BD \bot AH\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]

Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow AH \bot \left[ {SBD} \right].\]

$ \Rightarrow AH = d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right] = 2.d\left[ {E;\left[ {SBD} \right]} \right] = \dfrac{{2a}}{3}.$

Mà $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} A{H^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$, có đường cao $AK$.

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{AD{}^2}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$

Đáp án cần chọn là: c

Phương pháp giải

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Đáp án chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ nên suy ra $SI \bot AD \Rightarrow SI \bot \left[ {ABCD} \right]$ và \[SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Kẻ \[Ax\parallel BD\]. Do đó \[d\left[ {BD;SA} \right] = d\left[ {BD;\left[ {SAx} \right]} \right] = d\left[ {D;\left[ {SAx} \right]} \right] = 2d\left[ {I;\left[ {SAx} \right]} \right]\]

[vì \[DI \cap \left[ {SAx} \right] = A\] và \[IA = \dfrac{1}{2}DA\]]

Kẻ \[IE \bot Ax\], kẻ \[IK \bot SE\,\,\left[ 1 \right]\] ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SI\\Ax \bot IE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left[ {SIE} \right] \Rightarrow Ax \bot IK\,\,\left[ 2 \right]\]

Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow IK \bot \left[ {SAx} \right]\]. Khi đó \[d\left[ {I;\left[ {SAx} \right]} \right] = IK\]

Gọi $F$ là hình chiếu của \[I\] trên \[BD\], ta dễ dàng chứng minh được \[\Delta IAE = \Delta IDF\left[ {ch gn} \right] \] \[\Rightarrow IE = IF = \dfrac{{AO}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\]

Tam giác vuông \[SIE\], có \[IK = \dfrac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\]

Vậy \[d\left[ {BD;SA} \right] = 2IK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\]

Đáp án cần chọn là: c