Nếu bạn thấy thông báo này, điều đó có nghĩa là chúng tôi đang gặp sự cố khi tải các tài nguyên bên ngoài trên trang web của mình
Nếu bạn đang sử dụng bộ lọc web, vui lòng đảm bảo rằng các miền *. kastatic. tổ chức và *. kasandbox. org được bỏ chặn
Nếu $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc thì phạm vi của nó $R_X$ là một tập hợp đếm được, vì vậy, chúng ta có thể liệt kê các phần tử trong $R_X$. Nói cách khác, chúng ta có thể viết $$R_X=\{x_1,x_2,x_3,. \}. $$ Lưu ý rằng ở đây $x_1, x_2,x_3,. $ là các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên $X$. Mặc dù các biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng chữ in hoa, nhưng để biểu thị các số trong phạm vi, chúng ta thường sử dụng các chữ cái viết thường như $x$, $x_1$, $y$, $z$, v.v. Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$, chúng ta muốn biết xác suất của $X=x_k$. Lưu ý rằng ở đây, biến cố $A=\{X=x_k\}$ được định nghĩa là tập hợp các kết quả $s$ trong không gian mẫu $S$ mà giá trị tương ứng của $X$ bằng $x_k$. Đặc biệt, $$A=\{s \in S. X[s]=x_k\}. $$ Xác suất của các sự kiện $\{X=x_k\}$ được thể hiện chính thức bằng hàm khối lượng xác suất [pmf] của $X$
Định nghĩa
Cho $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc có phạm vi $R_X=\{x_1,x_2,x_3,. \}$ [hữu hạn hoặc vô hạn đếm được]. Hàm $$P X[x k]=P[X=x_ k], \textrm{ cho } k=1,2,3,. ,$$ được gọi là hàm khối xác suất [PMF] của $X$.
Do đó, PMF là thước đo xác suất cung cấp cho chúng ta xác suất của các giá trị có thể có đối với một biến ngẫu nhiên. Mặc dù ký hiệu trên là ký hiệu chuẩn cho PMF của $X$, nhưng thoạt nhìn nó có thể gây nhầm lẫn. Chỉ số dưới $X$ ở đây chỉ ra rằng đây là PMF của biến ngẫu nhiên $X$. Vì vậy, ví dụ, $P_X[1]$ cho biết xác suất mà $X=1$. Để hiểu rõ hơn về tất cả các khái niệm trên, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ
Thí dụ
Tôi tung đồng xu công bằng hai lần và đặt $X$ là số mặt ngửa mà tôi quan sát được. Tìm phạm vi của $X$, $R X$, cũng như hàm khối lượng xác suất của nó $P X$
- Dung dịch
- Ở đây, không gian mẫu của chúng ta được cho bởi $$S=\{HH,HT,TH,TT\}. $$ Số mặt ngửa sẽ là $0$, $1$ hoặc $2$. Do đó $$R_X=\{0,1,2\}. $$ Vì đây là một tập hợp hữu hạn [và do đó có thể đếm được] nên biến ngẫu nhiên $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Tiếp theo, chúng ta cần tìm PMF của $X$. PMF được định nghĩa là $$P_X[k]=P[X=k] \textrm{ cho } k=0,1,2. $$ Ta có $$P_X[0]=P[X=0]=P[TT]=\frac{1}{4},$$ $$P_X[1] =P[X=1]=P[ . $$
Mặc dù PMF thường được xác định cho các giá trị trong phạm vi, nhưng đôi khi sẽ thuận tiện khi mở rộng PMF của $X$ cho tất cả các số thực. Nếu $x \notin R_X$, chúng ta chỉ cần viết $P X[x]=P[X=x]=0$. Do đó, nói chung chúng ta có thể viết \begin{equation} \nonumber P X[x] = \left\{ \begin{array}{l l} P[X=x] & \quad \text{if $x$ nằm trong } . \end{phương trình}
Để hình dung rõ hơn PMF, chúng ta có thể vẽ nó. Hình 3. 1 hiển thị PMF của biến ngẫu nhiên $X$ ở trên. Như chúng ta thấy, biến ngẫu nhiên có thể nhận ba giá trị có thể $0,1$ và $2$. Hình vẽ cũng chỉ ra rõ ràng rằng biến cố $X=1$ có khả năng xảy ra cao gấp đôi so với hai giá trị khả dĩ còn lại. Hình có thể được giải thích theo cách sau. Nếu chúng ta lặp lại thí nghiệm ngẫu nhiên [tung đồng xu hai lần] với số lần lớn, thì khoảng một nửa số lần chúng ta quan sát thấy $X=1$, khoảng một phần tư số lần chúng ta quan sát thấy $X=0$ và khoảng một phần tư số lần chúng ta quan sát thấy $X=1$.
Quả sung. 3. 1 - PMF cho Biến ngẫu nhiên $X$ trong Ví dụ 3. 3Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, PMF còn được gọi là phân phối xác suất. Vì vậy, khi được yêu cầu tìm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$, chúng ta có thể làm điều này bằng cách tìm PMF của nó. Hàm phân phối cụm từ thường được dành riêng cho hàm phân phối tích lũy CDF [như được định nghĩa sau trong sách]. Mặt khác, từ phân phối trong cuốn sách này được sử dụng theo nghĩa rộng hơn và có thể đề cập đến PMF, hàm mật độ xác suất [PDF] hoặc CDF
Thí dụ
Tôi có một đồng xu không công bằng $P[H]=p$, trong đó $0 < p < 1$. Tôi tung đồng xu liên tục cho đến khi lần đầu tiên tôi quan sát thấy mặt ngửa. Gọi $Y$ là tổng số lần tung đồng xu. Tìm phân phối của $Y$
- Dung dịch
- Đầu tiên, chúng tôi lưu ý rằng biến ngẫu nhiên $Y$ có thể nhận bất kỳ số nguyên dương nào, vì vậy chúng tôi có $R_Y=\mathbb{N}=\{1,2,3,. \}$. Để tìm phân phối của $Y$, chúng ta cần tìm $P_Y[k]=P[Y=k]$ cho $k=1,2,3,. $. Ta có $$P_Y[1] =P[Y=1]=P[H]=p,$$ $$P_Y[2] =P[Y=2]=P[TH]=[1-p]p . \hspace{50pt}. \hspace{50pt}. \hspace{50pt}. $$ $$. \hspace{50pt}. \hspace{50pt}. \hspace{50pt}. $$ $$. \hspace{50pt}. \hspace{50pt}. \hspace{50pt}. $$ $$P_Y[k] =P[Y=k]=P[TT. TH]=[1-p]^{k-1} p. $$ Do đó, chúng ta có thể viết PMF của $Y$ theo cách sau \begin{equation} \nonumber P_Y[y] = \left\{ \begin{array}{l l} [1-p]^{y- . \\ 0 & \quad \text{nếu không} \end{array} \right. \end{phương trình}
Xét một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ với Range$[X]=R_X$. Lưu ý rằng theo định nghĩa, PMF là thước đo xác suất, do đó, nó đáp ứng tất cả các thuộc tính của thước đo xác suất. Đặc biệt, chúng tôi có