Mạch điện RLC [hoặc mạch LCR, mạch CRL hay mạch RCL] là một mạch điện gồm một điện trở, một cuộn cảm và một tụ điện, mắc nối tiếp hoặc song song. Các chữ cái RLC là những ký hiệu điện thông thường tương ứng với trở kháng, điện cảm và điện dung. Mạch tạo thành một dao động điều hòa cho dòng điện và cộng hưởng giống như mạch LC. Điểm khác biệt chính là có điện trở sẽ làm tắt dần dao động nếu như mạch không có nguồn nuôi. Một mạch bất kỳ luôn luôn tồn tại trở kháng ngay cả khi mạch không có điện trở. Mạch LC lý tưởng không trở kháng là một mô hình trừu tượng chỉ sử dụng trong lý thuyết.
Hình minh họa hoạt động của một mạch LC, là một mạch RLC không có trở kháng. Dòng chảy qua lại giữa các bản tụ và xuyên qua cuộn cảm. Năng lượng dao động qua lại giữa điện trường của tụ điện [E] và từ trường của cuộn cảm [B] hoạt động tương tự như trong mạch RLC, ngoại trừ nếu có R thì dao động này sẽ tắt dần theo thời gian.
Mạch RLC có nhiều ứng dụng. Chúng được sử dụng trong nhiều loại mạch dao động khác nhau. Một ứng dụng quan trọng là mạch điều chỉnh, chẳng hạn như trong các bộ thu phát radio hoặc truyền hình [rà đài], được sử dụng để lựa chọn một dải tần hẹp của sóng vô tuyến từ môi trường xung quanh. Mạch RLC có thể được sử dụng như một bộ lọc thông dải [band-pass], bộ lọc chặn dải [band-stop], bộ lọc thông thấp hay bộ lọc thông cao. Ứng dụng trong mạch điều chỉnh là một ví dụ của bộ lộc thông dải. Bộ lọc RLC được mô tả như là một mạch bậc hai, có nghĩa là điện áp hoặc cường độ dòng điện tại thời điểm bất kỳ trong mạch có thể được biểu diễn bằng một phương trình vi phân bậc hai khi phân tích mạch.
Mục lục
- 1 Mạch RLC mắc nối tiếp
- 1.1 Đáp ứng quá độ
- 1.1.1 Đáp ứng tắt dần
- 1.1.2 Đáp ứng dưới tắt dần
- 1.1.3 Đáp ứng tắt dần tới hạn
- 1.2 Miền Laplace
- 1.2.1 Tổng dẫn Laplace
- 1.2.2 Điểm cực và điểm không
- 1.2.3 Công thức tổng quát
- 1.2.4 Trạng thái ổn định hình sin
- 2 Mạch RLC song song
- 2.1 Miền tần số
- 3 Các dạng khác
- 4 Lịch sử
- 5 Xem thêm
- 6 Tham khảo
- 7 Chú thích
Mạch RLC mắc nối tiếpSửa đổi
Figure 1: RLC series circuit V điện áp nguồn I cường độ dòng điện trong mạch R trở kháng của điện trở L độ tự cảm của cuộn cảm C điện dung của tụ điện
Trong mạch này các thành phần điện trở, cuộn cảm và tụ điện được mắc nối tiếp với nhau và nối vào một nguồn điện áp. Phương trình biến thiên có thể được tính bằng định luật Kirchhoff về điện thế: v R + v L + v C = v [ t ] {\displaystyle v_{R}+v_{L}+v_{C}=v[t]\,}
với v R , v L , v C {\displaystyle \textstyle v_{R},v_{L},v_{C}}
là điện áp tương ứng giữa 2 đầu của R, L và C và v [ t ] {\displaystyle \textstyle v[t]}
là điện áp nguồn biến thiên theo thời gian. Biến đổi các đại lượng trong phương trình, R i [ t ] + L d i d t + 1 C τ = t i [ τ ] d τ = v [ t ] {\displaystyle Ri[t]+L{{di} \over {dt}}+{1 \over C}\int _{-\infty }^{\tau =t}i[\tau ]\,d\tau =v[t]}
Trong trường hợp điện áp nguồn không thay đổi, lấy vi phân và chia 2 vế cho L, sẽ cho ra một phương trình vi phân bậc 2: d 2 i [ t ] d t 2 + R L d i [ t ] d t + 1 L C i [ t ] = 0 {\displaystyle {{d^{2}i[t]} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{di[t]} \over {dt}}+{1 \over {LC}}i[t]=0}
Phương trình này thường được biểu diễn dưới dạng: d 2 i [ t ] d t 2 + 2 α d i [ t ] d t + ω 0 2 i [ t ] = 0 {\displaystyle {{d^{2}i[t]} \over {dt^{2}}}+2\alpha {{di[t]} \over {dt}}+{\omega _{0}}^{2}i[t]=0}
α {\displaystyle \alpha \,}
và ω 0 {\displaystyle \omega _{0}\,}
có đơn vị như tần số góc. α {\displaystyle \alpha \,}
gọi là tần số neper là đại lượng đặc trưng cho tốc độ tắt của dao động trong mạch nếu nguồn cấp không còn. Gọi là tần số neper vì nó có đơn vị là neper/giây [Np/s], neper là đơn vị của suy giảm. ω 0 {\displaystyle \omega _{0}\,}
là tần số góc cộng hưởng.[1]
Đối với mạch RLC mắc nối tiếp, thì 2 đại lượng này được tính bởi công thức:[2] α = R 2 L {\displaystyle \alpha ={R \over 2L}}
và ω 0 = 1 L C {\displaystyle \omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}}
Một thông số hữu ích là hệ số suy giảm [hệ số tắt], ζ {\displaystyle \zeta }
được định nghĩa là tỷ số của 2 đại lượng này: ζ = α ω 0 {\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}}
Đối với mạch RLC mắc nối tiếp, thì hệ số suy giảm như sau: ζ = R 2 C L {\displaystyle \zeta ={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}}
Giá trị của hệ số suy giảm xác định kiểu tắt dao động của mạch.[3] Một vài tác giả không dùng ζ {\displaystyle \zeta \,}
mà gọi hệ số suy giảm là α {\displaystyle \alpha \,}
.[4]
Đáp ứng quá độSửa đổi
Giản đồ xung biểu diễn đáp ứng dưới tắt dần và xung tắt dần của một mạch RLC nối tiếp. Đáp ứng tắt dần tới hạn là đường cong đỏ đậm. Với L=1, C=1 và ω 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle \omega _{0}=1\,}
Phương trình vi phân của mạch tùy thuộc vào ba loại giá trị của ζ {\displaystyle \scriptstyle \zeta \,}
, tương ứng với đáp ứng dưới tắt dần [ ζ < 1 {\displaystyle \scriptstyle \zeta 1 {\displaystyle \scriptstyle \zeta >1\,}
; overdamped] và đáp ứng tắt dần tới hạn [ ζ = 1 {\displaystyle \scriptstyle \zeta =1\,}
; critically damped]. Phương trình vi phân này có phương trình đặc trưng như sau:[5] s 2 + 2 α s + ω 0 2 = 0 {\displaystyle s^{2}+2\alpha s+{\omega _{0}}^{2}=0}
Nghiệm s của phương trình:[5] s 1 = α + α 2 ω 0 2 {\displaystyle s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}}
s 2 = α α 2 ω 0 2 {\displaystyle s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-{\omega _{0}}^{2}}}}
Ứng với mỗi giá trị của s ta có đáp ứng tự nhiên A 1 e s 1 t {\displaystyle A_{1}e^{s_{1}t}}
và A 2 e s 2 t {\displaystyle A_{2}e^{s_{2}t}}
, cho nên đáp ứng quá độ của dòng điện là: i [ t ] = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t {\displaystyle i[t]=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}}
Đáp ứng tắt dầnSửa đổi
Đáp ứng tắt dần [ ζ > 1 {\displaystyle \scriptstyle \zeta >1\,}
],[6] i [ t ] = A 1 e ω 0 [ ζ + ζ 2 1 ] t + A 2 e ω 0 [ ζ ζ 2 1 ] t {\displaystyle i[t]=A_{1}e^{-\omega _{0}\left[\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right]t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left[\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right]t}}
Đáp ứng tắt dần là một sự giảm suất của dòng quá độ không dao động.[7]
Đáp ứng dưới tắt dầnSửa đổi
Đáp ứng dưới tắt dần [ ζ < 1 {\displaystyle \scriptstyle \zeta α ] {\displaystyle [\omega _{0}>\alpha ]}
I [ t ] = 1 L 0 t E [ t τ ] e α τ [ 1 α τ ] d τ {\displaystyle I[t]={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}E[t-\tau ]e^{-\alpha \tau }[1-\alpha \tau ]\,d\tau }
trong trường hợp đáp ứng tắt dần tới hạn [ ω 0 = α ] {\displaystyle [\omega _{0}=\alpha ]}
I [ t ] = 1 L 0 t E [ t τ ] e α τ [ cosh ω r τ α ω r sinh ω r τ ] d τ {\displaystyle I[t]={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}E[t-\tau ]e^{-\alpha \tau }\left[\cosh \omega _{r}\tau -{\alpha \over \omega _{r}}\sinh \omega _{r}\tau \right]\,d\tau }
trong trường hợp đáp ứng tắt dần [ ω 0 < α ] {\displaystyle [\omega _{0}