Đề bài
Bạn Mai vẽ tia phân giác của một góc như sau: Đánh dấu trên hai cạnh của bốn góc bốn đoạn thẳng bằng nhau: \[OA = AB = OC = CD\] [hình 72]. Kẻ các đoạn thẳng \[AD, BC\], chúng cắt nhau ở \[K\]. Hãy giải thích vì sao \[OK\] là tia phân giác của góc \[O.\]
Hướng dẫn: Chứng minh rằng:
a] \[OAD = OCB\]
b] \[KAB = KCD\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Vì \[OA = AB = OC = CD\]
\[ \Rightarrow OC+CD=OA+AB\]
\[ \Rightarrow OD=OB\]
Xét \[OAD\] và \[OCB\] ta có:
\[OA = OC\] [gt]
\[\widehat O\]chung
\[OD = OB\] [chứng minh trên]
\[ \RightarrowOAD = OCB \] [c.g.c]
b] \[OAD = OCB\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow\widehat D = \widehat B\][hai góc tương ứng] và \[ \widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\][hai góc tương ứng]
Lại có: \[\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\]
Xét \[KCD\] và \[KAB\] có:
\[\widehat D = \widehat B\][chứng minh trên]
\[CD = AB\] [gt]
\[\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\][chứng minh trên]
\[ \RightarrowKCD = KAB\] [g.c.g]
\[ \RightarrowKC = KA\] [hai cạnh tương ứng].
Xét \[OCK\] và \[OAK\] có:
\[OC = OA\] [gt]
\[OK\] cạnh chung
\[KC = KA\] [chứng minh trên]
\[ \RightarrowOCK = OAK\] [c.c.c]
\[ \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\][hai góc tương ứng]
Vậy \[OK\] là tia phân giác của góc \[O\].