Đề bài
Trên dây cung \[AB\] của một đường tròn \[O,\] lấy hai điểm \[C\] và \[D\] chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau \[AC = CD = DB.\] Các bán kính qua \[C\] và \[D\] cắt cung nhỏ \[AB\] lần lượt tại \[E\] và \[F.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[\overparen{AE}\] = \[\overparen{FB};\]
\[b]\] \[\overparen{AE}\] < \[\overparen{EF}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
+] Hai tam giác có hai cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[OAB\] cân tại \[O\] [vì \[OA = OB\] = bán kính]
\[ \Rightarrow \widehat A = \widehat B\]
Xét \[OAC\] và \[OBD:\]
\[OA = OB\] [bán kính]
\[\widehat A = \widehat B\] [chứng minh trên]
\[AC = BD\;\; [gt]\]
Suy ra: \[OAC = OBD\;\; [c.g.c]\]
\[ \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\] \[ [1]\]
\[sđ \overparen{AE} = \widehat {{O_1}}\] \[[2]\]
\[sđ \overparen{BF} = \widehat {{O_2}}\] \[[3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[\overparen{AE} = \overparen{BF}\]
\[b]\] \[OAC = BOD\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow OC = OD\]
\[ \Rightarrow \Delta OCD\] cân tại \[O\] nên \[\widehat {ODC} < {90^0}\] mà \[\widehat {ODC}+\widehat {CDF} = {180^0}\] [hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {CDF} > {90^0}\]
Trong \[CDF\] ta có: \[\widehat {CDF} > {90^0} \Rightarrow CF > CD\] nên \[AC < CF\]
Xét \[OAC\] và \[OCF:\]
\[OA = OF\] [= bán kính]
\[OC\] cạnh chung
\[AC < CF\]
Suy ra: \[\widehat {{O_1}} < \widehat {{O_3}}\] [hai tam giác có \[2\] cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ \[3\] không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn].
\[sđ \overparen{AE} =\widehat {{O_1}}\]
\[sđ \overparen{EF} = \widehat {{O_3}}\]
Suy ra: \[\overparen{AE} < \overparen{EF}\].