Cho điểm \[A\] nằm ngoài mặt cầu \[S\]. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua \[A\] tiếp xúc với mặt cầu \[S\] luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Đề bài
Cho điểm \[A\] nằm ngoài mặt cầu \[S\]. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua \[A\] tiếp xúc với mặt cầu \[S\] luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[Al\] là một tiếp tuyến của mặt cầu \[S[I;R]\] với tiếp điểm là \[M\].
Khi đó nếu \[\Delta \]là đường thẳng \[AI\] và \[\alpha \]là góc giữa đường thẳng \[Al\] và \[\Delta \]thì \[\alpha = \widehat {MAI}\].
Ta có: \[\sin \alpha = {{MI} \over {IA}} = {R \over {IA}}\], suy ra góc \[\alpha \] không đổi.
Vậy \[Al\] là đường sinh của mặt nón \[[N]\] có đỉnh \[A\] và góc ở đỉnh là \[2\alpha \].