Đề bài
Cho hai đường tròn[O;R]và[O;R]nằm trên hai mặt phẳng song song [P] và [Q] sao choOOvuông góc với[P].ĐặtOO = h. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua hai đường tròn trên, tính diện tích mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[R \le R'\]. Vì \[OO' \bot [P]\] nên mọi điểm thuộcOOcách đều các điểm của đường tròn[O;R],đồng thời cách đều các điểm của đường tròn[O;R],
Xétmp[R]quaOOvà hai mặt phẳng[P], [Q]theo hai giao tuyếnOA, OA',\[A \in [O;R],A' \in [O';R'].\]
Trongmp[R], đường trung trựcAAcắtOOtạiJ.Khi đó, mặt cầu tâmJ, bán kínhJAđi qua cả hai đường tròn[O;R]và [O;R].
GọiSlà diện tích mặt cầu đó thì
\[S = 4\pi .J{A^2} = 4\pi [O{A^2} + J{O^2}] \]\[= 4\pi [{R^2} + J{O^2}].\]
KẻIHsong song với \[AO[H \in OO']\] thì \[OH = {h \over 2}\].
TừOH+JH=JO, suy ra \[{h \over 2} + JH = JO.\]
KẻAKsong song vớiOO[\[[K \in O'A']\] thì có \[{{HJ} \over {A'K}} = {{IH} \over {AK}},\] từ đó
\[HJ = {{{{R' + R} \over 2}.[R' - R]} \over h} = {{R{'^2} - {R^2}} \over {2h}}.\]
Vậy \[JO = {h \over 2} + {{R{'^2} - {R^2}} \over {2h}} = {{{h^2} + R{'^2} - {R^2}} \over {2h}}\] và diện tích mặt cầu phải tìm là
\[\eqalign{ & S = 4\pi \left[ {{R^2} + {{{{\left[ {{h^2} + R{'^2} - {R^2}} \right]}^2}} \over {4{h^2}}}} \right] \cr & = \pi .{{4{R^2}{h^2} + [{h^2} + R{'^2} - {R^2}]^2} \over {{h^2}}}. \cr} \]