Đề bài
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùngnằm trong một mặt phẳng. Gọi \[M\] và \[N\] là hai điểm di động tương ứng trên \[AD\] và \[BE\] sao cho \[\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{BN}{NE}\]
Chứng minh rằng đường thẳng \[MN\] luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy chỉ ra mặt phẳng cố định đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý Talet.
Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \[d\] không năm trong mặt phẳng \[[\alpha]\] và \[d\] song song với đường thẳng \[d\] nằm trong \[[\alpha]\] thì \[d\] song song với \[[\alpha]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset [\alpha ]\\d\parallel d'\\d' \subset [\alpha ]\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel [\alpha ]\]
Sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng \[[\alpha]\] chứa hai đường thẳng cắt nhau \[a\], \[b\] và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \[[\beta]\] thì \[[\alpha]\] song song với \[[\beta]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}a \subset [\alpha ],b \subset [\alpha ]\\a\text{ cắt }b\\a\parallel [\beta ],b\parallel [\beta ]\end{array} \right. \Rightarrow [\alpha ]\parallel [\beta ]\]
Sử dụng tính chất khi \[[\alpha]\] song song với \[[\beta]\] thì \[[\alpha]\] sẽ song song với mọi đường thẳng thuộc \[[\beta]\].
Lời giải chi tiết
Trong hình bình hành \[ABEF\], ta dựng \[NP\parallel AB\parallel EF\].
Mà \[EF\subset [DEF]\]
\[\Rightarrow NP\parallel [DEF] \text{ [1]}\]
Từ các dựng \[NP\parallel AB\parallel EF\] suy ra \[\dfrac{BN}{NE}=\dfrac{AP}{PF}\].
Mà \[\dfrac{BN}{NE}=\dfrac{AM}{MD}\] \[\Rightarrow\dfrac{AP}{PF}=\dfrac{AM}{MD}\]
Suy ra \[PM\parallel FD\] mà \[FD\subset [DEF]\]
\[\Rightarrow PM\parallel [DEF] \text{ [2]}\]
Ta lại có \[NP, MP\subset [MNP]\], từ \[\text{[1]}\] và \[\text{[2]}\] suy ra \[[MNP]\parallel[DEF]\].
Ta có: \[MN\subset[MNP]\Rightarrow MN\parallel [DEF]\]
Vậy \[MN\] luôn song song với một mặt phẳng cố định \[[DEF]\].