Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a.
a] Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và ABCD.
b] Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
c] Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Diện tích xung quanh hình trụ:\[{S_{xq}} = 2\pi rh \]
b]Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là giao điểm ba đường chéo chính.
Diện tích mặt cầu: \[S = 4\pi {R^2}\].
c] Diện tích xúng quanh hình nón: \[S = \pi rl\].
Lời giải chi tiết
a] Hình trụ có chiều cao h = a và bán kính đáy \[\displaystyle r = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Do đó ta có: \[\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rh = \pi {a^2}\sqrt 2 \].
b] Gọi I là tâm của hình lập phương.
Tất cả các đỉnh của hình lập phương đều có khoảng cách đến I bằng \[\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}\]nên chúng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính \[\displaystyle r = {{a\sqrt 3 } \over 2}\].
Ta có diện tích mặt cầu đó là \[\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 3\pi {a^2}\].
c] Đường tròn đáy của hình nón tròn xoay đỉnh A tạo nên bởi cạnh AB là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD, tam giác này có cạnh bằng \[\displaystyle a\sqrt 2 \] và có đường cao bằng \[\displaystyle {{a\sqrt 6 } \over 2}\]
Do đó đường tròn đáy hình nón có bán kính \[\displaystyle r' = {{a\sqrt 6 } \over 3}\].
Vậy hình nón tròn xoay này có đường sinh \[\displaystyle l=a\]và có diện tích xung quanh là \[\displaystyle {S_{xq}} = \pi r'l = \pi .{{a\sqrt 6 } \over 3}.a = {{\pi {a^2}\sqrt 6 } \over 3}\].