Đề bài
Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \[AB\] và \[CD\]. Chứng minh rằng
\[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích vế trái hoặc vế phải [dựa vào quy tắc 3 điểm] làm xuất hiện các vecto ở vế còn lại.
Sử dụng tính chất trung điểm: I là trung điểm AB thì \[ \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} =\overrightarrow {0} \] và\[ \overrightarrow {MA} +\overrightarrow {MB} =2 \overrightarrow {MI}\]
Lời giải chi tiết
Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:
\[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \]
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right] \cr& = 2\overrightarrow {MN} + \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right] + \left[ {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right] = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right] \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right] + \left[ {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right]= 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \]
Vậy \[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\]
Cách khác:
Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:
\[\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \\ = \left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right] + \left[ {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right]\\ = \overrightarrow 0 + \left[ {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right]\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \,\,\,\left[ 1 \right]\end{array}\]
[vì M là trung điểm AB nên \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \]]
Lại có:
\[\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\ = \left[ {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right]\\ = \overrightarrow 0 + \left[ {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right]\\ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
Vậy từ [1] và [2] suy ra \[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \]