- LG a
- LG b
Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên \[\mathbb R\]:
LG a
\[f\left[ x \right] = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;\]
Phương pháp giải:
Tính y' và chứng minh \[y'\ge 0\] với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 12x + 17 > 0\] với mọi \[x \in \mathbb R\] [vì \[a > 0\] và \[\Delta ' =6^2-3.17=-15 < 0\]]
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\].
Chú ý:
Có thể biến đổi f'[x] như sau:
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 12x + 17\\
= 3\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right] + 5\\
= 3{\left[ {x - 2} \right]^2} + 5 > 0,\forall x
\end{array}\]
LG b
\[f\left[ x \right] = {x^3} + x - \cos x - 4\]
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} + 1 + \sin x\]
Vì \[- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 + \sin x \ge 0\]và \[3{x^2} \ge 0\]nên \[f'\left[ x \right] \ge 0\]với mọi \[x \in \mathbb R\]
Với \[x = 0\] thì \[1 + \sin x = 1 > 0\]nên \[f'\left[ x \right] > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb R\]
Do đó hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\].